新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(答案解析)(4)

一、选择题
1．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1
c a
+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个大于2
2．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当
1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A ．当n=7时该命题不成立
B ．当n=7时该命题成立
C ．当n=9时该命题不成立
D ．当n=9时该命题成立
3．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，c
a
的值（ ） A ．都大于1
B ．都小于1
C ．至多有一个不小于1
D ．至少有一个不小于1
4．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设
“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误
D ．①的假设错误，②的假设正确
5．设函数()n
f x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )x
f x e x x =+
，1()f x '=
，
2()f x '=
，*1())n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+ D ．(cos sin )x e x x -- 6．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50
B ．42
C ．-50
D ．-42
7．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
111
11++
+
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
1
1x x
+
=求得12
x +=
=（ ）
A B ．3 C ．
6
D ．8．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ） A ．乙亥年
B ．戊戌年
C ．庚子年
D ．辛丑年
9．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()2
22a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +
- (0<x <1
3
)的最小值为( ) A ．5 B ．15 C ．25
D ．2
10．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
11．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是
d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如
果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
12．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）
A ．类比推理
B ．三段论推理
C ．归纳推理
D ．传递性推理
二、填空题
13．已知数列{},{}n n a b 的通项公式分别为*
31,2,n
n n a n b n N =-=∈，将{}n a 与{}n b 中
的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新数列（相同元素以一个计）：2,4,5,8,11,
，记新的数列为{}n c ，若2021n c =，则n =___________.
14．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，4
1
，，则
7
6
是数列中的第__________项．
15．如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．
16．观察下列各式：11=，141123+
=+，1131121232
++=+++，1118
11212312345+++=++++++，由此可猜想，若111
1+
12123
123+10
m +
++=++++++
，则m =__________.
17．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边
梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即1
2
22
(1)a a
a x dx a +<
<+⎰.运用类比推
理，若对∀n ∈N *，11
1111
12
21
21
A n n n n n n +++
<<+++
+++-恒成立，则实数A ＝________.
18．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了． 19．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是_____． 20．给出下列等式：
；
；
，
由以上等式推出一个一般结论： 对于
=________________________．
三、解答题
21．用数学归纳法证
明:()()22
222222212311321n n n +++
+-++-+
+++()21
213
n n =+.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，()
*
2n n S n na n N +=∈.
（1）试写出数列{}n a 的任意前后两项（即n a 、1n a +）构成的等式；
（2）用数学归纳法证明：()
*
23n a n n N =-∈.
23．在数列中，．
（1）求的值；
（2）猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．
24．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*
12N n n n
a S n S =+-∈．
(Ⅰ)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；
(Ⅱ)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 25．给出下列等式: 1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, 1-4+9-16=-(1+2+3+4), ……
(1)写出第5个和第6个等式,并猜想第n(n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你猜想的等式.
26．已知函数()f x 满足()()
2
33log log .f x x x =-
(1).求函数()f x 的解析式；
(2).当n *∈N 时，试比较()f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案.
详解:因为
111
6
a b c
b c a
+++++>与都不大于2矛盾,所以A错误.
若
1315
,,2,
343
a b a
b
==+=<所以B错误.
若
111
,,,
222
a b c
<<<则a>2,b>2,c>2,所以C错误. 故答案为D
点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.
2．A
解析：A
【解析】
分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．
详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，
P（n）对n=8不成立，P（n）对n=7也不成立，
否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立．
与当n=7时该命题不成立矛盾
故选：A．
点睛：当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．
3．D
解析：D
【解析】
分析:对每一个选项逐一判断得解.
详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则
1
1
2
a
b
=<，所以选项A是错误的.对于选项B,如果
a=2,b=1,则
21a
b
=>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b c
b c a
<<<，则
3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<
4．C
解析：C 【解析】
分析：利用命题的否定的定义判断即可.
详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.
2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，
所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.
点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.
