湖北省荆门市钟祥市实验中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题

湖北省荆门市钟祥市实验中学2020-2021学年高一下学期期
中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合(|12}A x x =-<<，{|1}B x x =>，则A B ⋃=（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|12}x x << C ．{|1}x x >- D ．{|1}x x >
2．已知复数z 满足23i
z i
+=+，则z =（ ）
A B C D
3．已知12s in πα⎛
⎫ ⎪⎝=⎭
+5cos 12πα⎛⎫ ⎝-⎪⎭=（ ）
A ．
B ．
C D 4．已知2a =，1=b ，()
5a a b ⋅+=，则a 与b 夹角的余弦值为( )
A ．12
B ．
13
C ．
D ．
2
5．如图所示：曲线1C ，2C ，3C 和4C 分别是指数函数x y a =，x y b =,x y c = 和x y d = 的图象,则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）
A ．1a b c d <<<<
B ．1a b d c <<<<
C ．1b a c d <<<<
D ．1b a d c <<<<
6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则直线m 与n 一定平行
B ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则直线m 与n 可能相交､平行或异面
C ．若m ⊥α，n //α，则直线m 与n 一定垂直
D ．若m ⊂α，n ⊂β，α//β，则直线m 与n 一定平行
7．定义在R 上的偶函数()f x ，对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有1212
()()
0f x f x x x -<-，则
（ ）
A ．(2)(1)(3)f f f -<<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(3)(2)(1)f f f <-<
D ．(3)(1)(2)f f f <<-
8．已知函数12,0
()21,0
x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个
不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．13
(3,
)4
B ．(2,3)
C ．4(,4)3
D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、多选题
9．以长为8 cm ，宽为6 cm 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为（ ） A ．64π cm 2 B ．36π cm 2 C ．54π cm 2
D ．48π cm 2
10．已知函数(
)22sin cos cos f x x x x x =+-，R x ∈，则（ ） A ．()22f x -≤≤
B ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点
C ．()f x 的最小正周期为π
D ．2
3
x π=为()f x 图象的一条对称轴
11．下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则,c ac bc ∀∈>R B ．1
x x
+
的最小值为2 C ．若a b >，则,c a c b c ∀∈+>+R D ．22
7
2
x x +
+
最小值为2 12．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >
B ．若30A =，4b =，3a =，则AB
C 有两解
C ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>
D ．若60A =，2a =，则ABC
三、填空题
13．函数()ln(1)f x x =-的定义域是_________． 14．函数21(0,x y a a -=+>且1)a ≠的图像必经过点________
15．正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围为__________．
16．在正三棱锥S ABC -中，6AB BC CA ===，点D 是SA 的中点，若SB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为___________.
四、解答题
17．平面内给定三个向量(1,2),(1,1),(3,3)a b c ==-=． （1）若()//()a kc b a +-，求实数k ； （2）若()(2)a kc a b +⊥+，求实数k ．
18．正三棱锥的高为
1，底面边长为 （1）棱锥的表面积； （2）内切球的半径.
19．已知正实数x ，y 满足441x y +=. （1）求xy 的最大值；
（2）若不等式2
415a a x y
+≥+恒成立，求实数a 的取值范围.
20．已知(
)
()()0,3sin ,cos ,cos ,cos ,a x x b x x f x a b ωωωωω>=
-==⋅，12,x x 是
()1
2
y f x =-的其中两个零点，且12min x x π-=
（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若1
0,,
2210
f παα⎛⎫
⎛⎫∈= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，求sin2α的值. 21．如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面相互垂直，90ADE ∠=，//AF DE ，
22AD DE AF ===.
（1）求证：//AC 平面BEF ； （2）求点D 到平面BEF 的距离.
22．已知ABC 中内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且cos cos 4cos b C c B A +=-，
2a =.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求 b c +的取值范围.
参考答案
1．C 【分析】
根据集合并集的定义作答即可 【详解】
A B ⋃={|1}x x >- 故选：C 2．A 【分析】 先计算23i
z i
+=+，再求模. 【详解】 由()()()()2327,33310i i i i
z i i i +-++=
==++-
则2
z =
. 故选：A. 【点睛】
复数的计算常见题型：
(1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则； (2) 求共轭复数是实部不变，虚部相反； (3) 复数的模的计算直接根据模的定义即可. 3．B 【分析】
根据角的配凑，得5cos cos ()sin 1212212ππππ⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤-=+-=+⎢⎥⎣⎦a a a ，即可求解出答案.
