中考数学一轮复习宝典第1部分第5章课题19 矩形、菱形和正方形

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3．(2013，T15，3 分)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处，当△CEB′ 为直角三角形时，BE 的长为 3 或32 .
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【河南真题链接】 2012 年 T18(2)①，见题型八．
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练习 1－1 (2018 平顶山一模)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，E，H 分别为 AD，CD 的中点，沿 BE 将△ABE 折叠，若点 A 恰好落在 BH 上的点 F 处，则 AD＝ 6 2 .
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类型二矩形的判定 (2019 江西)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，
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(1)求证：AE＝DF. 证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t， ∴DF＝t.又AE＝t，∴AE＝DF.
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(2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不
能，说明理由．
解：能．∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.又AE＝DF，∴四边形
判定矩形的思路 (1)已知两角为直角——证第三个角为直角链接练习 1－2 (2)已知一个角为直角证证四其边他形角为中平有行两四个边直形角 (3)已知邻角相等——证四边形为平行四边形 (4)已知四边形是平行四边形证证一对个角内线相角等是直链角接例2
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练习 1－2 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E.求证：四边形 ADCE 为矩形．
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∵∠A＝90°－∠C＝60°，∴AD＝AE·cos60°，即 10－2t＝12t，解得 t＝4；③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
综上所述，当 t＝52或 4 时，△DEF 为直角三角形．
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【河南真题链接】 2019 年 T17(2)②，见课题 20；2018 年 T10，见题型一；2018 年 T19(2)①，见题型八；2016 年 T18(2)②，见课题 20；2014 年 T17(2)①，见课题 21；2012 年 T18(2)②，见题型八．
菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线的交点 E 的坐标为( D )
A．(2， 3)
B．( 3，2)
C．( 3，3)
D．(3， 3)
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类型二菱形的判定如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线
AD 的两侧，且 AE＝DF，AC＝BD，∠A＝∠D.完成下面的填空，并证明你的结论．
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【河南真题链接】 2018 年 T19(2)②，见题型八；2017 年 T9，见课题 9；2014 年 T17(2)②，见课题 21.
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矩形的性质与判定
类型一矩形折叠的有关计算如图①的矩形 ABCD 中，有一点 E 在 AD 上，今以 BE 为折线
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命题点 1 矩形的性质与判定
1．(2019，T15，3 分)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝a，点 E
在 B′落边在BC矩上形，A且BCBDE的＝边35a上.连，接则AaE的，值将为△A53B或E
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练习 2－1 (2019 徐州模拟)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD
相交于点 O，AB＝5，AC＝6，则菱形 ABCD 的面积是( A )
A．24
B．26
C．30
D．48
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练习 2－2 (2019 绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为
练习2－3 (2018郴州)如图，在□ABCD中，作对角线BD的垂直平分
线EF，垂足为O，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF.求证：四边形 BFDE是菱形．
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠FBO＝∠EDO. ∵O为对角线BD的中点， ∴OB＝OD. 又∠BOF＝∠DOE， ∴△BOF≌△DOE.∴OF＝OE. 又OB＝OD， ∴四边形BFDE是平行四边形．
对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OD.求证：四边形 ABCD 是矩形．
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证明：∵四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．∴AC＝2AO，BD＝2OD.又 OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形 ABCD 是矩形．
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命题点 2 菱形的性质与判定
4．(2017，T7，3 分)如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加下列条件不能判定□ABCD 是菱形的只有( C )
A．AC⊥BD C．AC＝BD
B．AB＝BC D．∠1＝∠2
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5．(2015，T17，9 分)如图，AB 是半圆 O 的直径，P 是半圆上不与点 A，B 重合的一个动点，延长 BP 到点 C，使 PC＝PB，D 是 AC 的中点，连接 PD，PO.
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(1)求证：△CDP≌△POB.
证明：∵D是AC的中点，PC＝PB，∴DP∥AB，DP＝
1 2
AB.∴∠CPD
＝∠PBO.
∵OB＝21AB，∴DP＝OB.
∴△CDP≌△POB.
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(2)填空：
①若 A B ＝4，则四边形 A O P D 的最大面积为 4 ； ②连接 O D ，当∠P B A 的度数为 60° 时，四边形 B P D O 是菱形．
