2016届高考数学文命题猜想专题10数列、等差数列﹑等比数列(教师版)

【考向解读】
1.2016年高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n，前n项和S n的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．
2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．
3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.
【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算
例1、(1)[2015·广东卷] 在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．(2)已知在等比数列{a n}中，a2a3a7＝8，则a4＝() A．1 B．4
C．2 D．2 2
【答案】（1）10（2）C
【感悟提升】涉及求等差、等比数列的通项、某一项问题时，常用到等差、等比数列的基本性质．等差数列{a n}中，m＋n＝p＋q⇒a m＋a n＝a p＋a q，m＋n＝2p⇒a m＋a n＝2a p；等比数列{a n}中，m＋n＝p＋q⇒a m a n＝a p a q，m ＋n ＝2p⇒a m a n＝a2p.
【变式探究】在等比数列{a n}中，a1＝2，前n项和为S n，若数列{a n＋1}也是等比数列，则S n 等于()
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由于{a n＋1}也是等比数列，所以（a2＋1）2＝（a
1
＋1）（a3＋1），即a22＋2a2＋1＝a1a3＋a1＋a3＋1，即2a2＝a1＋a3，即2q＝1＋q2，解得q＝1，所以数列{a n}是常数数列，所以S n＝2n.
【命题热点突破二】等差、等比数列的判断与证明
已知数列{a n}的各项均为正数，且a1＝1，a n＋1a n＋a n＋1－a n＝0(n∈N*)．
(1)设b n＝1
a n，求证：数列{
b n}是等差数列；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n .
【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即a n －a n －1＝d(d 为常数，n ∈N *，n≥2)⇔{a n }为等差数列；②等差中项法，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；③通项公式法，即a n ＝an ＋b(a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；④前n 项和公式法，即S n ＝an 2＋bn(a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：
①定义法，即a n a n －1
＝q(q 为常数且q≠0，n ∈N *，n≥2)⇔{a n }为等比数列；②等比中项法，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列；③通项公式法，即a n ＝a 1q n －
1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．
【变式探究】若{a n }是各项均不为零的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n } 满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n
为数列{b n }的前n 项和． (1) 求a n 和T n .
(2) 是否存在正整数 m ，n(1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？ 若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 解：（1）∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 2n －12
＝a n ， ∴S 2n －1＝a 1＋a 2n －12
×（2n －1）＝（2n －1）a n ， 由a 2n ＝S 2n －1，得a 2n ＝（2n －1）a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2n －1.
∵b n ＝1a n ·a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12（12n －1－12n ＋1
）， ∴T n ＝12×（1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1）＝12×（1－12n ＋1）＝n 2n ＋1
. （2）假设存在正整数 m ，n （1<m<n ），使得T 1，T m ，T n 成等比数列，则T 1·T n ＝T 2m .
∵T 1·T n ＝n 6n ＋3＝16＋3n
<16， ∴T 2m ＝⎝⎛⎭⎫m 2m ＋12＝m 2
4m 2＋4m ＋1<16，
∴2m 2－4m －1＜0，∴1－62＜m ＜1＋62，又∵m ∈N 且m ＞1，
∴m ＝2，则T 22＝425.令T 1·T n ＝n 6n ＋3＝425，得n ＝12， ∴当且仅当m ＝2，n ＝12时，T 1，T m ，T n 成等比数列.
【命题热点突破三】 数列中a n 与S n 的关系问题
例3 、(1)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n(n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( )
A ．10
B ．15
C ．－5
D ．20
(2)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a·2n －1＋16，则a 的值为( )
A ．－13 B.13 C ．－12 D.12
【答案】（1）D （2）A
【感悟提升】 数列{a n }中，a n 与S n 的关系为：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1(*)，当n ＝1时，a 1＝
S 1.若a 1＝S 1满足(*)，则a n ＝S n －S n －1(n ∈N *
)；若a 1＝S 1不满足(*)，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2. 【变式探究】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )
A ．(n ＋1)3
B ．(2n ＋1)2
C ．8n 2
D ．(2n ＋1)2－1
【答案】A 【解析】 当n ＝1时，4×（1＋1）×（a 1＋1）＝（1＋2）2a 1，解得a 1＝8.当n≥2
时，4（S n ＋1）＝（n ＋2）2a n n ＋1，4（S n －1＋1）＝（n ＋1）2a n －1n ，两式相减，得4a n ＝（n ＋2）2a n n ＋1
－（n ＋1）2a n －1n ，即a n a n －1＝（n ＋1）3n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝（n ＋1）3n 3×n 3（n －1）3×…×3323×8＝（n ＋1）3.检验知n ＝1也符合该式，所以a n ＝（n ＋1）3.
【命题热点突破四】等差数列与等比数列的综合
例4 、[2015·天津卷] 已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．
(1)求q 的值和{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1
，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．
（2）由（1）得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2
n －1. 设{b n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋（n －1）×12n －2＋n×12
n －1， 12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋（n －1）×12n －1
＋n×12n ， 上述两式相减，得
12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12
－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22
n －1. 所以数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22
n －1，n ∈N *. 【感悟提升】 在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．
【变式探究】已知等比数列{}a n 的首项a 1＝2，公比q>1，且a n ，54
a n ＋1，a n ＋2成等差数列（n ∈N *）. （1）求数列{}a n 的通项公式；
（2）记b n ＝na n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，若（n －1）2≤m （S n －n －1）对于n≥2，n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围.
【高考真题解读】
【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）
（A ） 172 （B ）192
（C ）10 （D ）12 【答案】B
【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922
a a d =+=+=，故选B. 【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________
【答案】5
【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =；
若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =；
故答案为5
【2015高考福建，文16】若,a b 是函数()()2
0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________．
【答案】9
【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13-【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3
d a =-=.【2015高考广东，文13】若三个正数a ，
b ，
c 成等比数列，其中5a =+5c =-b = ．
【答案】1
【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．
【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .
【答案】6
【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2(12)12612
n n S -==-，∴264n =，∴n=6.。