山西省阳泉市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析

山西省阳泉市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．
121
B ．
221
C ．
115
D ．
215
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求. 【详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2
721C =，
其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果， 故概率221
P =. 故选：B. 【点睛】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.
2．已知直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则
双曲线的方程为（ ）
A ．22
1520
x y -=
B ．22
1205
x y -=
C ．22
1169
x y -
= D ．22
1916
x y -=
【答案】A 【解析】 【分析】
根据直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线
平行，得到2b a =，再求双曲线方程. 【详解】
因为直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，
所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，
所以25a =，220b =，
所以双曲线方程为22
1520
x y -=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪
=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，
则m 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[)1,2
C ．[)1,+∞
D ．()0,1
【答案】C 【解析】 【分析】
先解不等式()2f x ≤，可得出89
x ≥-，求出函数()y f x =的值域，由题意可知，不等式
()()8
19
m f x -≥-
在定义域上恒成立，可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围. 【详解】
()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩，先解不等式()2f x ≤.
①当18x -<<时，由()()3log 12f x x =+≤，得()32log 12x -≤+≤，解得8
89
x -
≤≤，此时8
89
x -≤<； ②当8x ≥时，由()4
26
f x x =
≤-，得8x ≥. 所以，不等式()2f x ≤的解集为89x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭
.
下面来求函数()y f x =的值域.
当18x -<<时，019x <+<，则()3log 12x +<，此时()()3log 10f x x =+≥； 当8x ≥时，62x -≥，此时()(]4
0,26
f x x =
∈-. 综上所述，函数()y f x =的值域为[)0,+∞， 由于()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，
则不等式()()8
19
m f x -≥-在定义域上恒成立，所以，10m -≥，解得m 1≥. 因此，实数m 的取值范围是[
)1,+∞. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 4．直线
经过椭圆
的左焦点，交椭圆于
两点，交轴于点，
若，则该椭圆的离心率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为
，且
，
再由
，求得
，代入椭圆的方程，求得
，进而利用椭圆的离心率的计算公式，
即可求解. 【详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令
，解得，
所以
，即椭圆的左焦点为
，且
① 直线交轴于，所以，，
因为
，所以
，所以
，
又由点在椭圆上，得 ②
由，可得，解得，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故选A. 【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出
，代入公式
；②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，转化为
的齐次式，然后转
化为关于的方程，即可得的值(范围)．
5．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．
112
V B ．18
V
C ．16V
D ．19
V
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意画出图形，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，可得当
11111,33BM BB C C N C ==时1AM MN ND ++最小，设正方体1AC 的棱长为3a ，得327
V a =，进一步求
出四面体1AMND 的体积即可． 【详解】 解：如图，
∵点M ，N 分别在棱11,BB CC 上，要1AM MN ND ++最小，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM
所在的面共面，1,,AM MN ND 三线共线时，1AM MN ND ++最小，
∴11111
,33
BM BB C C N C =
= 设正方体1AC 的棱长为3a ，则327a V =，
∴3
27V a =
． 取1
3
BG BC =，连接NG ，则1AGND 共面，
在1AND ∆中，设N 到1AD 的距离为1h ，
12212212222211111112
(3)(3)32,(3)10,(32)(2)22,
cos 21022255319sin 255
11sin 22319192
D NA AD a a a D N a a a AN a a a D NA a a D NA S D N AN D NA AD a h h ∆=+==+==+=∴∠==⋅⋅∴∠=
∴=⋅⋅⋅∠=⋅⋅∴，
设M 到平面1AGND 的距离为2h ，
22111111[(2)322]
3231922219
222
M AGN A MGN
a a V V h a a a a a a h a --∴=∴⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅-⋅⋅∴=
⋅⋅= 1
23131933919
AMND a V V a ∴===. 故选D ． 【点睛】
本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题． 6．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒
，cos C =ABC 的面积为（ ） A
B
C
D
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出sin A ，由正弦定理求得c ，然后由面积公式计算． 【详解】
由题意sin 7
C ==，
1sin sin()sin cos cos sin (27A B C B C B C =+=+=⨯+=
． 由sin sin a b
A B
=
得sin sin a B b A ===
11sin 1227S ab C ==
=⨯=
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解．
7．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}
2
|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是
A ．M N N =
B ．(
)U
M
N =∅
C ．M
N U =
D ．()U
M N ⊆
【答案】A 【解析】 【分析】
求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】
由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．
故选A ． 【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
8．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则4z x y =+的取值范围为（ ）
A ．[]5,1--
B ．[]5,5-
C ．[]1,5-
D ．[]7,3-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据约束条件作出可行域，找到使直线4y x z =-+的截距取最值得点，相应坐标代入4z x y =+即可求得取值范围. 【详解】
画出可行域，如图所示：
由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1A --时，z 取得最小值－5；经过点()1,1B 时，z 取得最大值5，故55z -. 故选：B 【点睛】
本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.
