新版精编2019年高中数学单元测试试题《解析几何及综合问题》专题测试题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题
专题（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2
＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2
＋y 2
＝16相切，则p 的值为（ ） （A ）12
（B ）1 （C ）2
（D ）4
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
2．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的
两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .
3．已知
12
1(0,0),m n m n
+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m
+1y y
n =的交点个数为 ▲
4．已知圆22
670x y x +--=与抛物线2
2(0)y px p =>的准线相切，则p 的值
为 .
5．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝1
2，右焦点为F (c,0)，方程ax 2
－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内
解析：由e ＝12＝c
a ，得a ＝2c ，
b ＝3
c .
所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－1
2
.
于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝
3
4＋1＝7
4
<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．
6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 2
4
＝
1的交点个数为________．
解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．
7．已知
12
1(0,0),m n m n
+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m
+1y y
n =的交点个数为
三、解答题
8．平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1（0，－c ），F 2（0，c ），A ，0）三点，其中c ＞0．
（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；
（2）已知椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ，
⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；
②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线
DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
9．已知椭圆16
242
2y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）
94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.
由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧==+x
y x y y x R R R R 116
242
2 解得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222
2222
232483248y x y x y x x x R R
由点O 、Q 、R 共线，得
x y y P =12,即x
y
y P 12= ③
由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得
22
22222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.
将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程
（x －1）2
+3
22
y =1（x ＞0）.
所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和3
6
且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.
评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力
.
10．已知圆O :2
2
2x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,
离心率为
2
的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)
(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)
(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线
PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,
请说明理由． (5分)
11．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且
OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .
(1）求证：221b a -=；
(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；
(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．
12．有如下结论：“圆2
2
2
r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为
2
00r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(10022
22y x P b a b
y a x 上一点>>=+处的
切
线方程为12020=+b
y y a x x ”，过椭圆C ：1422
=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的
两条切线，切点为 A ．B.
(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积
13．已知圆1F ：16)1(2
2=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。

(1）求点M 的轨迹C 的方程；
(2）若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于B A ,两点，
且1ABF ∆的面积为2
3
，求直线l 的方程。

14．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影
分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21
2
ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；
(3)设点
(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围．
15．已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于
,A B 两点（如图）．
（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的
1
4
，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；
（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、
两点在x 轴上方，求线段CD 的长．
16． 已知椭圆x 2+22
b y =1(0<b<1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B.过
F 、B 、C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n)． (1)当m+n>0时，求椭圆离心率的取值范围；
(2)直线AB 与圆P 能否相切?证明你的结论．
17．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别
为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 斜率为
3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．
(1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21
2
ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；
(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N
的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围． 4．
18．设椭圆的方程为2222n y m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜
2
π
＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点， (Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； (Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，
4
π
］上变化时，求S 的最小值u ；
(Ⅲ）如果μ>mn ，求
n
m
的取值范围. （1995上海，24） 93.（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=1tan 22
22n y m x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜
2
π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝
θ
θ
2
2222tan tan 4m n n m +． （Ⅱ）S ＝
θθ
tan tan 422
2
2m n
n m +．
（1）当m >n ，即m
n ＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2
θ＝22m n 时等号
成立，所以mn mn
n m m n n m S
224tan tan 42222
2
2=≤+=
θθ
．
由于0＜θ≤
4
π，0＜tan θ≤1，
故tan θ＝
m
n
得u ＝2mn ． （2）当m <n ，即
m n
>1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4
π， 由于)tan tan ()tan tan (1
212
2222
θθθθn m n m +-+
2
12
21212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．
因为0＜tan θ
1＜tan θ2≤1，m
2
tan θ1tan θ
2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2
tan θ2＋
22tan θn ）－（m 2
tan θ1＋1
2tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθ
tan tan 422
22m n n m +是θ的增函数，故取θ
＝4π，即tan θ＝1得u ＝2
22
24n m n m +．
所以u ＝⎪⎩
⎪
⎨⎧<<+<<)0(
4)0( 22222n m n m n m m n mn
（Ⅲ）（1）当
n
m
>1时，u =2mn >mn 恒成立.
（2）当
n m <1时，224n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（n m
）+1<0，
所以3232+<<
-
n m ，又由n
m
<1， 得132<<
-n
m . 综上，当u >mn 时，
n
m
的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）． 评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.
19．已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23
，椭圆的左、右两个顶点分别为
A ，
B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2． （1）求椭圆的方程；
（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；（3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．
20．如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -
，直角顶点(0,B -，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． （1）求BC 边所在直线方程； （2）求三角形ABC 外接圆的方程；
（3）若动圆N 过点P 且与ABC ∆的外接圆内切， 求动圆N 的圆心N 所在的曲线方程．
21．定义变换T ：cos sin ,
sin cos ,
x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨
'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.
（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3
arctan 4
θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标； （2）当3
arctan
4
θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换
T ：cos sin ,sin cos ,
x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨
'⋅-⋅=⎩（2k π
θ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)16x y -+=，圆2C ：22(1)1x y ++=，点S 为圆1C 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心2(10)C -,
恰与点S 重合，折痕与直线1SC 交于点P ．
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）过动点S 作圆2C 的两条切线，切点分别为M N 、，求MN 的最小值；
（3）设过圆心2(10)C -,
的直线交圆1C 于点A B 、，以点A B 、分别为切点的两条切线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上．
23． 已知椭圆2
21:12
x C y +=和圆222:1C x y +=，左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.
(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为12+ 求证：;AP OP ⊥
(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.
24．如图，椭圆0C ：22221(0x y a b a b +=>>，a ，b 为常数)，动圆222
11:C x y t +=，
1b t a <<。

点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。

(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆222
22:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点，其中2b t a <<，
12t t ≠。

若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等，证明：22
12t t +为定值。

【2012高考
真题辽宁理20】(本小题满分12分)
25．. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为
2
3
,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :021422
2
=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .
(1)求椭圆G 的方程 ； (2)求21F F A k ∆的面积 (3)问是否存在圆k C 包围椭圆G? 请说明理由.
26．.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，
212PF F F ⊥，1OH PF ⊥于H ，111
,[,]92
OH OF λλ=∈
（1）当1
3
λ=时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的离心率的取值范围；
（3）当离心率最大时，过1F 、2F ，P 的圆截y 轴线段长为8，求该圆的方程．
27．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22
(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.
28．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2
:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .
(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2
AF
AM AN =⋅,求圆C 的半径.
29．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22
:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑. 30．已知点P （4，4），圆C ：2
2
()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>有
一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． (Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程； (Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．。