2018年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.4.1 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的

第3章图形的相似
3.4.1 相似三角形的判定
第3课时相似三角形的判定定理（2）知识点 1 补充条件判定两个三角形相似
1．如图3－4－35，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.AC
CD
＝
AB
BC
B.
CD
AD
＝
BC
AC
C．AC2＝AD·AB D．CD2＝AD·BD
图3－4－35
图3－4－36
2．如图3－4－36，DE与BC不平行，当____________时，△ABC∽△AED.(只填一个正确的条件即可)
图3－4－37
3．如图3－4－37，已知△ABC中，P是AC边上一点，连接BP.
(1)当∠APB＝________时，△APB∽△ABC；
(2)当AB∶AP＝________时，△APB∽△ABC.
知识点 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( )
A.
AB
A′B′
＝
AC
A′C′
B.AB
AC
＝
A′B′
A′C′
且∠A＝∠A′
C.AB
BC
＝
A′B′
A′C′
且∠B＝∠C
D.
AB
A′B′
＝
AC
A′C′
且∠B＝∠B′
5．如图3－4－38，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A ．①和②相似
B ．①和③相似
C ．①和④相似
D ．③和④相似
图3－4－38
图3－4－39
6．如图3－4－39，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AB BD ＝BC
AB
，则可判定________∽________∽________.
7．如图3－4－40，D 是△ABC 的边AC 上的一点，AB 2
＝AC ·AD . 求证：△ADB ∽△ABC .
图3－4－40
8．如图3－4－41，已知P 是正方形ABCD 的边BC 上一点，CP ＝1
4BC ，且Q 是DC 的中点．求
证：△ADQ ∽△QCP .
图3－4－41
9．如图3－4－42，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为( )
A ．P 1
B ．P 2
C ．P 3
D ．P 4
图3－4－42
图3－4－43
10．如图3－4－43，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过点P 的直线交AB 于点Q ，若以A ，P ，Q 为顶点的三角形和以A ，B ，C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为__________．
11．教材练习第2题变式如图3－4－44，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD
AB
＝
AE AC ＝1
2
，BC ＝6. (1)求证：△AED ∽△ACB ； (2)求ED 的长．
图3－4－44
12．2017·湖南江华一模如图3－4－45，已知AB ⊥DB 于点B ，CD ⊥DB 于点D ，AB ＝6，
CD ＝4，BD ＝14，在DB 上取一点P ，使以C ，D ，P 为顶点的三角形与以P ，B ，A 为顶点的三角形相似，求DP 的长．
图3－4－45
13．如图3－4－46，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点，AE ＝DE ，DF ＝1
4DC ，
连接EF 并延长交BC 的延长线于点G .
(1)求证：△ABE ∽△DEF ；
(2)若正方形的边长为4，求BG 的长．
图3－4－46
14．如图3－4－47，在△ABC 中，AB ＝10 cm ，BC ＝20 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，那么经过几秒，△PBQ 与△ABC 相似？
图3－4－47
1．C [解析] 题目中隐含条件∠A ＝∠A ，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相
似”，得出添加的条件可以是AC AB ＝
AD AC
，即AC 2
＝AD ·AB .故选C. 2．答案不唯一，如AB AE ＝AC
AD
(或∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB )
3．(1)∠ABC (2)AC ∶AB
4．B [解析] 选项B 满足两边成比例且夹角相等．
5．B [解析] ∵OA ∶OC ＝OB ∶OD ，∠AOB ＝∠COD (对顶角相等)，∴①与③相似．故选B.
6．△ADB △CAB △CDA [解析] ∵AB BD ＝BC AB
，
又∵∠B ＝∠B ， ∴△ADB ∽△CAB ，
∴∠BAC ＝∠BDA ＝∠ADC ＝90°， ∴△CAB ∽△CDA .
7．证明：∵AB 2
＝AC ·AD ， ∴AB AC ＝AD AB
.
又∵∠BAD ＝∠CAB ， ∴△ADB ∽△ABC .
8．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠C ＝∠D ＝90°. ∵CP ＝14BC ，CQ ＝DQ ＝1
2
DC ，
∴CP DQ ＝CQ AD ＝12
， ∴△ADQ ∽△QCP . 9．C
10．3或43 [解析] ∵AC＝4，P 是AC 的中点，∴AP＝12AC ＝2.①若△APQ∽△ACB，则AP
AC ＝
AQ AB ，即24＝AQ 6，解得AQ ＝3；②若△APQ∽△ABC，则AQ AC ＝AP AB ，即AQ 4＝26，解得AQ ＝4
3.∴AQ 的长为3或43
.
11．解：(1)证明：∵AD AB ＝AE
AC ，且∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB. (2)∵△AED∽△ACB，
∴AE AC ＝ED BC ＝1
2.而BC ＝6，∴ED＝
3. 12．解：∵AB⊥DB，CD⊥DB， ∴∠D＝∠B＝90°. 设DP ＝x ，
当PD∶AB＝CD∶PB 时，△PDC∽△ABP，
∴x 6＝414－x ，解得x ＝2或x ＝12. 当PD∶PB＝CD∶AB 时，△PCD∽△PAB， ∴
x 14－x ＝4
6
，解得x ＝5.6. ∴DP 的长为5.6或2或12.
13．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD＝AB ＝DC ＝BC ，∠A＝∠D＝90°. ∵AE＝ED ，∴AE AB ＝1
2.
∵DF＝14DC ，∴DF DE ＝12，
∴AE AB ＝DF DE ，∴AE DF ＝AB
DE
. 又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEF. (2)∵四边形ABCD 为正方形， ∴DE∥BG，∴DE CG ＝DF
CF
.
又∵AE＝DE ，DF ＝1
4
DC ，正方形ABCD 的边长为4，
∴DE＝2，DF ＝1，CF ＝3，∴CG＝6， ∴BG＝BC ＋CG ＝10.
14．设经过t 秒，△PBQ 与△ABC 相似，则AP ＝2t cm ，BQ ＝4t cm ，BP ＝(10－2t)cm . 因为∠ABC＝∠PBQ，所以：
①当BP AB ＝BQ BC 时，有△PBQ∽△ABC，此时有10－2t 10＝4t 20，解得t ＝2.5；
②当BQ AB ＝BP BC 时，有△PBQ∽△CBA，此时有4t 10＝10－2t 20，解得t ＝1.
综上所述，经过1秒或2.5秒，△PBQ 与△ABC 相似．。