9．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14
. 其中正确的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【详解】
使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确； 使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，8130
0.1456290
≈，故超过10%的大学生
使用app 主要玩游戏，所以②错误；
使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401
562904
>，所以③正确.
故选：C. 【点睛】
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2
π
ϕ<图象的一个对称中心为(
3
π
，0)，其相邻一条对
称轴方程为712
x π
=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】B 【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】
根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+
(其中0A >，)2π
ϕ<
的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 可得1A =，
1274123
πππω⋅=-， 解得：2ω=．
再根据五点法作图可得23
π
ϕπ⋅+=，
可得：3
π
ϕ=
，
可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
故把()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
12
π
个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛
⎫=++=
⎪⎝
⎭的图象， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
11．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两
点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A B ．C
D
【答案】D 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义可得2ABF ∆的边长为4a ，然后在12AF F ∆中应用余弦定理得,a c 的等式，从而求得离
【详解】
由题意122AF AF a -=，212BF BF a -=，又22AF BF AB ==， ∴114AF BF AB a -==，∴12BF a =， 在12AF F ∆中2
22
12
12122cos60F F AF AF AF AF =+-︒，
即2
2
2
1
4(6)(4)2642
c a a a a =+-⨯⨯⨯228a =，∴． 故选：D ． 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用a 表示，然后用余弦定理建立关系式．
12．如图是计算
11111
++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．5k ≥
B ．5k <
C ．5k >
D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】
因为该程序图是计算11111
246810
++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次
所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知正项等比数列{}n a 中，247941499,22
a a a a =
=，则13a =__________． 【答案】12
3
2 【解析】 【分析】
利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得2q ，再利用等比数列的性质可得32
3
2a =
，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】 由2479414
99,22a a a a =
=， 所以10
55792412a a q q a a ⋅⎛⎫
=⋅= ⎪⋅⎝⎭，解得12q =.
2
243492a a a =
=，所以3232
a =， 所以10
10
133212313
222
a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.
故答案为：1232
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.
14．设实数,x y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
,则23z x y =+的最大值为______.
【答案】26 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：作出不等式组1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域如图，当直线23z x y =+过点()46，
时，z 最大，且max 243626z =⨯+⨯=
考点：线性规划.
15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过F
作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若APQ ∆为直角三角形，则该双曲线的离心率是______. 【答案】2 【解析】 【分析】
根据APQ ∆是等腰直角三角形，且F 为PQ 中点可得AF PF =，再由双曲线的性质可得2
b a
c a
+=，解
出e 即得. 【详解】
由题，设点0(),P c y ，由22
2
21(0,0)x c x y a b a b =⎧⎪⎨-=>>⎪⎩，解得20b y a =±，即线段2b
PF a =，APQ ∆为直角三角形，
2
PAQ π
∴∠=，且AP AQ =，又F 为双曲线右焦点，PQ 过点F ，且PQ x ⊥轴，AF PF ∴=，
可得2b a c a +=，22
c a a c a
-∴+=，整理得：2220a ac c +-=，即220e e --=，又1e >，2e ∴=.
故答案为：2 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.
16．已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123e e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是__． 【答案】3
3
【解析】 【分析】
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值． 【详解】
解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1）， 则123e e -=（3，﹣1）， 1e +λ2e =（1，λ）； 又夹角为60°，
∴（123e e -）•（1e +λ2e ）3=-λ＝221λ⨯+⨯cos60°
， 即3-λ21λ=+， 解得λ33
=． 【点睛】
本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知六面体ABCDEF 如图所示，BE ⊥平面ABCD ，//BE AF ，//AD BC ，1BC =，5CD =，
2AB AF AD ===，M 是棱FD 上的点，且满足
1
2
FM MD =.
（1）求证：直线//BF 平面MAC ； （2）求二面角A MC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2318
【解析】 【分析】
（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO .通过证明//MO BF ，证得直线//BF 平面MAC . （2）建立空间直角坐标系，利用平面MAC 和平面MCD 的法向量，计算出二面角A MC D --的正弦值. 【详解】
（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO ， 因为AD BC ∥，所以BOC DOA △∽△，所以2
1
DO AD OB BC ==， 在FBD 中，因为21MD DO
MF OB
==， 所以MO
BF ，且MO ⊂平面MAC ，
故BF ∥平面MAC .
