浙江省高考数学课时跟踪检测(十九)——基本初等函数、

课时跟踪检测（十九）小题考法——基本初等函数、函数与方程、
函数模型的应用
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
解析：选A 函数f(x)的定义域为R，由f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除C；又由f(0)＝ln 1＝0，可排除B、D.故选A.
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝24
3，b＝3
2
3，c＝25
1
3，则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A a＝24
3＝4
2
3，b＝3
2
3，c＝25
1
3＝5
2
3.
∵y＝x 2
3在第一象限内为增函数，
又5＞4＞3，∴c＞a＞b.
3．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设a>0，b>0，则“log2a＋log2b≥log2(a＋b)”是“ab≥4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若log2a＋log2b≥log2(a＋b)，则ab≥a＋b.
又a>0，b>0，
则有ab≥a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，即有ab≥4，故充分性成立；
若a＝4，b＝1，满足ab≥4，
但log2a＋log2b＝2，log2(a＋b)＝log25>2，
即log2a＋log2b≥log2(a＋b)不成立，故必要性不成立，故选A.
4．(2019届高三·浙江名校协作体联考)已知函数f(x)＝x＋e x－a，g(x)＝ln(x＋2)－4e a －x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x
0，使
f(x0)－g(x0)＝3成立，则实数a的值为( ) A．－ln 2－1 B．ln 2－1
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选A f (x )－g (x )＝x ＋e x －a
－ln(x ＋2)＋4e
a －x
，令y ＝x －ln(x ＋2)，则y ′＝1
－
1x ＋2＝x ＋1x ＋2
，故y ＝x －ln(x ＋2)在(－2，－1)上是减函数，(－1，＋∞)上是增函数，故当x ＝－1时，y 有最小值－1－0＝－1，而e x －a
＋4e
a －x
≥4(当且仅当e
x －a
＝4e
a －x
，即x ＝a ＋
ln 2时，等号成立)，故f (x )－g (x )≥3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)，所以x ＝a ＋ln 2＝－1，即a ＝－ln 2－1.综上所述，答案选A.
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年
D ．2023年
解析：选B 设2017年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n
＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195
，∴
n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
6．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减
C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称
D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称
解析：选C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2
＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－12＝ln 34，
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝ln 32
＋ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2－32
＝ln 34
，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 7．已知函数f (x )＝ln(x 2
－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4)
B ．(－4，＋∞)
C ．(－∞，－4]
D ．[－4，＋∞)
解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2
－4x －a ，其值域包含
(0，＋∞)，因此对于方程x 2
－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.
8．(2018·湖州模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋3＋mx 3
＋nx (m <0，n <0)，且f (x )在[0,1]上
的最小值为－31
16
，则f (x )在[－1,0]上的最大值为( )
A.94 B ．－9
4
C.49
D ．－4
9
解析：选A 令g (x )＝mx 3
＋nx (m <0，n <0)，则g ′(x )＝3mx 2
＋n ，因为m <0，n <0，所以
g ′(x )<0，所以g (x )为减函数．又y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
x ＋3为减函数，所以f (x )为减函数．当x ∈[0,1]
时，f (x )min ＝f (1)＝m ＋n ＋116＝－31
16
，得m ＋n ＝－2，当x ∈[－1,0]时，f (x )max ＝f (－1)＝ －m －n ＋14＝9
4
.
9．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
e x
，x ≤0，
ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在
2个零点，则a 的取值范围是( )
A ．[－1,0)
B ．[0，＋∞)
C ．[－1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：选C 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐
标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，
a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y
＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
10．已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有
f x 1－f x 2x 1－x 2
>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x
－1|的解集为( )
A ．(－∞，0)∪(0,1)
B ．(0，＋∞)
C ．(－1,0)∪(0,3)
D ．(－∞，1)
解析：选A 令F (x )＝f (x )＋2x ，由对任意实数x 1<x 2，都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
>－2，可
得f (x 1)＋2x 1<f (x 2)＋2x 2，即F (x 1)<F (x 2)，所以F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，f (log 2|3x
－1|)<3－log 2|3x
－1|等价于f (log 2|3x
－1|)＋2log 2|3
x
－1|<3，令t ＝log 2|3x
－1|，则f (t )＋2t <3，即F (t )<3，所以t <1，即log 2|3x
－1|<1，从而0<|3x
－1|<2，解得x <1，且x ≠0.故选A.