将点 A 往右折，如图②所示，再作过点 A 且与 CD 垂直的直线，交 CD 于点 F，如图③所示，若 AB＝6 3，BC＝13，AF＝4，则图③中∠BEA＝ 60 °.
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过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，易得四边形 AFCH 是矩形，则 AF＝CH.在 Rt△ABH 中，解直角三角形可求得∠ABC 的度数，进而根据折叠的性质可求得∠ABE 的度数，即可求得∠BEA 的度数．
AEFD为平行四边形．
∵AB＝BC·tan30°＝5
3×
3 3
＝5，∴AC＝2AB＝10.∴AD＝AC－DC
＝10－2t.若使□AEFD为菱形，则需AE＝AD，即t＝10－2t.解得t＝
10 3
.∴当
t＝130时，四边形AEFD为菱形．
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(3)当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．
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菱形的性质与判定
类型一菱形性质的相关计算 (2019 河南二模)如图，四边形 ABCD 是菱形，∠DAB＝50°，对角
线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于点 H，连接 OH，则∠DHO＝ 25 °.
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由四边形 ABCD 是菱形，得 DO＝OB，则 OH 为 Rt△ BHD 斜边上的中线，易得∠OBH＝∠OHB.再结合∠DAB＝50 °求出∠ OHB 的度数，即可得到∠OHD 的度数．
(1)若 B，C 分别是 AC，BD 的中点，∠A＝∠D＝30°，当∠AEC＝ 90 °时，四边形 BFCE 是菱形；
(2)若∠EBC＝60°，AD＝12，DC＝3，当 BE＝ 6 时，四边形 BFCE 是菱形．
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解：(1)90 证明如下：∵AE＝DF，AC＝DB，∠A＝∠D， ∴△AEC≌△DFB.∴EC＝FB，∠AEC＝∠DFB＝90°.∵B，C 分别是 AC，BD 的中点，∴EB＝21AC，FC＝21BD.∵∠A＝∠D＝30°，∴EC＝21AC， FB＝12BD.又 AC＝BD，∴EB＝FC＝EC＝FB.∴四边形 BFCE 是菱形．
第一部分
考点透析
DREAM
中考加油
第五章四边形课题19 矩形、菱形和正方形
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目录
CONTENTS
奋斗中考精彩未来
01 知识网络梳理 02 河南真题再现 03 常考题型精讲
PART ONE PART TWO PART THREE
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(2)6 证明如下：∵AC＝BD，∴AC－BC＝BD－BC，即 AB＝DC.又 AE＝ DF，∠A＝∠D，∴△ABE≌△DCF. ∴BE＝CF，∠ABE＝∠DCF.∴∠EBC＝∠FCB. ∴BE∥FC.∴四边形 BFCE 是平行四边形．∵AD＝12，DC＝3，AB＝ DC，∴BC＝6.∵∠EBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC 是等边三角形．∴BE ＝EC.∴平行四边形 BFCE 是菱形．
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7．(2015，T15，3 分)如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上， AE＝3，F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在点 B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为16 或 4 5 ．
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6．(2011，T22，10 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝5 3， ∠C＝30°.点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 D，E 运动的时间是 t 秒(t>0)．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE，EF.
解：当 t＝52或 4 时，△D E F 为直角三角形．理由如下：①当∠E D F ＝90°时，四边形 E B F D 为矩形，在 R t△A E D 中，∠A D E ＝∠C ＝30°，∴A D ＝2A E ，即 10－2t＝2t，解得 t＝52；②当 ∠D E F ＝90°时，由(2)四边形 A E F D 为平行四边形，知 E F ∥A D ，∴∠A D E ＝∠D E F ＝90°，
沿 5
3
AE .Βιβλιοθήκη 折叠，若点B的对应点
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2．(2014，T15，3 分)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝5，AB＝7，E 为 DC 上的一个动点，把△ADE 沿 AE 折叠，当点 D 的对应点 D′落在∠ABC 的平分线上时，DE 的长为 52或35 ．
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利用菱形的性质进行相关计算，一般包括求角度、求长度(线段或者周长)、求面积．三种设问方式可以从以下方面入手：
(1)求角度时，根据菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等，可利用等腰三角形的性质和平行线的相关性质，转化要求的角，直到找到与已知角之间存在的关系．
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判定菱形的思路 (1)已知一组邻边相等——证四边形是平行四边形 (2)已知对角线互相垂直——证四边形是平行四边形 (3)已知平行四边形证一组邻边相等链接例4(2)

证对角线互相垂直链接练习2－3 (4)已知四边形——证四条边相等链接例4(1)
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证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC. ∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE＝∠CAE. ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝21×180°＝90°. ∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°. ∴四边形 ADCE 为矩形．
(2)求长度(线段或者周长)时： ①一般用等腰三角形的性质进行求解；②若菱形中含 60°角，则连接较短对角线，可得到两个等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质进行求解，短对角线等于菱形的边长，长对角线是短对角线的 3倍； ③若菱形中存在直角三角形，则可使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行求解链接练习 2－2. (3)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直平分、面积等于对角线之积的一半或根据底×高进行求解链接练习 2－1.

中考数学一轮复习宝典第1部分 第5章 课题19 矩形、菱形和正方形

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