（2）因为AD BC ∥，2AB =，1BC =，2AD =，5CD =，所以AB AD ⊥， 因为BE
AF ，BE ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ，
所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，
取AB 所在直线为x 轴，取AD 所在直线为y 轴，取AF 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(2,0,3)E ，(0,0,2)F
所以(0,2,2)DF =-，因为
1
2
FM MD =， 所以2440,,333DM DF ⎛
⎫=
=- ⎪⎝
⎭， 所以点M 的坐标为240,
,33⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
， 所以(2,1,0)AC =，240,,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，设(,,)m x y z =为平面MAC 的法向量，
则20024
0033x y m AM y z m AC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩
，令1x =，解得2y =-，1z =，
所以(1,2,1)m =-，即(1,2,1)m =-为平面MAC 的一个法向量.
142,,33CM ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，(2,1,0)CD =-
同理可求得平面MCD 的一个法向量为,,(1)22n = 所以1421
cos ,6336
m n -+〈〉=
=-⨯ 所以二面角A MC D --的正弦值为
318
18
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=． （1）求B ；
（2）若4b =，求ABC 的面积的最大值． 【答案】（1）2
3B π=（2）433
【解析】 【分析】
(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得1
cos 2
B =-,即可求得B ; (2)由余弦定理借助基本不等式可求得16
3
ac ≤,即可求出ABC 的面积的最大值. 【详解】 （1）
(2)cos cos 0a c B b A ++=，(sin 2sin )cos sin cos 0A C B B A ∴++=，
所以(sin cos sin cos )2sin cos 0A B B A C B ++=， 所以sin()2cos sin 0A B B C ++=，
sin()sin A B C +=，1
cos 2
B ∴=-，
0B π<<，2
3
B ∴=π．
（2）由余弦定理得222
122b a c ac ⎛⎫=+-⨯-
⎪⎝⎭
.22
163a c ac ac ++=≥， 16
3ac ∴≤
，当且仅当a c ==时取等，
1116sin 223ABC
S
ac B ∴=
≤⨯=
所以ABC . 【点睛】
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积的最值问题,难度较易. 19．已知函数()ln f x a x x =+(R a ∈). （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若对(0,)x ∀∈+∞，()e 0x
f x ax --<恒成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）①当0a <时，()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；②当0a ≥时， ()f x 在(0,+)∞上单调递增； （2）[0,)+∞. 【解析】 【分析】
（1）求出函数的定义域和导函数， ()x a
f x x
+'=
，对a 讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由()e 0x
f x ax --<得(ln )e x
a x x x ->-，
分别运用导函数得出函数()e x
s x x =-(0x >)，()()ln 0t x x x x =->的单调性，和其函数的最值，可得
e ln x
x a x x
->
- ，可得的范围; 法二:由()e 0x f x ax --<得()e x f x ax <+，化为()(e )x
f x f <令()e x
h x x =-(0x >)，研究函数的单
调性，可得a 的取值范围. 【详解】
（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x
+'=
+=， ①当0a <时，由()0f x '>得x a >-，()0f x '<得0x a <<-，
()f x ∴在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；
②当0a ≥时，()0f x '>恒成立,()f x ∴在(0,+)∞上单调递增； （2）法一: 由()e 0x
f x ax --<得(ln )e x
a x x x ->-，
令()e x s x x =-(0x >)，则()1e 0x
s x '=-<，()s x ∴在(0,)+∞上单调递减，
()(0)1s x s ∴<=-，()0s x ∴<，即e 0x x -<，
令()()()11ln 0,1x t x x x x t x x x
-=->'=-
=， 则1,()0x t x >'>，()t x 在()1,+∞上单调递增，01,()0x t x <<'<，()t x 在()0,1上单调递减，所以
()()110t x t ≥=>，即ln 0x x ->，
e ln x
x a x x
-∴>
- (*) 当0a ≥时，
e 0ln x
x x x
-<-，∴(*)式恒成立，即()e 0x f x ax --<恒成立，满足题意
法二:由()e 0x
f x ax --<得()e x
f x ax <+，
(e )e x x f ax =+，()(e )x f x f ∴<
令()e x h x x =-(0x >)，则()1e 0x
h x '=-<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递减，
()(0)1h x h ∴<=-，()0h x ∴<，即e x x <，
当0a ≥时，由(Ⅰ)知()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(e )x
f x f ∴<恒成立，满足题意
当0a <时，令()ln e x
x a x ϕ=-，则()()e 00x
a x x x
ϕ'=
-<>，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减， 又(1)e 0ϕ=-<，当0x →时，()x ϕ→+∞，(0,1)r ∴∃∈，使得()0r ϕ=，
∴当0(0,)x r ∈时，0()()0x r ϕϕ>=，即00ln e x a x >，
又00x ax >，0000ln e x
a x x ax ∴+>+，000()e 0x
f x ax ∴-->，不满足题意， 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞ 【点睛】
本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.
