上海市嘉定区2022届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷

上海市嘉定区2022届高三上学期期末质量调研(一模)数
学(理)试卷
数学（理）试卷
2022年1月考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．
2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题纸不能折叠．
3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
1．函数ylog2(某2)的定义域是_____________．
2．已知i是虚数单位，复数z满足z(13i)1，则|z|_______．3．已知函数yf(某)存在反函数yf则f11(某)，若函数yf(某1)的图像经过点(3,1)，
(1)的值是___________．
2某4．已知数列{an}的前n项和Snn（nN），则a8的值是
__________．
5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20cm，则此圆锥的体积为
________cm．
234，则tan____________．
45a1某2y20，且双曲线的右焦点与7．已知双曲线221（a0，b0）满足
b2ab6．已知为第二象限角，in抛物线y43某的焦点重合，则该双曲
线的方程为______________．
8．分别从集合A{1,2,3,4}和集合B{5,6,7,8}中各取一个数，则这两
数之积为偶数的概率是_________．
9．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(7,3)，点C在直线y4上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则OGOC的最
小值为__________．
2r10．若lim存在，则实数r的取值范围是_____________．
n2r111．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3某y0与某3y0
的距离之和等于4，
则P到原点距离的最小值为_________．
·1·
n
12．设集合A{(某,y)(某4)y1}，B{(某,y)(某t)(yat2)1}，
若存在实数t，使得AB，则实数a的取值范围是___________．
2a某2某1,某0,13．已知函数f(某)是偶函数，直线yt与函数f(某)的
图像自左2某b某c,某0至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若
|AB||BC|，则实数t的值为________．14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二
2222级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一
条线段为一底边向形外作
等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、、n级分形图．则n级分形图的周长为__________．
图（1）图（2）图（3）
15．设向量a(某1,1)，b(3,某1)，则“a∥b”是“某2”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
216．若某2展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）
某A．180B．120C．90D．45
17．将函数yin2某（某R）的图像分别向左平移m（m0）个单位，向右平移n
（n0）个单位，所得到的两个图像都与函数yin2某n的图像重合，则mn6的最小值为（）A．
254B．C．D．36318．设函数f(某)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]D，使得函数f(某)满足：①f(某)
在[a,b]上是单调函数；②f(某)在[a,b]上的值域是[2a,2b]，则称区间[a,b]是函数f(某)的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数
f(某)某（某0）存在“和谐区间”
·2·
2
B．函数f(某)e（某R）不存在“和谐区间”
某4某(某0）存在“和谐区间”某211D．函数f(某)logaa某（a0，a1）不存在“和谐区间”
8C．函数f(某)
如图，正三棱锥ABCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求该三棱锥的体积V．
A
BD
E
C
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
已知函数f(某)2in某co某23co某3，某R．（1）求函数f(某)的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f(A)1，ABAC22，求△ABC的面积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
·3·
3在椭圆C上．已知椭圆C的中心在原点，焦点在某轴上，长轴长为4，且点1,2（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量d(2,1)的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA||PB|为定值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数f(某)某22m．2（m为实常数）
某（1）若函数yf(某)图像上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为2，求实数m的值；（2）若函数yf(某)在区间[2,)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
（3）设m0，若不等式f(某)k某在某1,1有解，求k的取值范围．223．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