【详解】
由题意，5cos sin 12122c s (2)1o ππππ⎛
⎫⎛⎫⎡⎤-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+=⎢⎥⎣⎦a a a 故选：B. 4．A
【分析】
根据向量的数量积即可求出. 【详解】
设a 与b 夹角为θ，由2a =，1b =，()
5a a b ⋅+=，
()
22
cos 42cos 5a a b a a b a a b θθ∴⋅+=+⋅=+⋅=+=，
1cos 2
θ∴= 故选：A
【点睛】
本题主要考查由向量数量积求向量的夹角，需熟记公式，属于基础题. 5．D 【分析】
先根据指数函数的单调性，确定a ，b ，c ，d 与1的关系，再由1x =时，函数值的大小判断. 【详解】
因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，
由图知：11c d > ，即c d >， 11b a <，即 b a <， 所以1b a d c <<<<， 故选：D 6．C 【分析】 借助于正方体， 对于A ：取特例排除； 对于B ：取特例排除；
对于C ：利用线面平行的性质及线面垂直的性质证明； 对于D ：直接验证即可. 【详解】
如图示，在正方体中
对于A ：若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，不妨取面ABCD 为平面α，面ABA 1B 1为平面β，若取m 为BC ，n 为A 1B 1，则直线m 与n 异面，故A 错误；
对于B ：若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，不妨取面ABCD 为平面α，面ABA 1B 1为平面β，则直线m 与n 垂直，不可能平行，故B 错误；
对于C ：若m ⊥α，n //α，因为n //α，过n 作平面l βα⋂=，则l //n .因为m ⊥α，所以m ⊥l ，又l //n ，所以m ⊥n .故C 正确；
对于D ：若m ⊂α，n ⊂β，α//β，不妨取面ABCD 为平面α，面A 1B 1C 1D 1为平面β，则两个平面内的直线m 与n 可能平行，也可能异面.故D 错误. 故选：C. 【点睛】
（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了；
（2）基本的点线面的位置关系的判断，可以借助于长方体（教室）进行判断. 7．C 【分析】
由已知得单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，然后可得大小关系． 【详解】
因为对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有
1212
()()
0f x f x x x -<-，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，
又()f x 是偶函数，所以(2)(2)f f -=，而(1)(2)(3)f f f >>， 所以(1)(2)(3)f f f >->． 故选：C ． 8．
D
【分析】
令()t f x =，利用图象可得知，关于t 的二次方程的两根1t 、()21,2t ∈，然后利用二次函数的零点分布得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】
令()t f x =，由()()2
30f f x a x -+=，得220t t a -+=，
设关于t 的二次方程220t t a -+=的两根分别为1t 、2t ， 如下图所示：
由于关于x 的方程()()()2
30f f x a x a R -+=∈有8个不等的实数根，
则112t <<，212t <<，设()2
3g t t t a =-+，
则()()940120220
a g a g a ⎧∆=->⎪=->⎨⎪=->⎩
，解得924<<a .
因此，实数a 的取值范围是92,4⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：D. 【点睛】
本题考查复合型二次函数的零点个数问题，将问题转化为二次函数的零点分布问题是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9．AB 【分析】
分别以长为8 cm ，宽为6 cm 的边所在的直线为旋转轴，根据圆的面积公式即可求解. 【详解】
分别以长为8 cm ，宽为6 cm 的边所在的直线为旋转轴，
即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64π cm 2,36π cm 2. 故选：AB 10．AC 【分析】
将()f x 的解析式化为()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，然后逐一判断即可.
【详解】
()
22sin cos cos 2cos 22sin 26f x x x x x x x x π⎛
⎫=+-=-=- ⎪⎝
⎭
所以()22f x -≤≤，故A 正确 令2,6x k k π
-
=π∈Z 可得212
k x ππ=+，满足()0,x π∈的有7,1212ππ，故B 错误 ()f x 的最小正周期为π，故C 正确
当23x π=时，()1f x =-，所以2
3
x π=不是()f x 图象的一条对称轴，故D 错误
故选：AC 11．CD 【分析】
A.考虑0c ≤的情况；
B.考虑x 的正负；
C.根据不等式的性质判断；
D.利用配凑法结合基本不等式求解最小值. 【详解】
A.当0c ≤时，若a b >，则ac bc >不成立，故错误；
B.当0x >时，12x x +
≥=，取等号时1x =，
当0x <时，()112x x x x ⎡
⎤+
=--+≤--⎢⎥-⎣
⎦，取等号时1x =-，故错误； C.由“不等式两边同时加上或减去一个实数，不等号不改变”可知正确；
D.因为 ()22
2277222222
x x x x +
=++-≥=++，
取等号时22x +=x =
故选：CD. 12．ABD 【分析】
对于A 选项，由A B >，得到a b >，再利用正弦定理判断；对于B 选项，由sin b A a b <<判断；对于C 选项，由ABC 为钝角三角形且C 为钝角，利用余弦定理判断； 对于D 选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断. 【详解】
对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a b
A B
=，所以，sin sin A B >，A 选项正确；
对于B 选项，sin 4sin302b A ==，则sin b A a b <<，如图：
所以ABC 有两解，B 选项正确；
对于C 选项，若ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则222
