3、2019年高考文数二轮复习精品资料专题07+三角恒等变换与解三角形(押题专练)

1．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2
x ，则tan ⎝⎛⎭
⎫x －π4等于( )
A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3
解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13
.
2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝1
2a sin C ，则sin B
为( )
A.74
B.34
C.73
D.13
解析：选A 由b sin B －a sin A ＝1
2
a sin C ，且c ＝2a ，
得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2
＝3
4
， ∴sin B ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342
＝74
. 3．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2
θ－1cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋θ
的值为( ) A.2
3 B.4
3 C.34
D.32 解析：选D 法一：由sin θ－cos θ＝－144
， 得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝7
4
.
因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以π
4－θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，
所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3
4
，
故2cos 2
θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭
⎫
π
2－2θsin ⎝⎛⎭
⎫π
4－θ
＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π
4－θsin ⎝⎛⎭
⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32.
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b
<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形
D ．等边三角形
解析：选A 根据正弦定理得c b ＝sin C
sin B
<cos A ，
即sin C <sin B cos A .
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.
又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π
2<B <π，
∴△ABC 为钝角三角形．
5．如图，在△ABC 中，∠C ＝π
3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，
则cos A 等于( )
A.22
3 B.2
4 C.
64
D.
63
解析：选C 依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC
sin ∠BDC
＝
BD
sin C ，
4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A
，由此解得cos A ＝6
4.
6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2，则sin αcos α＝( )
A ．－3
4
B ．－310
C ．－43
D.43
解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝
sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α
＝－3
10，故选B. 解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝1
4，即
4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－3
10
，故选B.
7．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝
⎛⎭⎫α＋4π3＝( ) A ．－3
4
B ．－14
C.
34
D.14
解析：选B.∵a ⊥b ，
∴a·b ＝4sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6＋4cos α－3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14
. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14
.
8．在△ABC 中，若3cos 2A －B 2＋5sin 2A ＋B
2＝4，则tan A ·tan B ＝( )
A ．4 B.1
4 C ．－4
D ．－14
9．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝1
3，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.7
9 B.13 C ．－13
D ．－79
解析：选D.cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝2cos 2⎝⎛⎭
⎫π3＋α－1 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×19－1＝－7
9
. 10．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π
3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC
的面积等于( )
A.32
B.34
C.36
D.38
解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π
3，
又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝3
4
.
11．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋3
2
c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )
A.π4
B.π
6 C.π3
D.π12
解析：选B.因为a cos C ＋
32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32
·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，
所以
32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6
，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，
联立⎩
⎨⎧
1＝b 2
＋c 2
－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A
a ＝1×1
21＝12，∵b ＜c ，∴B
12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π
3，
则b ＝________.
解析：由题意可得S ＝1
2ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b
＝7.
答案：7
13．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x
2
－sin x －1
sin x ＋cos x
＝________.
解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2.所以2cos 2x
2－sin x －1
sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝
1－tan x
tan x ＋1＝－3.
答案：－3
14．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3
5，则sin α＋cos α的值为________．
解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π
2
，
⎩⎨⎧
－3π4＜－β＜－π2
π2＜α＜3π4
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－π4＜α－β＜π4α－β＞0
⇒0＜α－β＜π
4
.
根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－4
5，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α
＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－5665，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为π2＜α＜3π
4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝365
65
.
答案：36565
15．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫
π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；
(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25
，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π
2
，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，
由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.
(2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25， 即sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－3
5
， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝4－33
10. 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝6
6
b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝
⎛⎭⎫2A －π
6的值．
17．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝
33
.
(1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．
解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝
33
， 所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－1
3.
因为D ∈(0，π)，
所以sin D ＝1－cos 2D ＝22
3.
因为AD ＝1，CD ＝3，
所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×22
3＝ 2.
(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12， 所以AC ＝2 3.
因为BC ＝23，AC sin B ＝AB
sin ∠ACB ，
所以23sin B ＝
AB －2B
＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB
233
sin B ， 所以AB ＝4.
18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝2C,2b ＝3c . (1)求cos C ；
(2)若c ＝4，求△ABC 的面积．
解：(1)由正弦定理得，2sin B ＝3sin C .
∵B ＝2C ，∴2sin 2C ＝3sin C ，∴4sin C cos C ＝3sin C ， ∵C ∈(0，π)，sin C ≠0，∴cos C ＝3
4.
(2)由题意得，c ＝4，b ＝6.
∵C ∈(0，π)，∴sin C ＝1－cos 2
C ＝
74
， sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝37
8，
cos B ＝cos 2C ＝cos 2C －sin 2
C ＝18
，
∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝378×34＋18×74＝57
16.
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×4×5716＝157
4
.
19．已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP ―→·QP ―→
. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，△ABC 的面积为33
4
，求△ABC 的周长．
20．如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信，8秒后A ，C 同时接收到该声波信，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 分别表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．
解：(1)因为S △BCD ＝3，即1
2BC ·BD ·sin B ＝3，
又B ＝π
3
，BD ＝1，所以BC ＝4.
在△BDC 中，由余弦定理得CD 2
＝BC 2
＋BD 2
－2BC ·BD ·cos B ， 即CD 2
＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得CD ＝13.
(2)在△ACD 中，DA ＝DC ，可设∠A ＝∠DCA ＝θ，
则∠ADC ＝π－2θ，又AC ＝3，
由正弦定理，得AC sin 2θ＝CD sin θ，所以CD ＝3
2cos θ
.
在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π
3
－2θ，
由正弦定理，得CD sin B ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ， 化简得cos θ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π3－2θ，
于是sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－2θ.
因为0＜θ＜π2，所以0＜π2－θ＜π2，－π3＜2π
3－2θ＜2π3，
所以π2－θ＝2π3－2θ或π
2－θ＋2π3－2θ＝π，
解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA ＝π6或∠DCA ＝π18.。