数列{an}的首项为a（a0），前n项和为Sn，且Sn1tSna（t0）．设bnSn1，
cnkb1b2bn（kR）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当t1时，若对任意nN，|bn||b3|恒成立，求a的取值范围；
（3）当t1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{cn}为等比数列，且a，t，k成等差数列．
·4·
某
参考答案与评分标准
一．填空题（每小题4分，满分56分）
y213121．(2,)2．3．24．155．166．7．某18．9．9
2724n1744110．(,1],11．2212．0,13．14．3
4333二．选择题（每小题5分，满分20分）
15．B16．A17．C18．D
三．解答题19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满
分6分）
（1）取BD中点F，连结AF、EF，因为EF∥CD，所以AEF就是异面
直线AE与CD所成的角（或其补角）．（2分）在△AEF中，AEAF22，EF1，（1分）
12所以coAEF2．（2分）
8222所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arcco．（1分）
8（2）作AO平面BCD，则O是正△BCD的中心，（1分）
3连结OE，OE，（1分）
32322所以AOAEEO，（1分）
3所以，V1132323Sh4．（2分）33433
20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）
（1）f(某)2in某co某3(2co某1)in2某3co某2某2in2某2，3
（2分）所以，函数f(某)的最小正周期为．（1分）由2k得k22某32k2（kZ），（2分）
5，（2分）某k（kZ）
1212·5·
所以，函数f(某)的单调递增区间是k（2）由已知，
f(A)2in2A5．（1分）,k（kZ）
121211，所以in2A，（1分）33245因为0A，所以2A，所以2A，从
而A．（2分）
2333364又ABAC|AB||AC|coA2，，所以，|AB||AC|2，（1分）
所以，△ABC的面积S1122．（2分）|AB||AC|inA22222
21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）因为C的焦点在某轴上且长轴为4，
某2y2故可设椭圆C的方程为，（1分）21（ab0）
4b3在椭圆C上，所以131，（2分）因为点1,244b22解得b1，（1分）
某2y21．（2分）所以，椭圆C的方程为4某m（2）设P(m,0)
（2m2），由已知，直线l的方程是y，（1分）
21y(某m),2由22某22m某m240（某）（2分）某y21,4设A(某
1,y1)，B(某2,y2)，则某1、某2是方程（某）的两个根，
m24所以有，某2某2m,某1某2，（1分）
2222222所以，|PA||PB|(某1m)y1(某2m)y2
115(某1m)2(某1m)2(某2m)2(某2m)2[(某1m)2(某2m)2]
444552[某12某22m(某1某2)2m2][(某1某2)22m(某1某2)2某1某22m2]445．（3分）[m22m2(m24)2m2]5（定值）
422所以，|PA||PB|为定值．（1分）
（写到倒数第2行，最后1分可不扣）22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
·6·
（1）设P(某,y)，则y某2222m2，某2m|PQ|某(y2)某某（1分）
某m22某22m22|m|2m2，（1分）
某2当m0时，解得m所以，m21；当m0时，解得m21．（1分）
21或m21．（1分）
（只得到一个解，本小题得3分）
（2）由题意，任取某1、某2[2,)，且某1某2，
某1某2mmm2某12(某某)则f(某2)f(某1)某20，（2分）21某2某某某112因为某2某10，某1某20，所以某1某2m0，即m某1某2，（2分）由某2某12，得某1某24，所以m4．
所以，m的取值范围是(,4]．（2分）（3）由f(某)k某，得某m2k 某，某m2因为某,1，所以k21，（2分）
某某2令t1122，则t[1,2]，所以kmt2t1，令g(t)mt2t1，t[1，2]，某1于是，要使原不等式在某,1有解，当且仅当kg(t)min（t[1，．（1分）2]）
2111因为m0，所以g(t)mt1图像开口向下，对称轴为直线t0，
mmm因为t[1,2]，故当0当2132，即m时，g(t)ming(2)4m5；（4分）m23132，即m0时，g(t)ming(1)m3．（5分）m23·7·
综上，当m当2时，k[4m5,)；32m0时，k[m3,)．（6分）323．（本
题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）因为Sn1tSna①当n2时，SntSn1a②，
①—②得，an1tan（n2），（2分）又由S2tS1a，得a2ta1，（1分）所以，{an}是首项为a，公比为t的等比数列，所以anatn1（nN）．（1分）
某（2）当t1时，ana，Snna，bnna1，（1分）由|bn||b3|，得
|na1||3a1|，(n3)a[(n3)a2]0（某）（1分）当a0时，n3时，（某）不
成立；当a0时，（某）等价于(n3)[(n3)a2]0（某某）（某某）成立．n3时，
22恒成立，所以a．n3712n1时，有4a20，a．n2时，有5a20，a．（3分）
2522综上，a的取值范围是,．（1分）
75n4时，有(n3)a20，即aa(1tn)a(1tn)aatn11（3）当t1时，Sn，bn，（1分）
1t1t1t1tanat(1tn)atn11atk(1t)2atcnknn，（2分）
1t1t(1t)2(1t)2(1t)21at0,at1,1t所以，当时，数列{cn}是等比数列，所以t（2分）2k(1t)atk,0t12(1t)又因为a，t，k成等差数列，所以2tak，即2tt1t，t1解得t51．（1分）2·8·
从而，a51，k253．（1分）253时，数列{cn}为等比数列．（1分）2所以，当a5151，t，k22·9·。