高中物理万有引力定律的应用解题技巧分析及练习题(含答案)及解析

高中物理万有引力定律的应用解题技巧分析及练习题(含答案)及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．牛顿说：“我们必须普遍地承认，一切物体，不论是什么，都被赋予了相互引力的原理”．任何两个物体间存在的相互作用的引力，都可以用万有引力定律12
2=m m F G
r
万计算，而且任何两个物体之间都存在引力势能，若规定物体处于无穷远处时的势能为零，则二者之间引力势能的大小为12
=-p m m E G
r
，其中m 1、m 2为两个物体的质量， r 为两个质点间的距离（对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离），G 为引力常量．设有一个质量分布均匀的星球，质量为M ，半径为R ． （1）该星球的第一宇宙速度是多少？
（2）为了描述电场的强弱，引入了电场强度的概念，请写出电场强度的定义式．类比电场强度的定义，请在引力场中建立“引力场强度”的概念，并计算该星球表面处的引力场强度是多大？
（3）该星球的第二宇宙速度是多少？
（4）如图所示是一个均匀带电实心球的剖面图，其总电荷量为+Q （该带电实心球可看作电荷集中在球心处的点电荷），半径为R ，P 为球外一点，与球心间的距离为r ，静电力常量为k ．现将一个点电荷-q （该点电荷对实心球周围电场的影响可以忽略）从球面附近移动到p 点，请参考引力势能的概念，求电场力所做的功．
【答案】（1）1GM
v R
=
2）2=M E G R '引
；（3）22GM
v R
=4）11
()W kQq r R
=-
【解析】 【分析】 【详解】
(1)设靠近该星球表面做匀速圆周运动的卫星的速度大小为1v ，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力
212v mM
G m R R
= 解得：1GM
v R
=
； (2)电场强度的定义式F E q
=
设质量为m 的质点距离星球中心的距离为r ，质点受到该星球的万有引力
2=Mm
F G
r
引 质点所在处的引力场强度=F E m
引
引 得2=M E G
r
引 该星球表面处的引力场强度'
2=M
E G
R
引 (3)设该星球表面一物体以初速度2v 向外抛出，恰好能飞到无穷远，根据能量守恒定律
22102mM
mv G R
-=
解得：2v =
； (4)点电荷-q 在带电实心球表面处的电势能1P qQ
E k R
=- 点电荷-q 在P 点的电势能2P qQ
E k
r
=- 点电荷-q 从球面附近移动到P 点，电场力所做的功21()P P W E E =-- 解得：11
()W kQq r R
=-
．
2．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间．
【答案】
t =
或者t =
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出角速度的表达式，卫星再次经过某建筑物的上空，比地球多转动一圈．
解：用ω表示航天飞机的角速度，用m 、M 分别表示航天飞机及地球的质量，则有
2
2Mm G
mr r
ω= 航天飞机在地面上，有2mM
G
R
mg =
联立解得ω=
若ω>ω0，即飞机高度低于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ωt －ω0t ＝2π
所以
t =
若ω<ω0，即飞机高度高于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ω0t －ωt ＝2π
所以
t =
． 点晴：本题关键：（1）根据万有引力提供向心力求解出角速度；（2）根据地球表面重力等于万有引力得到重力加速度表达式；（3）根据多转动一圈后再次到达某建筑物上空列式．
3．一颗在赤道平面内飞行的人造地球卫星，其轨道半径为3R ．已知R 为地球半径，地球表面处重力加速度为ｇ． （1）求该卫星的运行周期．
（2）若卫星在运动方向与地球自转方向相同，且卫星角速度大于地球自转的角速度ω0．某时刻该卫星出现在赤道上某建筑物的正上方，问：至少经过多长时间，它会再一次出现在该建筑物的正上方？
【答案】（1
）6T ＝2
）t V 【解析】 【分析】 【详解】
（1）对卫星运用万有引力定律和牛顿运动定律可得()
2
2
2433Mm
G m R T R π⋅＝ 地球表面的物体受到重力等于万有引力2
Mm
mg G R ＝
联立解得6T ＝； （2）以地面为参照物，卫星再次出现在建筑物上方时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转过弧度少2π． ω1△t -ω0△t =2π，
所以
100
222t T V ＝
＝＝πππωωω--；
4．从在某星球表面一倾角为θ的山坡上以初速度v 0平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上．已知该星球的半径为R ，一切阻力不计，引力常量为G ，求： （1）该星球表面的重力加速度的大小g （2）该星球的质量M ．
【答案】(1) 02tan v t θ (2) 202tan v R Gt
θ
【解析】 【分析】
（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度．（2）物体在小球的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出． 【详解】
（1）物体做平抛运动，水平方向：0x v t =，竖直方向：2
12
y gt = 由几何关系可知：0
2y gt tan x v θ== 解得：0
2v g tan t
θ=
（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：2
Mm
G
mg R = 可得：2202v R tan gR M G Gt
θ
==
【点睛】
本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用．
5．“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n 圈所用时间为t ，到达A 点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B 点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n 圈所用时间为．不考虑其它星体对飞船的影响，求：
（1）月球的平均密度是多少？
（2）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？
【答案】（1）
2
2
192n
Gt
π
；（2
）123
7
mt
t m
n
（，，）
==⋯
【解析】
试题分析：（1）在圆轨道Ⅲ上的周期：
38
t
T
n
=，由万有引力提供向心力有：
2
2
2
Mm
G m R
R T
π
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
又：3
4
3
M R
ρπ
=，联立得：
2
22
3
3192n
GT Gt
ππ
ρ==．
（2）设飞船在轨道I上的角速度为1
ω、在轨道III上的角速度为
3
ω，有：
1
1
2
T
π
ω=
所以3
3
2
T
π
ω=设飞飞船再经过t时间相距最近，有：
31
2
t t m
ωωπ
''=
﹣所以有：
123
7
mt
t m
n
（，，）
==⋯．
考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系
【名师点睛】本题主要考查万有引力定律的应用，开普勒定律的应用．同时根据万有引力提供向心力列式计算．
6．如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内．已知地球自转角速度为0
ω，地球质量为M ，B离地心距离为r ，万有引力常量为G，O为地球中心，不考虑A和B之间的相互作用．（图中R、h不是已知条件）
（1）求卫星A的运行周期
A
T
（2）求B做圆周运动的周期
B
T
（3）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
【答案】（1）0
2A T π
ω=（2
）2B T =3
）t ∆=
【解析】 【分析】 【详解】
（1）A 的周期与地球自转周期相同 0
2A T π
ω=
（2）设B 的质量为m ， 对B 由牛顿定律:
2
2
2()B
GMm m r r T π= 解得：
2B T = （3）A 、B 再次相距最近时B 比A 多转了一圈，则有：0()2B t ωωπ-∆=
解得：
t ∆=
点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2π的整数倍．
7．“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F 与在地球表面时重力mg 的比值后F
k mg
=
称为载荷值．已知地球的半径为R ＝6.4×106m （地球表面的重力加速度为g ＝9.8m/s 2）
(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k ＝6，求该过程的加速度；（结论用g 表示）
(2)求地球的笫一宇宙速度；
(3)“神舟”十号飞船发射成功后，进入距地面300km 的圆形轨道稳定运行，估算出“神十”绕地球飞 行一圈需要的时间．（π2≈g ）
【答案】(1) a ＝5g (2)37.9210m/s v =⨯ (3)T =5420s 【解析】 【分析】
(1)由k 值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度．
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；
(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值． 【详解】
(1)由k ＝6可知，F ＝6mg ，由牛顿第二定律可得：F -mg ＝ma 即：6mg -mg ＝ma 解得：a ＝5g
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，
由万有引力提供向心力得：2
v mg m R
=
所以：37.9210m/s v =
==⨯
(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：2
22()Mm G m r T
π= 在地面上万有引力等于重力：2
Mm
G
mg R =
解得：5420s T ===
【点睛】
本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力．
8．已知地球的半径为R ，地面的重力加速度为g ，万有引力常量为G 。

