高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》专项训练答案

数学《函数与导数》复习资料
一、选择题
1．已知()2
ln33,33ln3,ln3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b <<
D ．a b c <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据,,a b c 与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案. 【详解】
因为3
23e e <<，所以31ln 32
<<， 则3
ln3
22
3336,33ln 36,(ln 3)3a b c <=<=<=+>=<，
所以c a b <<.
故选：B 【点睛】
本题主要考查利用中间值比较几个式子的大小关系，属基础题.
2．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( ) A ．222e e + B ．25050e e + C ．2100100e e + D ．222e e --
【答案】A 【解析】 【分析】
由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】
由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称
又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数
()()()()()()()()()1281241240
f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=Q 且()()()()2
123422f f f f e e +++=+
()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+
故选：A
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.
3．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】
因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，
(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
4．已知()(1)|ln |
x
f x x x =
≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2(2,)e e
⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭
B ．11,e e ⎛⎫+
⎪⎝⎭
C ．(1,)e e -
D ．1
e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知易知()f x m =与()1f x m =+的根一共有4个，作出()f x 图象，数形结合即可得到答案. 【详解】
由22
[()](21)()0f x m f x m m -+++=，得()f x m =或()1f x m =+，由题意()f x m =
与()1f x m =+两个方程的根一共有4个，又()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以
()|ln |ln x x f x x x =
=，令()ln x g x x
=，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由'
()0g x >得
x e >， 由'
()0g x <得1x e <<或01x <<，故()g x 在(0,1),(1,)e 单调递减，在(,)e +∞上单调递 增，由图象变换作出()f x 图象如图所示
要使原方程有4个根，则01m e
m e <<⎧⎨+>⎩
，解得1e m e -<<.
故选：C 【点睛】
本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.
5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2
42f x f x x +-=+，设()()2
2g x f x x =-，
若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
∵()()2
42f x f x x +-=+，()()2
2g x f x x =-
∴2222
()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称
∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.
6．函数2
2()41
x x x f x ⋅=-的图像大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
∵函数()2
2?41x x x f x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U
∴22
2()2()()4114x x x x
x x f x f x --⋅-⋅-===---
∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，C. ∵2
(1)03
f =>，故排除D. 故选A.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
7．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1
C ．1ln2-
D ．1ln2+
【答案】D 【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000
002
ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，
0002ln kx x x ∴-=，00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.
8．函数22cos x x
y x x
--=-的图像大致为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
排除选项D ； 根据特殊值502
f π
⎛⎫
>
⎪⎝⎭
排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数()
f x = 22cos x x
y x x
--=-,
则5522
52252
2
f ππππ-
-⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,552
2
52252
2
f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭
;
即552
2f f ππ⎛⎫
⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.故选项D 排除; 对于选项C ：因为552
2
522052
2
f ππππ-
-⎛⎫=> ⎪⎝⎭
,故选项C 排除;
对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时
()0f x <.故选项B 排除;
故选项:A 【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
9．函数()2
sin f x x x x =-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】
因为()()()()()2
2sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；
()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成
立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，
()()12f x f x ∴>，
所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，
()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1
()2
f x x <
-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,1)-∞
C ．()(1,2)2,3⋃
D ．()(,1)3,-∞⋃+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，
()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1
()|2|
f x x <
-等价
于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可. 【详解】
当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>， 令()|2|()F x x f x =-.
当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>， 即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，
所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1
()|2|
f x x <
-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，
所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C
【点睛】
本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.
11．已知函数()2
943,0
2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩
，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ）
A ．73,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()1,0-
C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()4,5
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令
()()0f f x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x f x x =+-=，利用
零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.
【详解】
当0x ≤时，()34f x <≤.
当0x ≥时，()2
932log 92log 9x
x
x f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3
x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0f
f x =，得()32
log 93x
f x x =+-=，因为()303f =<
，
3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫
=->⨯+-=> ⎪⎝⎭
，
所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．已知函数(
))
ln
f x x =，设()3lo
g 0.2a f =，()0.23b f -=，
()
1.13c f =-，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】D 【解析】
∵())
ln
f x x =
∴())f x x ==
∴())f x x -=
∵当0x >1x >；当0x <时，01x <
∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，
())f x x -=；
当0x <时()))f x x x ==；
()))f x x x -=-=.
∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数
∴当0x >时，易得())f x x =为增函数
∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1
(3)(3)c f f =-=
∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>
∴ 1.10.2
3(3)(log 5)(3)f f f ->>
∴c a b >> 故选D.
13．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
12e
- B ．2e - C ．1-
D ．e
【答案】B 【解析】 【分析】
对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1
x e
=求得结果. 【详解】
由题意得：()()121f x f x
''=+
令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-
()12f x x '∴=-+
12f e e ⎛⎫
'∴=- ⎪⎝⎭
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.
14．已知函数
()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设
12a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）
A ．b a c <<
B ．c b d <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
【答案】A 【解析】 【分析】 根据
()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上
单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系. 【详解】
()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称
()f x ∴图象关于1x =对称
()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增
又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫
∴-<-< ⎪⎝⎭
，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.
15．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．x -y ＝0 B ．x -y -2＝0
C ．x +y -2＝0
D ．3x -y -2＝0
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案.
当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以
2()ln f x x x =-，
(1)1f =，所以'1()2f x x x
=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =. 故选：A ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
16．函数()3ln 2x f x x x =
+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =-
B ．75y x =-
C ．63=-y x
D ．74y x =- 【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.
【详解】
由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x -=
+， 则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==
+⨯=， 且：()012121
f =+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-.
本题选择B 选项.
【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
17．下列求导运算正确的是（ ）
A ．()cos sin x x '=
B ．()1ln 2x x '=
C ．()333log x x e '=
D ．()22x x x e xe '
=
【解析】
分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.
详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x =
⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222x x x x e xe x e =+，D 不正确，故选B.
点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.
18．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：
19．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】
【分析】
根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1530a a >⎧⎨-≥⎩
，解不等式即可. 【详解】
0a >Q
5y ax ∴=-在定义域内单调递减
若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数
则需1530
a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤ 故选：D
【点睛】
本题考查对数函数的单调性，属于中档题.
20．已知函数()2ln 2x
x f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x g x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x
=的最大值为3x ，则（ ） A ．123x x x >>
B ．213x x x >>
C ．312x x x >>
D ．321x x x >>
【解析】
【分析】
根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =
<，即314
x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 ()1x f x e x x
'=+-Q 在()0,∞+上单调递增 且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增 且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭ 211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()11111211112220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭
且()g x 单调递增 12x x ∴>
由()2
1ln 2x h x x -'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>
本题正确选项：A
【点睛】
本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.。