《百日闯关系列》数学专题+二++第二关++以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题

1
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1 专题二 压轴填空题
第二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题
【名师综述】
含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.
类型一 可转化为二次函数的恒成立问题
典例1．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C. D ．
【答案】A
【解析】当时，在上是增函数
对任意实数恒成立对任意实数恒成立
，故选A. 【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号f 去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图象处理．
【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】对任意x R ∈不等式2
2
2x x a a +-≥恒成立, 则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[]1,1-
R ()f x 0x ≥()3
f x x =()(
)
2
42f t f m mt
->+t
m (
,-∞
()
(
)),0-∞⋃
+∞(
)
,-∞⋃+∞0x <()3
3
()()()()f x f x x f x x x R f x =--=⇒=∈⇒R 242t m mt ⇒->+t 2442t mt t m ⇒->++t 2
01680
m m m <⎧⇒⇒∈⎨∆-<
⎩(,-∞
2
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2 【解析】设t a x =-||,则t a x ±=,2222t at a x +±=,故原不等式转化为
)0(0222≥≥±+t at t t ,即022≥±+a t ,所以022≤-≥±t a ,即11≤≤-a .故应填答
案[]1,1-.
类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题
典例1 【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】若不等式()()2
1112x n x ax ax
++<+在()0+∞，上恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】由题可设()()()2
1112f x x n x ax ax =++--则问题转化为()0f x <在()
0+∞，上恒成立，则'12211f x ln x ax a x =+--+>-（）（），
（ⅰ） 当0a ≤时'11210f x ln x a x =++-+，（）（）（）＞， 则()f x 在()0+∞，上单调递增，所以00f x f =（）＞（） 在()0+∞，上恒成立，与已知不符， 故0a ≤不符合题意．
（ⅱ）当0a ＞时，令()1
''21
x f x x a x ϕϕ=-+（）（），＝，
且
()1
011
x ∈+，， 21a ≥， 即12a ≥时， ()1
'201
x a x ϕ-<+＝，
于是x ϕ（）
在0x ∈+∞（，） 上单调递减， 所以0120x a ϕϕ=-≤（）＜（）， 即'0f x （）＜ 在0x ∈+∞（，）上成立． 则()f x 在0x ∈+∞（，）
上单调递减， 故00f x f =（）＜（）在()0+∞，上成立，符合题意．
021a ＜＜，即102a ＜＜ 时，
()12121110'2211
a x a x a a x x ϕ⎡⎤
⎛⎫--- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦--++＞，＝＝，
3
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3 若1012x a
⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭，， 则'0x x ϕϕ（）＞，（）
在1012x a
⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭
，上单调递增； 若在112x a ⎛⎫∈-+∞
⎪⎝⎭，， 则'0x x ϕϕ（）＜，（）在112x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递减， 又0120a ϕ=-（）＞， 则0x ϕ（）＞在1012x a
⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭
，上成立，即'0f x （）＞ 在
1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()f x 在1012x a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，上单调递增，则00
f x f =（）＞（）在1012x a
⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭
，上恒成立．与已知不符，故102
a ＜＜不符合题意．综上所述， a 的取值
范围1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
即答案为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
【名师指点】()()f x g x ≤恒成立等价与()()0f x g x -≤恒成立，记
()()()G x f x g x =-，则max ()0G x ≤，本题中由于()G x 有参数，需要分类讨论，利用导
数求最值．
【举一反三】设函数，若对所有都有，则实数的取值范
围为__________． 【答案】
【解析】令，则
（ⅰ）若，当时， 故在上为增
函数，所以， 时， 即
（ⅱ）若 方程的正根为
此时，若则，故在该区间为减函数．
()x
x
f x e e
-=-0x ≥()f x ax ≥a (]
,2-∞g x f x ax =-（）（）''x x g x f x a e e a -=-=+-（）（），2a ≤0x ＞'20x x
g x e e a a -=+--≥（
）＞，g x （）0+∞（，）0x ≥00g x g ≥=（）（），f x ax ≥（）．2a ＞，'0g x =（
