九年级数学下册3.8圆内接正多边形教案2北师大版

课题：3.8圆内接正多边形
教学目标：
1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；
2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；
3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；
4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.
学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形.
教法与学学指导：
本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．
课前准备：
教师：多媒体课件、三角板.
学生：圆规，铅笔、直尺、练习本.
教学过程：
一、创设情境，导入新课
观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？
O
E
D
C
B
A
提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
【处理方式】学生根据教师提出的问题进行思考，回忆学过的有关知识，进而回答教师提出的问题． 【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题． 二、探究新知，尝试发现
活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念 概念： 叫做正多边形.
（注：各边相等与各角相等必须同时成立）
提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
如果一个正多边形有n(n ≥3)条边，就叫正n 边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形． 活动二：分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢?
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等
分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢? 师生共同归纳：
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的
外接圆.
把圆分成n(n≥3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边
形.
活动三：探究等分圆周
问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？
教师在学生思考、交流的基础上板书证明正五边形的过程： 如图，
∵AB BC CD DE EA ==== ∴AB BC CD DE EA ==== 3BAD CAE AB ==
∴C D
∠=∠
同理可证：A B C D E
∠=∠=∠=∠=∠
∴五边形ABCDE是正五边形．
∵A、B、C、D、E在⊙O上，
∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．
教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行证明，方法不限.
说明：
(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．
在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性．
正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心
旋转360
n
︒
，都能和原来的图形重合．
结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．
同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．
.
相关概念.
活动四：例题探究
例．如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是OA=4，OM⊥AB垂于M，求这个正六边形的中心角，边长和边心距．
A
分析：要求正六边形的边长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．
解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于360
6
︒
=60°，△OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径．
因此，所求的正六边形的边长为4．
在Rt△OAM中，OA=4，AM=1
2AB=2
利用勾股定理，可得边心距
OM=
2
2AM
OA-=2
22
4-=3
2
【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.
【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形德性质、解决问题，进一步体会图形的特点及在生活中的应用.
活动五：做一做
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．
分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分．
在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图．
师生归纳出等分圆周的方法：
1.用量角器等分圆：
依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．
操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．
2.用尺规等分圆.
思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？
【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.
活动六：方案设计
某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃.（注意：面积相等必须由数学知识作保证）（2）花卉总面积等于广场面积（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.
请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）
要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．
教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．
教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．
【处理方式】学生以小组为单位,进行组内交流、讨
论、设计自己的作品.教师指导小组讨论，适时进行点拨.
【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法，以体现学生的创造性．此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力品质，让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的. 四、课堂小结：谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获?
【处理方式】学生小组内畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意的问题，教师对小组总结情况进行评价.
【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力. 五、达标检测，反馈提高
1．如图1所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是（ ）．
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．22．5°
2、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
23A 32B ,3:2:1C ,1:2:3D
3．圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（ ）． A ．36° B ．60° C ．72° D ．108°
4．若半径为5cm 的一段弧长等于半径为2cm 的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（ ）
A ．18°
B ．36°
C ．72°
D ．144°
(1) (2)
5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
6．有一个边长为3cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径为 .
7．在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于D ，如图2所示，若AC=6，则AD 的长为________．
8．如图所示，已知⊙O 的周长等于6 cm ，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．
【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活掌握圆内接正多边形的相关知识，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．目的是加强学生对圆内接正多边形的 理解，同时也锻炼学生的发散思维．
六.分层作业，自由拓展
（1）必做题：课本99页 习题3.10 第1题、2题、3题.. （2）选做题：试一试
如图⑴⑵⑶⑷，M ，N 分别为⊙O 的内接正三角
形ABC ，正四边形ABCD ，正五边形ABCDE ，…正n 边形ABCDE …的边 AB ，BC 上的点，且BM=CN ，连结OM ，ON ， ⑴ 求图⑴中∠MON 的度数
⑵ 图⑵中∠MON 的度数是 .
⑶ 请探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系为 .
