【精编】2016-2017年四川省雅安中学高一(上)数学期中试卷带解析答案

2016-2017学年四川省雅安中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）1．（5.00分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）
A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}
2．（5.00分）与﹣420°终边相同的角是（）
A．﹣120°B．420°C．660° D．280°
3．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）
A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[1，3） D．[1，3）∪（3，+∞）4．（5.00分）已知α∈（0，π），且，则tanα=（）A．B．C．D．
5．（5.00分）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）
A．y=﹣x+1 B．y=C．y=x2﹣4x+5 D．y=
6．（5.00分）函数y=1+log（x﹣1）的图象一定经过点（）
A．（1，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（2，0）
7．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递增，若f（lgx）＜0，则x的取值范围是（）
A．（0，1） B．（1，10）C．（1，+∞）D．（10，+∞）
8．（5.00分）已知：a=log0.70.9，b=log1.10.7，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
9．（5.00分）函数f（x）=的零点个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（5.00分）已知图①中的图象对应的函数y=f（x），则图②中的图象对应的函数是（）
A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）11．（5.00分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）
12．（5.00分）设定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法中错误的是（）
A．x12+x22+x32=14 B．1+a+b=0
C．a2﹣4b=0 D．x1+x3=0
二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上．）
13．（5.00分）若幂函数f（x）的图象过点，则=．14．（5.00分）已知tanα=，则=．
15．（5.00分）若f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是．16．（5.00分）已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是．
三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）
17．（10.00分）求下列各式的值：
（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2
（2）cos+sin+tan．
18．（12.00分）已知集合A={x|0＜2x+a≤3}，B={x|﹣＜x＜2}．
（1）当a=﹣1 时，求A∩B．
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
19．（12.00分）若函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值．
20．（12.00分）规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.5]=12，[﹣3.5]=﹣4，对任意的实数x，令f1（x）=[4x]，g（x）=4x﹣[4x]，进一步令f2（x）=f1[g（x）]．
（1）若x=，分别求f1（x）和f2（x）；
（2）若f1（x）=1，f2（x）=3同时满足，求x的取值范围．
21．（12.00分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），
可有以下公式：f（x）=
（1）讲课开始后5min和讲课开始后20min比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
（3）一道数学难题，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．22．（12.00分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a，b ∈[﹣1，1]，a+b≠0，有．
（1）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论．
（2）解不等式
（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
2016-2017学年四川省雅安中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）1．（5.00分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）
A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}
【解答】解：∵∁U A={0，4}，
∴（∁U A）∪B={0，2，4}；
故选：D．
2．（5.00分）与﹣420°终边相同的角是（）
A．﹣120°B．420°C．660° D．280°
【解答】解：与﹣420°角终边相同的角为：n•360°﹣420°（n∈Z），
当n=3时，n•360°﹣420°=660°．
故选：C．
3．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）
A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[1，3） D．[1，3）∪（3，+∞）
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，
解得x≥1且x≠3，
∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠3}，
即[1，3）∪（3，+∞）．
故选：D．
4．（5.00分）已知α∈（0，π），且，则tanα=（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵α∈（0，π），且，
∴tanα=﹣=﹣=．
故选：D．
5．（5.00分）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）
A．y=﹣x+1 B．y=C．y=x2﹣4x+5 D．y=
【解答】解：由题意可知：
对A：y=﹣x+1，为一次函数，易知在区间（0，2）上为减函数；
对B：y=，为幂函数，易知在区间（0，2）上为增函数；
对C：y=x2﹣4x+5，为二次函数，开口向上，对称轴为x=2，所以在区间（0，2）上为减函数；
对D：y=，为反比例函数，易知在（﹣∞，0）和（0，+∞）为单调减函数，所以函数在（0，2）上为减函数；
综上可知：y=在区间（0，2）上为增函数；
故选：B．
6．（5.00分）函数y=1+log（x﹣1）的图象一定经过点（）
A．（1，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（2，0）
【解答】解：∵函数y=log x恒过定点（1，0），
而y=1+log（x﹣1）的图象是由y=log x的图象向右平移一个单位，向上平
移一个单位得到，
∴定点（1，0）也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，
∴定点（1，0）平移以后即为定点（2，1），
故函数y=1+log（x﹣1）恒过的定点为（2，1）．
故选：C．
7．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递增，若f（lgx）＜0，则x的取值范围是（）
A．（0，1） B．（1，10）C．（1，+∞）D．（10，+∞）
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递增，
∴函数在R上单调递增，且f（0）=0，
则由f（lgx）＜0=f（0）得lgx＜0，
即0＜x＜1，
∴x的取值范围是（0，1），
故选：A．
8．（5.00分）已知：a=log0.70.9，b=log1.10.7，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【解答】解：根据对数函数y=log0.7x，y=log1.1x的图象和性质，
可知0＜log0.70.8＜1，log1.10.9＜0
由指数函数y=1.1x的图象和性质，
可知c=1.10.9＞1
∴b＜a＜c
故选：C．