）12lna x +=10x x ∈（，），'0g x （）＜g x （）
4
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4 所以， 时， 即与题设相矛盾． 综上，满足条件的 的取值范围是． 类型三 利用参变分离求恒成立问题
典例 2 【河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试数学】已知函数()331f x ax x =-+对(]0,1x ∈总有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[4，＋∞)
【解析】当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a≥
331x x -，设g(x)＝3
31
x x
-，x ∈(0,1]，g′(x)＝()3264
1633132x x x x x x ⎛
⎫- ⎪--⎝⎭=-，因此g(x)的最大值为4，则实数a 的取值范围是
[4，＋∞)． 故答案为[4，＋∞)
【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“()()g a h x >”形式，则只要求出()h x 的最大值M ，然后解()g a M >即可． 【举一反三】【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数
x x e x f 1)(22+=，x e x e x g 2)(=，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1
)
()(21+≤
k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围为 . 【答案】[)1,+∞
【解析】对于函数()f x ,当0x >时
, 22211()2e x f x e x e x x +=
=+≥=,所以当2(0,)x ∈+∞,函数()f x 有最小值2e ；对于函数2()x e x g x e =,2(1)
'()x
e x g x e -=,当01,'()0x g x <<>；当1,'()0x g x ><,所以当1x =时,函数()g x 有最大值(1)g e =.又
10x x ∈（，）00g x g =（）＜（），f x ax （）＜，f x ax ≥（
）a (]
,2-∞
5
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5 不等式
1)
()(21+≤
k x f k x g 恒成立，0k >,所以21
e e k k ≤+,所以1k ≥. 类型四 利用图像法求恒成立问题
典例 3 【2018江西南昌摸底】已知函数()2
1,0,()={
3,0
ln x x f x x x x +>-+≤，若不等式
()20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．
【答案】3⎡⎤--⎣⎦
【解析】不等式即： ()2mx f x ≤+恒成立，作出函数()2y f x =+的图象，则正比例函
数y mx =恒在函数()2y f x =+的图象下方，考查函数： 2
32y x x =+﹣
经过坐标原点的切线，
易求得切线的斜率为3k =--由此可得：实数m
的取值范围为3⎡⎤--⎣⎦
，
故答案为3⎡⎤--⎣⎦
．
【名师指点】()()f x g x ≤等价于在公共定义域区间内，函数()y f x =的图像落在()y g x =的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围．
【举一反三】已知函数()f x =
,若|
|≥
,则
的取值范围是
6
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6 __________. 【答案】[2,0]-. 【解析】
试题分析：当0x >时，由|()|f x ax ≥，得|()|0f x ax -≥，即|ln(1)|0x ax +-≥，因为当0x >时，ln(1)0x +>，所以ln(1)0x ax +-≥，令ln(1)y x ax =+-，要使
ln(1)0x ax +-≥，(0)x >成立，0a ≤；当0x =时，恒成立；当0x <时，由
|()|f x ax ≥，得|()|
f x a x
≤，即
2|2|x x a x -+≤，化简得|2|x a --≤，而|2|x --最大为2-，故2a ≥-，综上可得20a -≤≤. 【精选名校模拟】
1．已知函数()()2
21f x ax a x =-+， ()1x
g x e x =--，若对于任意的()10,x ∈+∞，
2x R ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________．
【答案】1,02⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【解析】由1x
g x e x =--（），则'1x
g x e =-（），
令'0g x （）＞，解得0x ＞；令'0g x （）＜，解得0x ＜． ()g x ∴在0-∞（，）
是减函数，在0+∞（，） 是增函数，即min 00g x g
==（）（）． 对于任意的()10,x ∈+∞， 2x R ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则有10f x g ≤（）（） 即
可．
即不等式0f x ≤（）对于任意的0x ∈+∞（，）恒成立， ()'221f x ax a =-+（），
当0a =时， '10f x =-<（）， f x ∴（）在0+∞（，）是减函数， 00max f x f ∴==（）（
） ， 0a ∴= 符合题意．
当0a ＜时， ()'221f x ax a =-+（），， 令'0f x （）＞ ，解得212a x a +>
；令'0f x （）＜，解得21
2a x a
+<．
7
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7 当
2102a a +< 即1
2
a <-时， f x （
）在0+∞（，） 是减函数， 00max f x f ∴==（）（
） ， 0a ∴= （舍去）． 当
2102a a +≥ 即102a -≤<时， f x （）在2102a a +（，）
是增函数，在21,2a a +⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
是减函数，
()()2
