高中数学选修2-3课时作业15：2.4正态分布

2.4 正态分布
1．下列函数是正态密度函数的是( )
A ．f (x )＝12σπe ，μ，σ(σ>0)都是实数
B ．f (x )＝2π2πe
C ．f (x )＝122π
e D ．
f (x )＝
12πe 2．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A ．μ1<μ2，σ1<σ2
B ．μ1<μ2，σ1>σ2
C ．μ1>μ2，σ1<σ2
D ．μ1>μ2，σ1>σ2
3．把一正态曲线C 1沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一条新的曲线C 2.下列说法中不正确的是( )
A ．曲线C 2仍是正态曲线
B ．曲线
C 1，C 2的最高点的纵坐标相等
C ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C 2为概率密度曲线的总体的方差大2
D ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的均值大2 题组二 利用正态分布的对称性求概率
4．设X ～N ⎝
⎛⎭⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是( ) A ．95.44%
B ．99.74%
C ．4.56%
D ．0.26%
5．已知X ～N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
6．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．
题组三正态分布的应用
7．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间()
A．(90,110]内B．(95,125]内
C．(100,120]内D．(105,115]内
8．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．
9．据抽样统计显示，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
综合提升练
一、选择题
1．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为()
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
2．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体育情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于或等于62.5 kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是()
A．997 B．954
C．819 D．683
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
二、填空题
4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，则这个正态总体的均值为________．
5．已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝1
2π
e，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的
极值点为________，X落在区间(2,3]内的概率为________．
三、解答题
6．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72<X≤88)＝0.6826.
(1)求参数μ，σ的值．
(2)求P(64<X≤72)．
7．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中
从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值；
(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
——★ 参 考 答 案 ★——
1．B
[[解析]]仔细对照正态分布密度函数f (x )＝12π·σe (x ∈R )，注意指数σ和系数的分母
上的σ要一致，以及指数部分是一个负数．
A 错在函数的系数字母部分的二次根式不包含σ，而且指数部分的符号是负的．
B 是正态分布N (0,1)的密度分布函数．
C 对照f (x )＝12π·σe (x ∈R )，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，不正确．
D 错在指数部分缺少一个负号．故选B.
2．A
[[解析]]根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1<μ2，σ1<σ2.故选A.
3．C
[[解析]]正态密度函数为φμ，σ(x )＝12πσe ，x ∈(－∞，＋∞)，
正态曲线对称轴为x ＝μ，曲线最高点的纵坐标为φμ，σ(μ)＝
12πσ， 所以曲线C 1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以均值μ增大了2个单位．故选C.
题组二 利用正态分布的对称性求概率
4．B
[[解析]]由X ～N ⎝⎛⎭⎫－2，14知μ＝－2，σ＝12
， P (－3.5<X ≤－0.5)＝P (－2－3×0.5<X ≤－2＋3×0.5)＝0.9974.
5．A
[[解析]]因为P (X >2)＋P (0≤X ≤2)＋P (－2≤X ≤0)＋P (X <－2)＝1，
P (X >2)＝P (X <－2)，P (0≤X ≤2)＝P (－2≤X ≤0)，
所以P (X >2)＝12
[1－2P (－2≤X ≤0)]＝0.1. 6．0.8
[[解析]]∵X ～N (1，σ2)，且P (0<X ≤1)＝0.4，∴P (0<X ≤2)＝2P (0<X ≤1)＝0.8.
题组三 正态分布的应用
7．C
[[解析]]5760
＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内， 即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．
8．38
[[解析]]设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A ，B ，C ，
显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12
， ∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为(A B －＋A －
B ＋AB )
C ，
∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率P ＝⎝⎛⎭⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.
9．229
[[解析]]依题意，P (60－20<x ≤60＋20)＝0.9544，P (X >80)＝12
(1－0.9544)＝0.0228， 故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
综合提升练
一、选择题
1．C
[[解析]]∵X ～N (1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.
∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．
2．D
[[解析]]由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X ≤62.5)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826， 从而属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.
3．B
[[解析]]P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6<ξ<6)＝95.44%，
则P (3<ξ<6)＝12
×(95.44%－68.26%)＝13.59%. 二、填空题
4．1
[[解析]]正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称，所以正态总体的均值为1.
5．x ＝1 0.1359
[[解析]]由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，
所以总体分布密度曲线关于直线x ＝1对称，且在x ＝1处取得最大值．
根据正态分布密度曲线的特点可知x ＝1为f (x )的极大值点．
由X ～N (1,1)知P (2<X ≤3)＝12
[P (－1<X ≤3)－P (0<X ≤2)] ＝12
[P (1－2×1<X ≤1＋2×1)－P (1－1<X ≤1＋1)] ＝12
×(0.9544－0.6826)＝0.1359. 三、解答题
6．解：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，
所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.
又P (72<x ≤88)＝0.6826.
结合P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，可知σ＝8.
(2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (64<X ≤96)＝0.9544.
又因为P (X ≤64)＝P (X >96)，
所以P (X ≤64)＝12(1－0.9544)＝12
×0.0456＝0.0228. 所以P (X >64)＝0.9772.
又P (X ≤72)＝12[1－P (72<X ≤88)]＝12
×(1－0.6826)＝0.1587， 所以P (X >72)＝0.8413，
P (64<X ≤72)＝P (X >64)－P (X >72)＝0.1359.
7．解：(1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，
故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.9544.
由正态分布的对称性，可得
p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)
＝12＋12
P (700<X ≤900)＝0.9772. (2)设A 型，B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1600x ＋2400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.
由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，
故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.
于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，
且使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)． 由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，
直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上截距z 2400
最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．。