O
O
B
A
M
N
M
N
O
O
B
C
A
C
M
N
M
N
⑴⑵⑶⑷
【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．
板书设计：
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C 所对应的实数是( )
A ．1+3
B ．2+3
C ．23﹣1
D ．23+1
【答案】D
【解析】设点C 所对应的实数是x ．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
()x 3=31---，解得x=23+1.
故选D.
2．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=
c
x
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2b
x a
=-
＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，反比例函数c
y x
=图象在第一三象限，只有C 选项图象符合．故选C ．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．
3．已知关于x 的二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a 的值为（ ） A ．﹣1或1 B ．1或﹣3
C ．﹣1或3
D ．3或﹣3
【答案】A 【解析】分析：
详解：∵当a≤x≤a ＋2时，函数有最大值1，∴1＝x 2－2x －2,解得：123,1x x ==- ， 即-1≤x≤3, ∴a=-1或a+2=-1, ∴a=-1或1，故选A.
点睛：本题考查了求二次函数的最大(小)值的方法，注意：只有当自变量x 在整个取值范围内，函数值y 才在顶点处取最值，而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值. 4．4-的相反数是( ) A ．4 B ．4-
C ．1
4
-
D ．
14
【答案】A
【解析】直接利用相反数的定义结合绝对值的定义分析得出答案． 【详解】-1的相反数为1，则1的绝对值是1． 故选A ． 【点睛】
本题考查了绝对值和相反数，正确把握相关定义是解题的关键．
5．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）．
A ．50°
B ．40°
C ．30°
D ．25°
【答案】B
【解析】解：如图，由两直线平行，同位角相等，可求得∠3=∠1=50°， 根据平角为180°可得，∠2=90°﹣50°=40°． 故选B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
6．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )
A ．
13
B ．
23
C ．
34
D ．
45
【答案】C
【解析】易证△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质可得EF AB
= DF DB ,EF CD =BF
BD ，从而可得
EF AB +EF CD =DF DB +BF
BD
=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF 的值． 【详解】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直， ∴AB ∥CD ∥EF ，
∴△DEF ∽△DAB,△BEF ∽△BCD ，
∴
EF AB
= DF DB ,EF CD =BF
BD ， ∴EF AB +EF CD =DF DB +BF BD =BD BD
=1. ∵AB=1，CD=3， ∴
1EF +3
EF
=1， ∴EF=
3
4
. 故选C. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
7．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为1
3
．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( ) A ．能中奖一次 B ．能中奖两次 C ．至少能中奖一次 D ．中奖次数不能确定
【答案】D
【解析】由于中奖概率为
1
3
，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.
故选D ．
【点睛】
解答此题要明确概率和事件的关系：
()P A 0=①，为不可能事件；
()P A 1=②为必然事件；
()0P A 1③<<为随机事件．
8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，若BC=3，则DE 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE 垂直平分AB ，
∴DA=DB ，∴∠B=∠DAB ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠DAB ， ∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°， ∴∠CAD=30°， ∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，CD ⊥AC ， ∴CD=DE=BD ， ∵BC=3， ∴CD=DE=1 考点：线段垂直平分线的性质
9．如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将AED ∆以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则CEF ∆的面积为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C 【解析】根据折叠易得BD ，AB 长，利用相似可得BF 长，也就求得了CF 的长度，
△CEF 的面积=12CF•CE ．
【详解】解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB-AD=4，第三个图中AB=AD-BD=2，因为BC∥DE，
所以BF：DE=AB：AD，
所以BF=2，CF=BC-BF=4，
所以△CEF的面积=1
2
CF•CE=8；
故选：C．
点睛：
本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点．
10．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（）
A．80°B．80°或50°C．20°D．80°或20°
【答案】D
【解析】根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．
【详解】∵等腰三角形的一个外角是100°，
∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°，
当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°，
∴该等腰三角形的顶角是80°或20°.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____．
【答案】49 4
【解析】如图，设AH=x，GB=y，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x，y即可解决问题．
【详解】解：如图，设AH ＝x ，GB ＝y ，
∵EH ∥BC ， AH EH AC BC ∴=， 135x x y
∴=++① ∵FG ∥AC ， FG BG AC BC
∴= 135y x y
=++②， 由①②可得x ＝
12，y ＝2， ∴AC ＝72
，BC ＝7， ∴S △ABC ＝494
， 故答案为494
． 【点睛】
本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝
12
x 2﹣1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_____．
【答案】6161）
【解析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可
【详解】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．
当y=1时，1
2
x1-1=1，解得x=±6
当y=-1时，1
2
x1-1=-1，方程无解
故P点的坐标为（62，）或（-62，）
【点睛】
此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，
1
=
2
AD
DB
，则
ADE
BCED
的面积
四边形的面积
＝_____．
【答案】1 8
【解析】先利用平行条件证明三角形的相似,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方,即可解题.