5．B
解析：B 【解析】
分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案
详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），
∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f
1（x ）'
f x x cosx ，
∴f
1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'
f x =e x （cosx ﹣sinx ），
∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f
3（x ）=x sinx ， ∴f
3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f
5（x ）=x cosx ，
∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f
7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，
∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin x
e x x -，
故选：B ．
点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
6．C
解析：C 【解析】
分析：由题意结合所给数据的特征确定第九个数即可. 详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：
121,3a a ==，()213n n n a a a n --=-≥，
则978193150a a a =-=--=-. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．A
解析：A 【解析】
由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的
()0m m =>，则两边平方得，得23m =，即
23m m +=，解得m m =
=
舍去，故选A. 8．C
解析：C 【解析】
2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，
那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，2018是戊戌年，2019年是己亥年，以此类推记得到2020年是庚子年． 故答案为C ．
9．C
解析：C 【解析】
由题意可得f(x)＝34
13
x x
+
-
＝
22
32
313
x x
+
-
≥
()2
32
313x
x
+
+-
＝25，
当且仅当
3
3x
＝
2
13x
-
，即x＝
1
5
时取等号，故最小值为25.
故选：C
10．C
解析：C
【详解】
若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符；
当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.
故选C.
点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别
是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.
11．A
解析：A
【解析】
由题意得，甲同学说：1号门里是b，3号门里是c，乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c c，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b是正确的；乙同学说的2号
门中有d是正确的；并同学说的3号门中有c是正确的；丁同学说的4号门中有a是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,
b d
c a，所以4号门里是a，故选A.
点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其
中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．
12．A
解析：A
【解析】将平面几何问题推广为空间几何的问题，利用了类比推理.
本题选择A选项.
点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下
两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等
等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等
对应面积相等．
二、填空题
13．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式求得它们的公共项归纳它们之
间的项数计算可得所求值【详解】由可得：：：可得与中的公共项为：且到之间有两个元素到之间有个元素到之间有个元素到之间有个元素到之间有个元 解析：679
【分析】
由等差数列和等比数列的通项公式，求得它们的公共项，归纳它们之间的项数，计算可得所求值. 【详解】
由*
31,2,n
n n a n b n N =-=∈可得：
{}n a ：2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,，
{}n b ：2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,， 可得{}n a 与{}n b 中的公共项为：2,8,32,128,512,2048,
，
且2到8之间有两个元素，8到32之间有8个元素，
32到128之间有32个元素，128到512之间有128个元素，
512到2048之间有512个元素；
由2832128512682++++=， 而102420212048<<， 且2021在数列{}n a 中， 而2021到2048之间有8个元素， 则68258679n =+-=； 故答案为：679. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查归纳推理的应用.利用{}n a 与{}n b 的通项公式得到{}n a 与{}n b 的公共项，归纳它们之间的项数是解决本题的关键.
14．【解析】分析：将所给数据分组发现每组数据分子分母以及分子与分母和的共同规律结合等差数列的求和公式求解即可详解：发现数列第一组分子与分组和为第二组分子与分母和为第三组分子与分母和为因为所以是第组第七个 解析：73
【解析】
分析：将所给数据分组，发现每组数据分子、分母以及分子与分母和的共同规律，结合等差数列的求和公式求解即可. 详解：1，
12，21，13，22，31，14，23，32，41
，，
发现数列第一组11
→分子与分组和为2， 第二组
12，2
1
→分子与分母和为3，
第三组
13，22，3
1
→分子与分母和为4，
因为6713+=，所以
7
6
是第12组第七个数， 第12组前面共有1112
12311662
⨯+++
+=
=个数， 7
6
是第66773+=项，故答案为73． 点睛：本题主要考查归纳推理，属于中档题. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.
15．4951【解析】分析：计算前5行的第二个数字发现其中的规律得出结论详解：设第n 行的第2个数为an 由图可知
a2=2=1+1a3=4=1+2+1a4=7=1+2+3+1a5=11=1+2+3+4+1…归
解析：4951 【解析】
分析：计算前5行的第二个数字，发现其中的规律，得出结论．
详解：设第n 行的第2个数为a n ，由图可知，a 2=2=1+1，a 3=4=1+2+1，a 4=7=1+2+3+1，a 5=11=1+2+3+4+1…归纳可得a n =1+2+3+4+…+（n-1）+1=(1)
2
n n -+1，故第100行第2个数为：
10099
149512
⨯+=，故答案为4951 点睛：本题考查了归纳推理，等差数列和，属于基础题．
16．【解析】分析：观察下列式子右边分母组成以为首项为公差的对称数列分子组成以为首项以为公差的等差数列即可得到答案详解：由题意可得所以点睛：本题主要考查了归纳推理的应用其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察
解析：
2011
. 【解析】
分析：观察下列式子，右边分母组成以3为首项，1为公差的对称数列，分子组成以4为首项，以2为公差的等差数列，即可得到答案. 详解：由题意11=，141123+
=+，1131121232
++=+++，1118
11212312345
+
++=++++++，
可得111
21020
1+
12123123+10
10111
⨯+
++=
=++++++
+， 所以2011
m =
. 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察给定的式子，发现其运算的相同性或运算规律，（2）从已知的相同性或运算规律中推出一个明企鹅的一般性的题，着重考查了考生的推理与论证能力.