cos 02a b c C ab
+-=<，可得222a b c +<，
C 选项错误；
对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得
2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，
所以1sin 2ABC S bc A ==≤△D 选项正确．
故选：ABD 13．(]1,3 【分析】
根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案． 【详解】
解：由题意得30,
10,
x x -≥⎧⎨->⎩，解得13x <≤，
∴函数()f x 的定义域为(]1,3， 故答案为：(]1,3． 14．(2,2) 【分析】
指数函数x y a =（0a >且1a ≠）的图像必经过点(0,1)，由此计算即可. 【详解】
令20x -=，解得2x =，当2x =时012y a =+=， 所以函数21(0,x y a a -=+>且1)a ≠的图像必经过点(2,2). 故答案为：(2,2) 15．12,4⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
【分析】
以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设出P 点坐标，求出各点及()
AP PB PD ⋅+的坐标，代入所求表达式，化简后可求得取值范围. 【详解】
以AB ，AC 为x ，y 轴建立直角坐标系则，
(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，
设()(),01P x x x ≤≤，则
(,)AP x x =，(1,)PB x x =--，(,1)PD x x =--，
()
2(12)AP PB PD x x ∴⋅+=-
2
114(01)44x x ⎛
⎫=--+≤≤ ⎪⎝
⎭，
∴当14
x =
时，函数有最大值为14，
当1x =时，函数有最小值为2-， ()AP PB PD ∴⋅+的取值范围是12,4⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦．
故答案为：12,4⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦．
【点睛】
本小题主要考查平面向量的坐标运算，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 16．54π 【分析】
通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA ，SB ，SC 两两垂直，则可求出外接球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】
设ABC 的中心为G ，连接SG ，BG ，∴SG ⊥平面ABC ，
AC ⊂面ABC ，∴SG AC ⊥，
又AC BG ⊥，BG SG G ⋂=，∴AC ⊥平面SBG ，
SB ⊂平面SBG ，∴AC SB ⊥，
又SB CD ⊥，AC CD C =，∴SB ⊥平面ACS .
,SA SC ⊂平面ACS ，,SB SA SB SC ∴⊥⊥， ∵S ABC -为正三棱锥，∴SA ，SB ，SC 两两垂直，
SA SB SC ∴===
故三棱锥S ABC -外接球的表面积为2
454ππ⨯=⎝⎭
.
故答案为：54π.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA ，
SB ，SC 两两垂直，即可求出半径.
17．（1）1k =-；（2）7
9
k =-.
【分析】
（1）根据题意，求得(13,23),(2,1)a kc k k b a +=++-=--，根据()//()a kc b a +-，列出方程，即可求解；
（2）由(13,23),2(1,4)a kc k k a b +=+++=-，根据()(2)a kc a b +⊥+，列出方程，即可求解. 【详解】
（1）因为向量(1,2),(1,1),(3,3)a b c ==-=， 可得(13,23),(2,1)a kc k k b a +=++-=--， 因为()//()a kc b a +-，可得
21
1323k k
--=++，解得1k =-． （2）由(13,23),2(1,4)a kc k k a b +=+++=-，
因为()(2)a kc a b +⊥+，所以()(2)1(13)4(23)0a kc a b k k +⋅+=-⨯++⨯+=， 解得7
9
k =-．
18．（1）；（22. 【分析】
（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积； （2）根据等体积法求出内切球的半径.
【详解】
（1）如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于D ，
连结并延长AD 交BC 于E ，连结PE ， ∵ABC 是正三角形，
∴AE 是BC 边上的高和中线，D 为ABC 的中心，
∵
AB =∴1
2
ABC
S =⨯=
又11
33
DE AE =
=⨯∴PE ==
∴1
2
PAB PBC PCA S S S ===⨯△△△
∴三棱锥的表面积为3S =⨯=表面积 （2）设内切球的半径为r ，以球心O 为顶点， 棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
∵1PD =，∴11
33
P ABC V S r r r -===表面积，
由等体积可得2r =，∴2-.
【点睛】
对于正三棱锥常构造以下四个直角三角形：
1、斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）
2、高、斜高、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角）
3、高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角）
4、斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。

第二问解题关键点是几何体内切球的大小用等体积法求其半径． 19．（1）
1
64
；（2）[]9,4-. 【分析】 （1
）根据
1
4
x y =+≥xy 的最大值，注意取等条件； （2）利用“1”的代换结合基本不等式求解出41x y +的最小值，再根据2
min 415a a x y ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭求
解出m 的取值范围. 【详解】
（1）441x y +=
，所以
1
4
x y =+≥164xy ≤，
当且仅当18
x y ==取等号，∴xy 的最大值为1
64.