2121211212102222max a a a f x f a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+=+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（） ，恒成
立．得1
02
a -
≤< 1
02
a ∴-
≤<符合题意． 当0a ＞ 时，当x →+∞时， f x →+∞（），这与对于任意的0x ∈+∞（，） 时0f x ≤（） 矛盾．故不成立
综上所述a 的取值范围为1,02⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
． 即答案为1,02⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
2．【华大新高考联盟2018届高三】设函数()22
2(3
x f x x e mx m e =-+
为自然对数的底数）
，当x R ∈时， ()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】[]
0,6e
【解析】由题意可得： 22
23
x x e mx m ≥-恒成立， 令2122
2,3
x y x e y mx m ==-
，则()
'2214224x x x y xe x e e x x =+=+， 令()
2240x e x x +=可得： 120,2x x ==-，
绘制函数2122
2,3
x y x e y mx m ==-
的图像如图所示， 满足题意时， 212x
y x e =的图像不在223
y mx m =-的图像的下方，
设切点坐标为()00,P x y ，切线方程为： ()00y y k x x -=-，
8
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8 即： ()()0022
000
224x x y x e e x x x x -=+-，
切线过点2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
，则： ()
0022
000202243x x x e e x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 解方程可得： 00x =或01
x =或04
3
x =-
， 结合函数图像可得： ()024m e ≤≤+，即06m e ≤≤. 表示为区间形式即[]
0,6e .
3．已知函数2
()ln f x x x =，若关于x 的不等式()10f x kx -+≥恒成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(,1]-∞ 【解析】 ∵函数
的定义域为
，
恒成立,即等价于，
令，则，
令，则在上恒成立，
∴在上单调递增，
故当时，，函数单调递减；
当
时，
，函数
单调递增，则
，
9
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9 故，故答案为
.
4．已知函数()2x
f x e x =--，若任意的[]1,1a ∈-，总存在[]
1,1x ∈-，使得
()224f x t at ≤--恒成立，则t 的取值范围是__________．
【答案】][()
,33,-∞-⋃+∞ 【解析】∵()2x
f x e x =--，
∴()1x
f x e '=-，
∴当()1,0x ∈-时， ()()0,f x f x '<单调递减； 当()0,1x ∈时， ()()0,f x f x '>单调递增。

∴当0x =时， ()f x 取得极小值，也为最小值，且()()min 01f x f ==-。

由题意得对任意的[]
1,1a ∈-， 2124t at -≤--恒成立， 即对任意的[]
1,1a ∈-， 2230t at --≥恒成立。

设()2
23g a ta t =-+-， []
1,1a ∈-，
则()0g a ≥对[]
1,1a ∈-恒成立， ∴()()221230
{
1230
g t t g t t -=+-≥=-+-≥，解得3t ≤-或3t ≥。

故实数t 的取值范围是][()
,33,-∞-⋃+∞。

答案： ][()
,33,-∞-⋃+∞
5．【河北省定州中学2018届高中毕业班上学期期末考试】若对于任意的正实数,x y 都有
2?ln y y x x e x me ⎛⎫-≤ ⎪
⎝
⎭成立，则实数m 的取值范围为______ 【答案】10,e
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
10
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10 【解析】原不等式等价于1
2ln y y e x x m
⎛⎫-
≤
⎪⎝⎭.令()()2ln ,0g t e t t t =->，则()2'1ln e g t t t =
--，因()2'1ln e g t t t
=--在()0,+∞上是单调减函数，且()'0g e =，故当()0,x e ∈， ()'0g x >， ()g x 在()0,e 内是单调增函数；当(),x e ∈+∞，当()0,x e ∈，
()'0g x <， ()g x 在(),e +∞内是单调减函数，所以 ()()max g t g e e ==，所以
1
e m
≥，解得10m e <≤
，填10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
． 6．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研（一模）】若不等式()2
2
2x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ， y 恒成立，则实数c 的最大值为__________．
【答案】4
【解析】∵不等式x 2−2y 2⩽cx (y −x )对任意满足x >y >0的实数x 、y 恒成立，
∴2222
22
2x y x y c xy x x x y y ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
=-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，令x y =t
>1， ∴()
222t c f t t t -=-， ()()(()
222
222
242't t t t f t t t t t
---+==-
-， 当2t >+,f ′(t )>0,函数f (t )单调递增;
当12t <<,f ′(t
)<0,函数f (t )单调递减。

∴当2t =+,f (t )
取得最小值, (24f +=. ∴实数c 的最大值为4.