17．【解析】令依据类比推理可得A1＝dx ＝ln(n ＋1)－lnnA2＝dx ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)…An ＝dx ＝ln(2n)－ln(2n －1)所以A ＝A1＋A2＋…＋An ＝ln(n ＋1)－lnn 解析：ln 2
【解析】 令
12111111
,,,
121
221
n A A A n n n n n n <<<<<<+++-， 依据类比推理可得A 1＝
1
1n n
x +⎰
d x ＝ln(n ＋1)－ln n ，A 2＝2
1
1
n n x ++⎰d x ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)，…，A n ＝221
1
n
n x -⎰d x ＝ln(2n )－ln(2n －1)，所以A ＝A 1＋A 2＋…＋A n ＝ln(n ＋1)－ln n ＋ln(n ＋2)－ln(n ＋1)＋…＋ln(2n )－ln(2n －1)＝ln(2n )－ln n ＝ln 2.
18．乙丙【解析】甲与乙的关系是对立事件二人说话矛盾必有一对一错如果选丁正确则丙也是对的所以丁错误可得丙正确此时乙正确故答案为乙丙
解析：乙 ，丙 【解析】
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．
19．【解析】试题分析：前行共有=个数所以第个数是故答案为考点：1合情推理与演绎推理；2等差数列求和
解析：
26
2
n n -+ 【解析】
试题分析：前n 1-行共有123...++++1n -=
(1)
2
n n -(3)n ≥个数，所以第3个数是 ()21632
2n n n n --++=
．故答案为26
2
n n -+． 考点：1、合情推理与演绎推理；2等差数列求和．
20．1-【解析】解：根据已知的表达式可以观察归纳得到=1-
解析：1-
1
(1)2n
n +⋅．
解：根据已知的表达式可以观察归纳得到
=1-
三、解答题
21．证明见解析 【分析】
用数学归纳法证明：（1）当1n =时，证明等式成立；（2）假设当n k =时,等时成立，用归纳假设证明当1n k =+时，等式也成立即可. 【详解】
（1）当1n =，左边=1，右边13
13
⨯==，此时等式成立. （2）假设当,n k k N *=∈时，
()()()
22
2222222212311132121,3
k k k k k k N *+++⋯-++-+⋯+++=+∈成立.
当1n k =+时，左边
22222222123(1)21k k k =+++⋯+++++⋯++
()
2221
21(1)3
k k k k =++++ 21(1)2(1)13
k k ⎡⎤=+++⎣⎦= 右边， 即当1n k =+时等式成立.
根据（1）（2），可知对n *∈N 等式成立. 【点睛】
本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，是基础题.
22．（1）()111n n n a na +-=+；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由2n n S n na +=，可得出()11211n n S n n a ++++=+，两式相减，化简即可得出结果；
（2）令1n =代入2n n S n na +=求出1a 的值，再由20S =求出2a 的值，可验证1n =和
2n =时均满足23n a n =-，并假设当()2,n k k k N *
=≥∈时等式成立，利用数学归纳法
结合数列{}n a 的递推公式推导出1n k =+时等式也成立，综合可得出结论.
（1）对任意的n *∈N ，由2n n S n na +=可得()11211n n S n n a ++++=+， 上述两式相减得()11211n n n a n a na +++=+-，化简得()111n n n a na +-=+；
（2）①当1n =时，由2n n S n na +=可得1121a a +=，解得11a =-，满足23n a n =-； ②当2n =时，由于2120S a a =+=，则211a a =-=，满足23n a n =-；
③假设当()
2,n k k k N *
=≥∈时，23n a n =-成立，则有23k a k =-，
由于()111k k k a ka +-=+，则
()()()()212312111231212131111
k k k k k k ka k k a k k k k k k +-+--+-+=====-=+-----. 这说明，当1n k =+时，等式23n a n =-也成立.