求 (1)地球的质量M ； (2)地球的第一宇宙速度v ；
(3)相对地球静止的同步卫星，其运行周期与地球的自转周期T 相同。

求该卫星的轨道半径r 。

【答案】（1）2R g M G =（2（3【解析】 【详解】
（1）对于地面上质量为m 的物体，有 2
Mm
G
mg R = 解得 2R g
M G
= （2）质量为m 的物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
22Mm v G m R R
=
解得 v =
=
（3）质量为m 的地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
2224Mm G m r r T
π= 解得222
33
22
44GMT R gT
r ππ==
9．已知某行星半径为，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为，该行星上发射的同步卫星的运行速度为.求
（1）同步卫星距行星表面的高度为多少？ （2）该行星的自转周期为多少？ 【答案】（1） （2）
．
【解析】 【分析】 【详解】
（1）设同步卫星距地面高度为 ，则： ，以第一宇宙速度运行的卫星其
轨道半径就是R ，则
联立解得：
．
（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期
．
10．已知火星半径为R ，火星表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，某人造卫星绕火星做匀速圆周运动，其轨道离火星表面高度等于火星半径R ，忽略火星自转的影响。

求：
（1）火星的质量； （2）火星的第一宇宙速度； （3）人造卫星的运行周期。

【答案】（1）2
g
G
R （2gR （3）2
4R g
π
【解析】 【详解】
（1）在火星表面，由万有引力等于重力得：2
GMm mg R
= 得火星的质量 2
g
M G
R =；
（2）火星的第一宇宙速度即为近火卫星的运行速度，根据2
mg m R
v =
得
v = （3）人造卫星绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得()()2
2
222GMm
m R
T
R π=⎛⎫ ⎪⎝⎭
联立得2
4R T g
π=。