（2）(
)414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+
+≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16
x =
，1
12y =取等号，
∴2536a a +≤，解得94a -≤≤. 即a 的取值范围是[]9,4-.
20．（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2
. 【分析】
（1）化简可得()1sin 262f x x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，由12min x x π-=可得T π=，则可得1ω=，令
222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈可解得单调递增区间；
（2）由题可得3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而4cos 65πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则可求出sin α和cos α的值，即可求
出所得. 【详解】
解：（1）(
)21cos2cos cos 2
x
f x x x x x ωωωωω+=-=
-
111cos2sin 22262x x x πωωω⎛
⎫--=-- ⎪⎝
⎭
12,x x 是函数()1sin 2126y f x x πω⎛
⎫=-
=-- ⎪⎝
⎭的两个零点， 即12,x x 是方程sin 216x πω⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭的两个实根，且12min x x π-=
T π∴=，222π
ωπ
∴=
=，则1ω=，
()1sin 262f x x π⎛
⎫∴=-- ⎪⎝
⎭
令222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈得,.6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈
()f x ∴的单调递增区间为(),.63k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）113sin ,sin 2621065f αππαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=--=∴-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
40,,cos 2
6
6
365π
π
π
π
πααα⎛
⎫<<
∴-
<-
<
∴-= ⎪⎝
⎭
sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=---= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
sin22sin cos 2ααα∴===
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，解题的关键是正确利用二倍角公式、辅助角公式、和差化积公式进行化简.
21．（1）证明见解析；（2. 【分析】
（1）取BE 中点M ，连接MO 、MF ，根据题目条件可证明出四边形AOMF 为平行四边形，则//AO MF ，再根据线面平行的判定定理可证明出//AC 平面BEF ； （2）利用等体积法先计算三棱锥B DEF V -的体积，然后计算出BEF
S
，利用
1
=3
B DEF BEF
D BEF V S
d --⋅计算出点D 到平面BEF 的距离.
【详解】 解：（1）设AC
BD O =，取BE 中点M ，连接MO 、MF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴O 是BD 的中点，又M 是BE 的中点，∴//OM DE ，1
2
OM DE =， ∵四边形ADEF 是直角梯形，//AF DE ，1
2
AF DE =
，∴OM //AF ， ∴四边形AFMO 是平行四边形，∴//AO FM ，
又FM ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF ； （2） ∵//BC AD ，BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，∴//BC 平面ADEF ， ∵AB AD ⊥，平面ABCD ⊥平面ADEF ，
AB 平面ABCD ，平面ABCD 平面ADEF AD =，
∴AB ⊥平面ADEF ，∴1
1142223
323
B DEF DEF
V S
AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，
∵AB ⊥平面ADEF ，AF ⊂平面ADEF ，∴AB AF ⊥，BF == ∵DE AD ⊥，平面ABCD ⊥平面ADEF ，
DE ⊂平面ADEF ，平面ABCD 平面ADEF AD =， ∴DE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴DE BD ⊥，
在BDE 中，BD =2DE =，BE ，
在BEF 中，EF BF ==BE =∴1
2
BEF
S =⨯= 设点D 到平面BEF 的距离为d ，
由D BEF B DEF V V --=得：1
4
3
3BEF S
d ⋅=
，即1433
d =，
∴d =
【点睛】
计算空间点到面距离的一般方法有：
（1）定义法：过已知点作面的垂线，计算垂线段的长度即可； （2）利用等体积法求解；
（3）空间向量法：求解点P 到平面α的距离时，先计算平面α的法向量m ，在平面α内任取一点A ，利用AP m d m
⋅=
求解即可.
22．（Ⅰ）23π ；
（Ⅱ）. 【分析】
（Ⅰ）由题意结合余弦定理，化简求得4cos a A =-，进而得到1
cos 2
A =-，即可求解；
（Ⅱ）由（
Ⅰ），结合正弦定理，求得2
R =
b c B C +
=，进而得到)3b c B π
+=
+，再根据正弦函数的性质，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意知cos cos 4cos b C c B A +=-，
结合余弦定理222222
4cos 22a b c a c b b c A ab ac
+-+-⨯
+⨯=-，整理得4cos a A =-， 因为2a =，所以1
cos 2
A =-，
又因为(0,)A π∈，所以23
A π=
. （Ⅱ）由（Ⅰ
）知：
222sin sin sin sin 3
a b c R A B C
π=
====，
所以sin()
3b c B C B B π+=-
1(sin ))
23B B B π
=+，
因为(0,)3B π∈，所以2(,)333
B πππ
+∈，
sin()1
3B π
<+≤)3B π+∈，
即 b c +的取值范围. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及两角和差正弦公式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.。