综合①②③，()
*
23n a n n N =-∈.
【点睛】
本题考查数列递推公式的求解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 23．（1）4，9，16；（2），证明见解析．
【解析】 【分析】
（1）根据数列递推关系，把分别代入，求出
的值；
（2）先假设时，
成立，再证明
时，猜想也成立.
【详解】 （1）∵，
，
∴，
故的值分别为；
（2）由（1）猜想
，用数学归纳法证明如下： ①当时，
，猜想显然成立；
②设时，猜想成立，即，
则当时，
,
即当时猜想也成立，
由①②可知，猜想成立，即．
【点睛】
运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明. 24．（Ⅰ）112S =
，223S =，334S =，44
5
S =；（Ⅱ）见证明
(Ⅰ)分别取1,2,3,4n = 代入计算1S ，2S ，3S ，4S 的值. (Ⅱ) 猜想()
*N 1
n n
S n n =∈+，用数学归纳法证明. 【详解】
解：（Ⅰ）当1n =时，∵111112a S S S ==+-，∴112
S =， 又2212212a S S S S =-=+-，∴22
3
S =， 同理334S =
，44
5
S =； （Ⅱ）猜想()
*N 1
n n
S n n =
∈+ 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.
②假设()
*
,1n k k N k =∈≥时结论成立，即1
k k
S k =
+， 当1n k =+时，1111
1
2k k k k k a S S S S ++++=-=+
-， ∴112k k S S +=-，∴11112221
k k k S k S k k ++===-+-
+ 即当1n k =+时结论成立.
由①②知1
n n
S n =+对任意的正整数n 都成立. 【点睛】
本题考查了数列{}n a 和前n 项和n S 的关系，猜测n S ，数学归纳法，意在考查学生归纳推理能力.
25．（1）见解析；（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）根据已知的式子的规律易求得第五、六两行的等式，再由归纳推理即可求得第行的式子；
（2）根据数学归纳法证明步骤即可证明. 试题 （1）第五行
第六行
第行等式为：
（2）证明：①当
时，左边
，
右边，左边
右边，等式成立.
②假设
时，等式成立，即
.
则当
时，
时，等式也成立
根据①②可知，对
等式均成立.
考点：推理与证明；数学归纳法的应用. 26．(1) ()32x
f x x =-;(2)详见解析. 【解析】
试题分析：（1）令()()3log 33232t
t
x
t x x f t t f x x =⇒=⇒=-⇒=-；（3）计算
(1)(2)(3)(4)f f f f 、、、 ，从而猜想：当4*n n R ，≥∈都有()3f n n >，再利用数学归
纳法证明． 试题
（1）令3log t x =，则3t x =，
所以()32t
f t t =-，故函数()f x 的解析式为()32x
f x x =-．
（2）当1n =时，()11f =，31n =，此时 ()3
1f n =；
当2n =时，()25f =，31n =，此时 ()3
1f n <；
当3n =时，()321f =，327n =，此时 ()3
3f n <；
当4n =时，()473f =，364n =，此时 ()3
4f n >；
猜想：当4n ≥，*n R ∈，都有()3
f n n >．
要证明：当4n ≥，*n R ∈，都有()3
f n n >，
即要证：当4n ≥，*n R ∈，332n n n ->， 即要证：当4n ≥，*n R ∈，332n n n >+．
证明：①当4n =时，381n =，3272n n +=，显然，332n n n >+成立； ②假设当n k =时，332k k k >+成立， 那么，当1n k =+时，()
1
333
333236k k k k k k +=⨯>⨯+=+，又当4k ≥时，
()
()()3
3
322236121233233k
k k k k k k k k k k ⎡⎤+-+++=-+-=⋅-+-⎣⎦
2224233530k k k k k ≥⋅-+-=+->，
故()()3
3
36121k k k k +>+++，
所以1n k =+时，()()3
1
33
36121k k k k k +>+>+++结论成立，
由①②，根据数学归纳法可知，当4n ≥，*n R ∈，都有()3
f n n >．。