【详解】解：∵DE∥BC，AD1
=
DB2
，
∴AD1
= AB3
,
由平行条件易证△ADE~△ABC, ∴S△ADE:S△ABC=1:9,
∴
ADE S ADE
BCED S ABC S ADE
的面积
四边形的面积
=
-
=
1
8
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,中等难度,熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键. 14．已知点P（2，3）在一次函数y＝2x－m的图象上，则m＝_______．
【答案】1
【解析】根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可．
【详解】解：∵一次函数y=2x-m的图象经过点P（2，3），
∴3=4-m，
解得m=1，
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式． 15．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：
①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值
的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．
【答案】①②④
【解析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】解：∵对称轴是x=-
2b a
=1， ∴ab ＜0，①正确；
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；
∵当x=1时，y ＜0，
∴a+b+c ＜0，③错误；
由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；
当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
16．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，5CE =，F 为DE 的中点．若CEF ∆的周长为18，则OF 的长为________．
【答案】72 【解析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴BO DO =，BC CD =，90BCD ︒∠=．
在Rt DCE ∆中，F 为DE 的中点，
∴1
2CF DE EF DF ===．
∵CEF ∆的周长为18，5CE =，
∴18513CF EF +=-=，
∴13DE DF EF =+=．
在Rt DCE ∆中，根据勾股定理，得2213512DC =-=，
∴12BC =，
∴1257BE =-=．
在BDE ∆中，∵BO DO =，F 为DE 的中点，
又∵OF 为BDE ∆的中位线，
∴1
7
22OF BE ==．
故答案为：7
2.
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中． 17．如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为________．
【答案】42
【解析】试题分析：因为OC=OA ，所以∠ACO=22.5A ∠=︒，所以∠AOC=45°，又直径AB 垂直于弦CD ，
4OC =，所以CE=CD=2CE=
考点：1．解直角三角形、2．垂径定理．
18．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两.牛二，羊五，值金八两。

问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x 两、y 两，依题意，可列出方程为___________________ .
【答案】 5210258?
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 【解析】牛、羊每头各值金x 两、y 两，根据等量关系：“牛5头，羊2头，共值金10两”，“牛2头，羊5头，共值金8两”列方程组即可.
【详解】牛、羊每头各值金x 两、y 两，由题意得：
5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 故答案为：5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩
. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是关键.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．先化简，再计算: 22444332
x x x x x x x ++--÷++-其中3x =-+．
【答案】23x -+；2
- 【解析】根据分式的化简求值，先把分子分母因式分解，再算乘除，通分后计算减法，约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解：22444332
x x x x x x x ++--÷++- =2(2)(2)(2)332
x x x x x x x ++--÷++- =2(2)233(2)(2)
x x x x x x x +--⋅+++-
=
2
33 x x
x x
+
-
++
=
2
3 x
-
+
当322
x=-+时，原式=
22
2
3223
-=-
-++
．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，把分式的除法化为乘法，然后约分是解题关键．
20．解不等式组：
3(1)7
23
2
3
x x
x
x x
--<
⎧
⎪
-
⎨
-≤
⎪⎩
，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】x≥3 5
【解析】分析：分别求解两个不等式，然后按照不等式的确定方法求解出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可.