7．已知函数f (x )= 1a x x ⎛
⎫-
⎪⎝⎭ 2lnx (a ∈R )，g (x )= a x
-，若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为_______. 【答案】()0,+∞
11
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11 【解析】由题意得不等式12ln a a x x x x ⎛⎫-->- ⎪
⎝
⎭ 在[1，e ]上有解,即min
2ln x a x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭ 令[]()min 22ln 22ln ,1,0100x x
y x e y y y a x x
-=
∈∴=≥∴==∴>' 8．【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】若不等式()()2
1ln 12x x ax ax ++<+在(0，+∞)上恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】[
1
2
，+∞) 【解析】设()()()2
1ln 12f x x x ax ax =++--，则()()ln 1221f x x ax a =+--+'，(i)当a≤0时， ()0f x '>，则()f x 在(0，+∞)上单调递增，所以()()00f x f >=在(0，+∞)上恒成立，与已知不符，故a≤0不符合题意. (jj )当 a>0 时，令()()x f x ϕ='， ()121x a x ϕ+'=-，且()1011
x ∈+，，①当2a≥1，即12a ≥
时， ()1
201
x a x ϕ=-<+'，于是()x ϕ在 (0，+∞)上单调递减，所以()()0120x a ϕϕ<=-≤，即()0f x '<在()0x ∈+∞，上成立.则f(x)在()0x ∈+∞，上
单调递减，故f(x)< f (0)=0在(0，+∞)上成立，符合题意.②当0<2a<1，即0<a<
1
2
时， 1021a >-，
()12[112211a x a x a x x ϕ⎛⎫
--- ⎪
⎝⎭'=-=++，
若1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，则()0x ϕ'>， ()x ϕ'在1
012x a ⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭
，上单调递増；若在112x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝
⎭
，
，则()0x ϕ'<， ()x ϕ在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递减，又()0120a ϕ=->，则()x ϕ在1012a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，上成立，即
()0f x '>在1
012a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，上恒成立，所以()f x 在1
012a
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，上单调递增，则
()()00f x f >=在1012a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，上恒成立.与已知不符，故0<a<12不符合题意.综上所述，
a 的取值范围[
1
2
，+∞).
