2022版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三讲逻辑联结词全称量词与存在量词学案含解析新人教

第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作__p∧q__，
(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作__p∨q__，
(3)对一个命题p的否定记作__¬p__，
(4)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断真值表
p q ¬p p∨q p∧q
真真__假____真____真__
真假__假____真____假__
假真__真____真____假__
假假__真____假____假__
1．全称量词与全称命题
(1)短语“__所有的__”“__任意一个__”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有__全称量词__的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：__∀x∈M，p(x)__.
2．存在量词与特称命题
(1)短语“__存在一个__”“__至少有一个__”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有__存在量词__的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：__∃x0∈M，p(x0)__.
3．含有一个量词的命题的否定
(1)
(2)p∨q__(¬p)∧(¬q)__
p∧q的否定是__(¬p)∨(¬q)__.
归纳拓展
1．逻辑联结词与集合的关系．
(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；
(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；
(3)“非”与集合中的补集相类似．
2．常用短语的否定词
双基自测
题组一走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)
(2)命题p和¬p不可能都是真命题．( √)
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)
(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)
题组二走进教材
2．(理)(选修2－1P23T2改编)(文)(选修1－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C ) A．∃x0∈R，lg x0＝1B．∃x0∈R，sin x0＝0
C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0
[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．
3．(理)(选修2－1P18A1(3)，改编)(文)(选修1－1P18A1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )
A．1B．2
C．3D．4
[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．
题组三走向高考
4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__①③④__.
①p1∧p4②p1∧p2
③(¬p2)∨p3④(¬p3)∨(¬p4)
[解析]对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；
对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而¬p2是真命题；
对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬p 3是真命题；
对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬p 4是假命题． 综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬p 2)∨p 3是真命题，(¬p 3)∨(¬p 4)是真命题，所以答案为①③④.
5．(2016·某某，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2
[解析]根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．
6．(2015·某某，5分)若“∀x ∈[0，π
4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__1__.
[解析]由已知可得m ≥tan x (x ∈[0，π4])恒成立．设f (x )＝tan x (x ∈[0，π
4])，显然该函数
为增函数，故f (x )的最大值为f (π4)＝tan π
4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m 的最小
值为1.
考点突破·互动探究
考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透
例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指
定X 围”，q 是“乙降落在指定X 围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定X 围”可表示为( A )
A ．(¬p )∨(¬q )
B ．p ∧(¬q )
C ．(¬p )∧(¬q )
D ．p ∨q
(2)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( B ) A ．p 或q B ．p 且q C ．q D ．¬p
(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题：
①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(¬p )∨(¬q )为假． 其中，正确的是__②__.(填序号)
[解析](1)命题p 是“甲降落在指定X 围”，则¬p 是“甲没降落在指定X 围”，q 是“乙降落在指定X 围”，则¬q 是“乙没降落在指定X 围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定X 围”包括“甲降落在指定X 围，乙没降落在指定X 围”“甲没降落在指定X 围，乙降落在指定X 围”“甲没降落在指定X 围，乙没降落在指定X 围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定X 围”可表示为(¬p )∨(¬q )．
(2)取x ＝π3，y ＝5π
6
，可知命题p 是假命题；
由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．
(3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假
例2( 2021·某某某某期末)下列命题中假命题是( B ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2 >0 C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2
[解析]根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R .知D 是真命题．故选B ．
角度2 含一个量词的命题的否定
例3 (1)已知命题p：“∃x0∈R，e x0－x0－1≤0”，则¬p为( C ) A．∃x0∈R，e x0－x0－1≥0
B．∃x0∈R，e x0－x0－1>0
C．∀x∈R，e x－x－1>0
D．∀x∈R，e x－x－1≥0
(2)(2021·某某部分学校摸底)命题“∀x∈R，
x
x－1≥0”的否定是( D ) A．∃x∈R，
x0
x0－1<0B．∃
x∈R,0<x0<1
C．∀x∈R，
x
x－1≤0D．∃
x∈R,0<x0≤1
[解析](1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬p为“∀x∈R，e x－x－1>0”，故选C．
(2)∀x∈R，
x
x－1≥0的否定是∃
x0∈R，使
x
x－1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x0∈R,0<x0<1或x0＝1，故选D．
名师点拨
全(特)称命题真假的判断方法
全称命题特称命题
真假真假真假
法一
证明所有对象使
命题为真
存在一个对象
使命题为假
存在一个对象
使命题为真
证明所有对象
使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真角度3 含参命题中参数的取值X围
例4 已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －m ，若对于∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是( A )
A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14
C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞
D ．⎝
⎛⎦⎥⎤
－∞，13
[解析]当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝1
4－m ，
由f (x )min ≥g (x )min 得0≥14－m ，所以m ≥1
4
.
[引申1]把本例中“∃x 2∈[1,2]”改为：“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是__m ≥1
2
__.
[解析]当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝1
2－m ，
由f (x )min ≥g (x )max 得0≥12－m ，所以m ≥1
2
.
[引申2]把本例中，∀x 1∈[0,3]改为∃x 1∈[0,3]其他条件不变，则实数m 的取值X 围是__m ≥1
4
－ln 10__.
[解析]当x ∈[0,3]时，f (x )max ＝f (3)＝ln 10， 当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝1
4－m ，
由f (x )max ≥g (x )min 得ln 10≥1
4
－m ，
所以m ≥14－ln 10.答案：m ≥1
4
－ln 10
[引申3]把本例中，∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]改为∃x 1∈[0,3]，∀x 2∈[1,2]，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是__m ≥1
2
－ln 10__.
[解析]当x ∈[0,3]时，f (x )max ＝f (3)＝ln 10， 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝1
2－m ，
由f (x )max ≥g (x )max ，得ln 10≥1
2－m ，
所以m ≥12－ln 10.答案：m ≥1
2
－ln 10
名师点拨
根据复合命题的真假求参数X 围的步骤
(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值X 围．
(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值X 围． 〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2020·某某某某外国语学校高三上期中改编)下列命题中，真命题是( C ) A ．∃x 0
∈R ，sin 2
x 0
2
＋cos 2
x 02
＝1
2
B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x
C ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x
D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1
(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0
B ．p 是假命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0
C ．p 是真命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0
D ．p 是真命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0
(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是( C )
A ．(－∞，－2)∪{1}
B ．(－∞，－2]∪[1,2]
C ．(1，＋∞)
D ．[－2,1]
(4)(角度3)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 和g (x )＝2x ＋
x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2
∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值X 围是__[－1，＋∞)__.
[解析](1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀
x ∈R ，sin 2
x
2
＋cos 2
x
2
＝1，所
以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝2
2，所以B 为假命题；对于
C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于
D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选C ．
(2)∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题，¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0.故选B ．
(3)命题p 为真命题时a ≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.又(¬p )∧q 为真命题，即¬p 真且q 真，所以a >1，即a 的取值X 围为(1，＋∞)．故选C ．
(4)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f (x )∈[a －1，＋∞)． 因为g (x )＝2x ＋
x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增，
所以g (x )∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a ≤－1，故实数a 的取值X 围是(－∞，－1]．
名师讲坛·素养提升
简易逻辑的综合应用
例5(2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A )
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
[解析]依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A．
名师点拨
在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕
(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D ) A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
高考
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．
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