20
．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32t x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
.（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
4cos 30p ρθ-+=. （1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程；
（2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.
【答案】（1
0y -+=，2
2
430x y x +-+=.（2
）1⎤
+⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）根据直线l
的参数方程为3,2t x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），消去参数t ，即可求得的l 的普通方程，曲线C
的极坐标方程为2
4cos 30p ρθ-+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩ ，即可求得答案；
（2）C 的标准方程为2
2
(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】
（1）直线l
的参数方程为3,22t x y t ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），消去参数t
∴l
0y -+=.
曲线C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=，
利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
∴C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.
（2）C 的标准方程为2
2
(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1
∴圆心C 到l
的距离为|022
d +==， ∴点P 到l
的距离的取值范围是1⎤
-+⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
21．已知定点()30A -,
，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-，记动点M 的
轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】 (1) ()2
2139
x y x +=≠± ；(2) 存在定点()3,0S ±，见解析
【解析】 【分析】
（1）设动点(,)M x y ，则,(3)33MA MB y y k k x x x =
=≠±+-，利用19
MA MB k k =-，求出曲线C 的方程． （2）由已知直线l 过点(1,0)T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22
1
99x my x y =+⎧⎨
+=⎩
， 消去x 得2
2
(9)280m y my ++-=，设1(P x ，1)y ，2(x Q ，2)y 利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果． 【详解】
解：（1）设动点(),M x y ，则()33
MA y
k x x =
≠-+， ()33
MB y
k x x =
≠-， 19
MA MB k k ⋅=-，即1
339y y x x ⋅=-+-，
化简得：2
219
x y +=。

由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为()2
2139
x y x +=≠±。

（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，
则联立方程组22
1,19x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22
9280m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122122
2,9
8.9m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
又直线SP 与SQ 斜率分别为11
1010
1SP y y k x x my x =
=-+-，
22
2020
1SQ y y k x x my x =
=-+-，
则()()()()1222
21020008
11991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅=
=+-+--+-。

当03x =时，m R ∀∈，()
2
082991SP SQ k k x -⋅=
=--；
当03x =-时，m R ∀∈，()
208118
91SP SQ k k x -⋅=
=--。

所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值。

【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
22．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案
()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前
54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽
取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]
2535354545555565657575858595，
，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率； （2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为
13
，选择方案()b 的概率为2
3.若甲、乙、
丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，
（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 【答案】（1）0.4；（2）11
27
；（3）应选择方案()a ，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；
（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；
（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择.
【详解】
（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.
根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05， ∵020*******++=．．．．，
∴()P A 估计为0.4.
（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”，
设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234i
i =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()4
130
10144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为
1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，
方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，
方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩
，，，，， 所以随机变量1Y 的分布列为
()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．； 同理，随机变量2Y 的分布列为
()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.
∵()()21E Y E Y >，
∴建议骑手应选择方案()a .
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.
23．已知函数2()(0)1
x
e f x a x ax =≥-+． （1）当0a =时，试求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线；
（2）试讨论函数()f x 的单调区间．
【答案】（1）1y x =+；（2）见解析
【解析】
【分析】 （1）对函数进行求导，可以求出曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线，利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线方程；
（2）对函数进行求导，对实数a 进行分类讨论，可以求出函数()f x 的单调区间．
【详解】
（1）当0a =时，函数定义域为R ，()222(1)()(0)11x e x f x f x ''-=
⇒=+, 所以切线方程为1y x =+；
（2）(
)()()()()2222222212(2)1(1)((1))()11
1x x x e x ax x a e x a x a e x x a f x x ax x ax x ax '-+-+-+++--+===-+-+-+ 当0a =时，函数定义域为R ，()222(1)()0,()1x e x f x f x x '-=
≥∴+在R 上单调递增 当(0,2)a ∈时，2240,10a x ax ∆=-<∴-+>恒成立，函数定义域为R ，又11,()a f x +>∴在(,1)
-∞单调递增，(1,1)a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增
当2a =时，函数定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，(3)(),()(1)x e x f x f x x '
-=∴-在(,1)-∞单调递增，(1,3)单调递减，(3,)+∞单调递增
当(2,)a ∈+∞时，240a ∆=->设210x ax -+=的两个根为12,x x 且12x x <，由韦达定理易知两根均为正根，且1201x x <<<，所以函数的定义域为()()12,,x x -∞+∞，又对称轴12a x a =<+，且22(1)(1)1201a a a a x a +-++=+>∴<+，
()f x ∴在()()11,,,1x x -∞单调递增，()()221,,,1x x a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增
【点睛】
本题考查了曲线切线方程的求法，考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题，考查了分类思想.。