9．（5.00分）函数f（x）=的零点个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵函数的零点个数，即为f（x）=0的根的个数，∴=0，即（x﹣1）ln（﹣x）=0，
∴x﹣1=0或ln（﹣x）=0，
∴x=1或x=﹣1，
∵，解得x＜0，
∵函数f（x）的定义域为{x|x＜0}，
∴x=﹣1，即方程f（x）=0只有一个根，
∴函数的零点个数1个．
故选：A．
10．（5.00分）已知图①中的图象对应的函数y=f（x），则图②中的图象对应的函数是（）
A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）
【解答】解：设所求函数为g（x），
g（x）==f（﹣|x|），C选项符合题意．
故选：C．
11．（5.00分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）
【解答】解：∵函数f（x）=m+log2x2在[1，2]单调递增，
∴函数f（x）的值域为[m，2+m]，
∵f（x）≤4，
∴2+m≤4，解得m≤2，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：B．
12．（5.00分）设定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法中错误的是（）
A．x12+x22+x32=14 B．1+a+b=0
C．a2﹣4b=0 D．x1+x3=0
【解答】解：令t=f（x），由关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有三个不同的实数解，
可知方程t2+at+b=0有两个相等的实数根t1=t2=1，
∴a2﹣4b=0，则1+a+b=0，
由，得x=1或x=3，
∴x12+x22+x32=12+22+32=14．
∴错误的说法为x1+x3=0．
故选：D．
二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上．）
13．（5.00分）若幂函数f（x）的图象过点，则=．
【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，
则，∴，α=﹣2．
所以f（x）=x﹣2．
==2﹣1=
故答案为：．
14．（5.00分）已知tanα=，则=3．
【解答】解：∵tanα=，
∴原式===3，
故答案为：3．
15．（5.00分）若f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是1＜a＜2．
【解答】解：因为f（x）在[0，1]上是x的减函数，所以f（0）＞f（1），
即log a2＞log a（2﹣a）．
∴⇔1＜a＜2
故答案为：1＜a＜2．
16．（5.00分）已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是﹣1．
【解答】解：∵f（x）=
∴x≥1，lnx≥0，
∵值域为R，
∴1﹣2ax+3a必须到﹣∞，
即满足：
即
故答案为：．
三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）
17．（10.00分）求下列各式的值：
（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2
（2）cos+sin+tan．
【解答】解：（1）原式=2lg5+2lg2+lg5（lg2+1）+lg22
=2+lg2（lg5+lg2）+lg5
=2+lg2+lg5
=3．
（2）原式=+sin+
=++
=．
18．（12.00分）已知集合A={x|0＜2x+a≤3}，B={x|﹣＜x＜2}．
（1）当a=﹣1 时，求A∩B．
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，A=（，2]，∴A∩B=（，2） (5)
（2）∵A=（﹣，]，A⊆B，
∴A=∅，﹣≥，不成立...． (7)
解，得：﹣1＜a≤1． (12)
19．（12.00分）若函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值．
【解答】解：y=lg（3﹣4x+x2），
∴3﹣4x+x2＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f（x）=2x+2﹣3×4x=4×2x﹣3×（2x）2．
令2x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t﹣3t2=﹣3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f（t）∈（﹣4，]，
当t＞8时，f（t）∈（﹣∞，﹣160），
当2x=t=，即x=log2时，f（x）max=．
综上可知：当x=log2时，f（x）取到最大值为，无最小值．
20．（12.00分）规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.5]=12，[﹣3.5]=﹣4，对任意的实数x，令f1（x）=[4x]，g（x）=4x﹣[4x]，进一步令f2（x）=f1[g（x）]．
（1）若x=，分别求f1（x）和f2（x）；
（2）若f1（x）=1，f2（x）=3同时满足，求x的取值范围．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）∵对任意的实数x，令f1（x）=[4x]，g（x）=4x﹣[4x]，进一步令f2（x）=f1[g（x）]，
x=，
∴f1（x）==[4×]=[]=1，
f2（x）==[4×]=[4×]=3．
（2）∵f1（x）=1，f2（x）=3同时满足，
∴f1（x）=1，g（x）=4x﹣1，
f2（x）=f1（4x﹣1）=[16x﹣4]=3，
∴，解得．
∴x的取值范围是[，）．
21．（12.00分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），
可有以下公式：f（x）=
（1）讲课开始后5min和讲课开始后20min比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
（3）一道数学难题，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那
么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．
【解答】解：（1）f（5）=﹣0.1×（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，
因此开讲5分钟比开讲20分钟时，学生的接受能力强一些．
（2）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，
f（x）在0＜x≤10时单调递增，最大值为f（10）=﹣0.1×（10﹣13）2+59.9=59．当10＜x≤16时，f（x）=59；当x＞16时，函数f（x）为减函数，且f（x）＜59．
因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为59），能维持6分钟．
（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；
当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，
可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间=17﹣6=11＜13，
因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
22．（12.00分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a，b ∈[﹣1，1]，a+b≠0，有．
（1）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论．
（2）解不等式
（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数．
下用定义证明：
设﹣1≤x1＜x2≤1，
则：，
可知f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[﹣1，1]上是增函数知：
不等式等价为：
解得，
故不等式的解集[]．
（3）∵f（x）在[﹣1，1]上是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1，
即f（x）max=1
依题意有m2﹣2am+1≥1，对a∈[﹣1，1]恒成立，
即m2﹣2am≥0恒成立．
令g（a）=﹣2ma+m2，它的图象是一条线段，
则，
即
∴m∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．
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双垂型：图形特征：
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
P
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

C
D
B。