详解：
()
317
23
2
3
x x
x
x x
⎧--<
⎪
⎨-
-≤
⎪⎩
①
②
，
由①得，x＞﹣2；
由②得，x≥3
5
，
故此不等式组的解集为：x≥3
5
．
在数轴上表示为：．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．为营造“安全出行”的良好交通氛围,实时监控道路交迸,某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示,立杆MA与地面AB垂直,斜拉杆CD与AM交于点C,横杆DE∥AB,摄像头EF⊥DE于点E,AC=55米,CD=3米,EF=0.4米,∠CDE=162°．
求∠MCD 的度数；求摄像头下端点F 到地面AB 的距离．(精
确到百分位)
【答案】（1）72 （2）6.03米
【解析】分析：延长ED ，AM 交于点P ，由∠CDE=162°及三角形外角的性质可得出结果;(2)利用解直角三角形求出PC ，再利用PC+AC-EF 即可得解.
详解：（1）如图，延长ED ，AM 交于点P ，
∵DE ∥AB, MA AB ⊥
∴EP MA ⊥, 即∠MPD=90°
∵∠CDE=162°
∴ 1629072MCD ∠=-=
（2）如图，在Rt △PCD 中， CD=3米，72MCD ∠=
∴PC = cos 3cos7230.310.93CD MCD ⋅∠=⋅≈⨯=米
∵AC=5.5米， EF=0.4米，
∴0.93 5.50.4 6.03PC AC EF +-=+-=米
答：摄像头下端点F 到地面AB 的距离为6.03米.
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解决此类问题要了解角之间的关系，找到已知和未知相关联的的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高线或垂线构造直角三角形.
22．为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进
行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：求n的值；若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）50；（2）240；（3）1 2 .
【解析】用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；
先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比，即可估计该校喜爱看电视的学生人数；
画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】解：（1）510%50
n=÷=；
（2）样本中喜爱看电视的人数为501520510
---=（人)，
10
1200240
50
⨯=，
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率
61 122 ==．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图.
23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
【答案】证明见解析.
【解析】过点B 作BF ⊥CE 于F ，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D ，再利用“角角边”证明△BCF 和△CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE ，再证明四边形AEFB 是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF ，从而得证. 【详解】
证明：如图，过点B 作BF ⊥CE 于F ，
∵CE ⊥AD ，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°
∴∠BCF=∠D ，
在△BCF 和△CDE 中,
90BCF D CED BFC BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△BCF ≌△CDE(AAS)，
∴BF=CE ，
又∵∠A=90°，CE ⊥AD ，BF ⊥CE ，
∴四边形AEFB 是矩形，
∴AE=BF ，
∴AE=CE.
24．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；求摸出的两个小球
号码之和等于4的概率．
【答案】(1)见解析;(2)1 3 .
【解析】（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，
∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．
【点睛】
本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.
25．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=3，AD=1，求DB的长．
【答案】BD= 2.
【解析】试题分析：根据∠ACD=∠ABC，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用相似三角形的性质得出AB的长，从而求出DB的长．
试题解析：
∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD ，
∴AD AC AC AB
=，
∵3AD=1，
3
3
=，
∴AB=3，
∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2 .
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题关键．
26．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
【答案】证明见解析.
【解析】由∠1=∠2可得∠CAB =∠DAE，再根据ASA证明△ABC≌△AED，即可得出答案.
【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC与△AED中，B=∠E，AB=AE，∠CAB=∠DAE，
∴△ABC≌△AED，
∴BC=ED.
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若x﹣2y+1＝0，则2x÷4y×8等于（）
A．1 B．4 C．8 D．﹣16
【答案】B
【解析】先把原式化为2x÷22y×23的形式，再根据同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可．
【详解】原式＝2x÷22y×23，
＝2x﹣2y+3，
＝22，
＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是同底数幂的乘法及除法运算，根据题意把原式化为2x÷22y×23的形式是解答此题的关键．2．如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的仼意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，无论将铁片2，4穿回哪里，铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变，观察四个选择即可得出结论．
【详解】解：摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，
∵选项A，B，C中铁片顺序为1，1，5，6，选项D中铁片顺序为1，5，6，1．。