2019学年高中数学 第一章 1.2.2 绝对值不等式的解法训练 北师大版选修4-5

1.2.2 绝对值不等式的解法
一、选择题
1.如果1x <2和|x |>1
3
同时成立，那么x 的取值范围是( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |－13<x <12
B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |x >12，或x <－13
C.
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12 D.
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，或x >13 解析 解不等式1x <2得x <0或x >1
2.
解不等式|x |>13得x >13或x <－1
3
.
∴x 的取值范围为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x >12，或x <－13.
答案 B
2.不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |x <0且x ≠－1} C.{x |－1<x <1} D.{x |x <1且x ≠－1} 解析 不等式可化为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ≥0，（1＋x ）（1－x ）>0，
或⎩
⎪⎨⎪⎧x <0，
（1＋x ）（1＋x ）>0， ∴0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1. 答案 D
3.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2
＋x －2>0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断.|x －2|<1⇔1<x <3，x 2
＋x －2>0⇔x >1或x <－2.由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2
＋x －2>0”的充分而不必要条件. 答案 A
4.若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1，2)，则实数a 等于( ) A.8 B.2 C.－4
D.－8
解析 由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4. 当a >0时，－8a <x <4
a
.
∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－8
a ＝－14a ＝2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
a ＝2矛盾，
故a 不可能大于0.
当a ＝0，则x ∈R 不符合题意. 当a <0时，4a <x <－8
a
.
∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－4，
a ＝－4.
故a ＝－4. 答案 C
5.不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A.(0，2) B.(－2，0)∪(2，4) C.(－4，0)
D.(－4，－2)∪(0，2)
解析 原不等式等价于⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，
1<x ＋1<3或
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥－1，0<x <2或⎩
⎪⎨⎪⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2. 答案 D
6.若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，5) B.[0，5) C.(－∞，1)
D.[0，1]
解析 由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5， ∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5. 答案 A 二、填空题
7.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.
解析 思路一：利用数轴对x 进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数
轴，利用绝对值的几何意义求解.
方法一：要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.
方法二：|x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. 答案 {x |x ≤－3或x ≥2}
8.已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________.
解析 ∵关于x 的方程x 2
＋x ＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，
∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0；
当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14；
当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14，无解. 综上可知0≤a ≤14.
答案 0≤a ≤1
4
9.不等式|x ＋1|
|x ＋2|≥1的实数解为________.
解析
|x ＋1|
|x ＋2|
≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0 ⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2
，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2.
答案 (－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 三、解答题
10.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解 去绝对值号，化成不等式组求解.
原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－1
3
.
综上，原不等式的解集是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ≤－5或x ≥－13.
11.设函数f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0).
(1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.
(1)证明 由a >0，有f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪
⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a
－（x －a ）＝1
a
＋a ≥2.所以f (x )≥2.
(2)解 f (3)＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.
当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.
当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋5
2<a ≤3.
综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52
，5＋212.。