二、填空题
11．(2018·湖州模拟)已知3a b
－4a
＝8，log 2a ＝
a ＋1
b
，则a ＝________，b ＝________. 解析：由log 2a ＝a ＋1
b
可知2
1＋a b
＝a ，即⎝⎛⎭
⎫2
1
＋a b
b
＝a b
＝2a ＋1
，又a b
＝2a ＋1
＝4a
＋83
，可得(2a )
2
－6·2a
＋8＝0，解得2a
＝2或2a
＝4，解得a ＝1(不符合题意，舍去)，a ＝2，此时b ＝3.
答案：2 3
12．(2018·萧山一中检测)已知函数f (x )＝2
x
－log 4x 的零点为x 0，若x 0∈(k ，k ＋1)，
其中k 为整数，则k 的值为________．
解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数在定义域上为减函数， ∵f (2)＝1－log 42＝1－log 22＝1
2
>0，
f (3)＝2
3－log 43＝23
－log 23<0，
∴函数f (x )在(2,3)内存在唯一的一个零点x 0， ∵x 0∈(k ，k ＋1)，∴k ＝2. 答案：2
13．(2018·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
21－x
，x ≤0，1－log 2x ，x >0，
若|f (a )|≥2，则实数a 的
取值范围是________．
解析：当a ≤0时，1－a ≥1，所以2
1－a
≥2，即|f (a )|≥2恒成立；当a >0时，由|f (a )|≥2
可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得a ≥8或0<a ≤1
2
.综上，实数
a 的取值范围是⎝
⎛⎦
⎥⎤
－∞，12
∪[8，＋∞)．
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞) 14．(2019·余杭地区部分学校联合测试)已知函数
f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ＋2，－2<x <0，
2
|x －1|－1，x ≥0，若方程f (x )＝a 有三个不等的实数根，则a 的取值范围为
________；不等式f (f (x ))≥1的解集为________．
解析：作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，若方程f (x )＝a 有三个
不等的实数根，即直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，故a ∈(0,1)．设f (x )＝t ，则不等式f (f (x ))≥1可转化为f (t )≥1，故得t ＝0或t ≥2，由f (x )＝0得x ＝±1.由f (x )≥2得x ≥log 23＋1，所以f (f (x ))≥1的解集为{±1}∪[log 23＋1，＋∞)．
答案：(0,1) {±1}∪[log 23＋1，＋∞)
15．(2018·肇庆二模)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 2
＋4x ，x ≤0，
x ＋，x >0，
若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围为________．
解析：由已知得|f (x )|＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－4x ，x ≤0，
x ＋，x >0.
画出函数|f (x )|的图象如图所示．
从图象上看，要使得直线y ＝ax 都在y ＝|f (x )|图象的下方， 则a ≤0，且y ＝x 2
－4x 在x ＝0处的切线的斜率k ≤a . 又y ′＝(x 2
－4x )′＝2x －4，
∴y ＝x 2
－4x 在x ＝0处的切线的斜率k ＝－4， ∴－4≤a ≤0. 答案：[－4,0]
16．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
2x
－a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________． 解析：令2x
＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
t －a t
在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t
在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
t －a t
，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间
是[a ，
＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
t －a t
＝t －a t
，t ∈(0，＋∞)
的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]
17．(2018·浙江名校联考)已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c ∈Z)，若方程f (x )＝x 在(0,1)上有两个实数根，f (－1)>－1，则a 的最小值为________．
解析：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2
＋(b －1)x ＋c ，g (x )＝0在(0,1)上有两个实数根， 设为x 1，x 2，于是g (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，
由题知⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，g
，
g
，
故⎩⎪⎨⎪
⎧
a ≥1，g
＝c ≥1，g
＝a ＋b －1＋c ≥1，
所以g (0)g (1)＝a 2
x 1(1－x 1)x 2(1－x 2)≤
a 2
16(当且仅当x 1＝x 2＝1
2
时等号成立)，所以1≤g (0)g (1)≤a 2
16，所以a ≥4，经检验，当a ＝4，b ＝－3，c ＝1时符合题意，故a 的最小
值为4.
答案：4
B 组——能力小题保分练
1．对于满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b ，函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 总有两个不同的零点，则
a ＋
b －c
a
的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤1，74 B ．(1,2] C ．[1，＋∞)
D ．(2，＋∞)
解析：选D 依题意，对于方程ax 2
＋bx ＋c ＝0，有Δ＝b 2
－4ac >0，于是c <b 2
4a ，从而
a ＋
b －
c a >a ＋b －
b 2
4a a ＝1＋b a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，对满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b 恒成立．令t ＝b
a ，因为0<
b ≤3a ，所以0<t ≤3.因此1＋b a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－14t 2＋t ＋1＝－14(t －2)2
＋2∈(1,2]，故
a ＋
b －c
a
>2.故选D. 2．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，
d ，则下列不等式正确的是( )
A ．a >c >b >d
B ．a >b >c >d
C ．c >d >a >b
D ．c >a >b >d
解析：选 D f (x )＝2 017－(x －a )·(x －b )＝－x 2
＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，
c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，
由图可知c >a >b >d ，故选D.