12
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12 故答案为[
1
2
，+∞). 9．已知关于x 的不等式1
2x a x
>对任意的()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()ln2,e -+∞ 【解析】12x a x >
max
ln22ln ln2(1)ln a x
x x a x x a x x --⎛⎫⇒>⇒>-⇒>> ⎪⎝⎭ 令()2ln 1ln 11,0,0x x y y x e y y e e x x e y
-=
∴===∴<≤=∴≥' 因此max
ln2ln2,ln2ln x e a e x -⎛⎫
=->-
⎪⎝⎭
10．已知f (x )＝(x ＋1)3e －x ＋1
，g (x )＝(x ＋1)2
＋a ，若∃x 1，x 2∈R，使得f (x 2)≥g (x 1)成立，
则实数a 的取值范围是__________． 【答案】27,
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
【解析】∃x 1，x 2∈R，使得f (x 2)≥g (x 1)成立，即为f (x )max ≥g (x )min .又f ′(x )＝(x ＋1)2e
－x
＋1
(－x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝－1或2，且当x ＜2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x
＞2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (2)＝27e ，又g (x )min ＝a ，则a ≤27
e
，故实数a 的取值范围是(－∞，
27
e
]． 11．已知函数()()ln f x x e a x b =+-+，其中e 为自然对数的底数，若不等式()0f x ≤恒
成立，则
b
a 的最大值为__________． 【答案】1
e
【解析】由函数的解析式可得： ()()()1
'0f x e a x x
=
+->， 当0,x a e >≤时， ()'0f x >，不合题意，舍去， 当a e >时，由()'0f x =可得： 1
x a e
=
-， 当10,x a e ⎛
⎫∈ ⎪-⎝⎭
时， ()()'0,f x f x >单调递增，
13
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13 当1,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭
时， ()()'0,f x f x <单调递减，
则当1
x a e
=-时，函数取得最大值，即10f a e ⎛⎫
≤ ⎪-⎝⎭
， 即： ()11ln
0e a b a e a e
+-⨯+≤--， 整理可得： ()ln 10a e b --+≥， 即()()ln 1
ln 1,
a e
b b a e a a
-+≤-+≤恒成立， 则原问题转化为求解()()()ln 1
x e g x x e x
-+=>的最大值.
求导可得： ()()()
()
2ln 'e x e x e g x x x e ---=
-，
令()()()()ln H x e x e x e x e =--->，
则()'H x = ()ln 1x e ---，令()'0H x =可得： 1
x e e =+，
当1,x e e e ⎛
⎫∈+ ⎪⎝⎭时， ()()'0,H x H x >单调递增，
当1,x e e ⎛⎫
∈++∞ ⎪⎝⎭时， ()()'0,H x H x <单调递减，
当1x e e =+时， ()H x 取得最大值： 11H e e e e ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，
且： x e →时， ()0H x >， ()20H e =，
据此可知()g x 在区间(),2e e 上单调递增，在区间()2,e +∞上单调递减， 即函数()g x 的最大值为()ln 11
22e g e e e
+==， 综上可得：
b a 的最大值为1
e
. 12．已知：函数
，若对
使得
14
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14 ，则实数
的取值范围__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意只要在上的最小值大于
在上的最小值即可，显然当
时，的最小值为0，当时，
的最小值为
，所以
，所以
．
13．设0απ≤≤，不等式2
8(8sin )cos20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，则α的取值范围________． 【答案】5[0,
][
,]6
6
π
ππ 【解析】根据题意有264sin 32cos 20αα-≤，即21
sin 4
α≤，结合题中所给的角的范围，
求得α的取值范围是5[0,][
,]6
6
π
π
π． 14．已知函数()f x 3213x x ax =
++，
若1()x g x e =，对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在21,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使12'()()f x g x ≤成立，则实数a
的取值范围是 ． 【答案】(8]-∞- 【解析】
试题分析：2
2
'()2(1)'()f x x x a x a f x =++=++⇒在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数⇒
max '()'(2)8f x f a ==+，由1()x g x e =
在1,22⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数max
1()()2g x g
⇒==，又原命题等价于max max '()()8f x g x a a
≤⇒+≤
⇒∈(8]-∞-. 15．【江西省莲塘一中、临川二中2018届高三上学期第一次联考】已知函数()ln f x x =，对(]
0,x e ∀∈不等式()()()11f x f c x -≥-恒成立，则实数c 的取值范围是__________.
15
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15 【答案】11,
1e ⎡⎤
-⎢⎥-⎣⎦
【解析】由题意可得， ()10f =，则原问题即不等式()()1f x c x ≥-恒成立，
即函数()f x 的图象恒在过定点()1,0的直线非下方， 绘制函数图象如图所示，考查临界条件：
当01x <≤时，直线()1y x =-+恰好为函数ln y x =-的切线， 由函数的解析式可得(),1B e ，则101
11
AB k e e -=
=
--， 结合图象可得实数c 的取值范围是11,1e ⎡
⎤-⎢⎥-⎣⎦
.。