3．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，若函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－ln 28，1－ln 26
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16
，ln 2－18
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28
，1－ln 26 D.⎝
⎛⎭⎪⎫ln 2－16
，1－ln 28 解析：选A 函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx 的图象有7个交点．当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x
x
<0，此时f (x )单
调递减，且f (1)＝0，f (2)＝ln 2－1.由f (2－x )＝f (x )知函数图象关于x ＝1对称，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，故f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的函数．易知m ≠0，当－m <0时，作出函数y ＝f (x )与y ＝－mx 的图象，如图所示．
则要使函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx
的图象有7个交点，需有⎩
⎪⎨
⎪⎧
－8m <f
，－6m >f ，
即
⎩
⎪⎨
⎪⎧
－8m <ln 2－1，－6m >ln 2－1，解得1－ln 28<m <1－ln 2
6
.
同理，当－m >0时，可得ln 2－16<m <ln 2－1
8.
综上所述，实数m 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－ln 28，1－ln 26.故选A.
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x
＋1，x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12
x 2
－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2
－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6
个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )
A ．[6,11]
B ．[3,11]
C ．(6,11)
D ．(3,11)
解析：选D 首先作出函数f (x )的图象(如图)，
对于方程[f (x )]2
－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，
结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2
－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分
布得出约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
b >0，1－a ＋b <0，
4－2a ＋b >0，
画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值
范围为(3,11)，故选D.
5．(2018·浙江模拟训练冲刺卷)在直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点．如果函数f (x )的图象恰好通过k (k ∈N *
)个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数，给
出下列函数：①f (x )＝ ②f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ；③f (x )＝32x 2
－62x ＋32＋1；④f (x )＝
sin 4
x ＋cos 4
x .
其中是一阶格点函数的为________．(只填序号)
解析：函数f (x )＝ 的图象过格点(2n,
2n )，其中n ∈N ，有无数个格点，故不是一阶格点函数；
f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的图象过格点(－n,2n )，其中n ∈N ，有无数个格点，故不是一阶格点函数；
f (x )＝32(x －1)2＋1的图象过格点(1,1)，且当x ≠1，x ∈Z 时，f (x )的值不是整数，
故是一阶格点函数；
f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－1
2sin 22x ＝34＋14
cos 4x ，显然f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，要使f (x )的值是整数，则f (x )＝1，此时cos 4x ＝1，得x ＝k π2
，k
∈Z ，当且仅当k ＝0时，x 取整数，故是一阶格点函数．
答案：③④
6．(2018·诸暨高三适应性考试)已知a ，b ，c ∈R ＋
(a >c )，关于x 的方程|x 2
－ax ＋b |＝cx 恰有三个不等实根，且函数f (x )＝|x 2
－ax ＋b |＋cx 的最小值是c 2
，则a c
＝________.
解析：由关于x 的方程|x 2
－ax ＋b |＝cx 恰有三个不等实根可知，y ＝x 2
－ax ＋b 有两个正的零点m ，n (m <n )，且y ＝－x 2
＋ax －b 与直线y ＝cx 相切，即x 2
＋(c －a )x ＋b ＝0中Δ＝0，故b ＝
c －a
2
4
.
f (x )＝|x 2－ax ＋b |＋cx 可以看成是
g (x )＝|x 2－ax ＋b |与
h (x )
＝
－cx 图象的纵向距离．
由h (x )＝－cx 与y ＝x 2
－ax ＋b 相切可知，当x ＝m 时，纵向距离最小，即f (x )最小，即|m 2
－am ＋b |＋cm ＝c 2
，而由m 2
－am ＋b ＝0，可知m ＝c .
因为m ，n (m <n )是方程x 2
－ax ＋c －a
2
4
＝0的两根，所以由根与系数的关系可得m ＋n
＝a ，mn ＝
c －a
2
4
，即c ＋n ＝a ，cn ＝
c －a
2
4
，消去n 得，c (a －c )＝
c －a
2
4
.
因为a >c ，所以4c ＝a －c ，即a
c
＝5. 答案：5。