山东淄博市数学高二下期末经典测试

一、选择题
1．非零向量a b ，满足：a b a -=，()
0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°
D ．45°
2．已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛
⎫=++≤ ⎪⎝
⎭，若ππ,612x ⎛⎫
∀∈- ⎪⎝⎭，()f x 的图象恒在
直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( )
A ．ππ,122⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭
3．已知π(,π)2
α∈，π1
tan()47
α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17
-
B ．25-
C ．15
-
D ．
15
4．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos
56
π
)，则角x 的最小正值为( ) A ．56
π B ．53
π
C ．
116
π
D ．
23
π 5．已知P （14，1），Q （54，－1）分别是函数()()cos f x x ωϕ=＋0,2πωϕ⎛
⎫>< ⎪
⎝
⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（ ） A ．54
π
-
B ．
54
π C ．－
34
π D ．
34
π 6．在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等边三角形
7．已知函数()(0,0)y sin x ωθθ
πω=+<为偶函数，其图象与直线1y =的某两个交点
横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（ ） A ．2,2
π
ωθ==
B ．1,22
=
=πωθ C ．1,24
=
=π
ωθ D ．2,4
==
π
ωθ
8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则
c 的最大值是( )
A ．1
B ．2
C ．
D ．
9．若02
πα<<
，02π
β-
<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，则cos 2βα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭等于（ ）
A ．
33
B ．33
-
C ．
53
9
D ．69
-
10．函数()0,0,2
()(||)f x Asin x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()
f x 的解析式为（ ）．
A ．()2sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()2sin 12f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
11．如图，在ABC ∆中，23AD AC =
，1
3
BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
12．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6
x π
=对称
B ．()f x 的最大值为2
C ．()f x 的最小值为1-
D ．()f x 的图象关于点(,0)12
π
-
对称
13．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(22)CA αα=，则向量
OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．
A ．π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．π5π,
412⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．5ππ,122⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ D ．π5π,1212⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦
14．已知tan 24πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
,则sin 2α=（ ） A ．
310 B ．
35
C ．65
-
D ．125
-
15．已知函数()sin(2)3
f x x π
=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数
()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
12
π
B ．
512
π C ．
6
π D ．
56
π 二、填空题
16．已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k =__________． 17．设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且a b ⊥，则x = __________． 18．函数()1sin cos 533f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=
++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最大值为________________. 19．已知θ为钝角，1
sin()43
π
θ+=，则cos2θ=______. 20．已知1tan 43
πα⎛
⎫
-
=- ⎪⎝
⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________. 21．向量,a b 的夹角为60︒，且2,1a b ==则(2)a a b ⋅+=__________.
22．实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，则2x 的最大值______．
23．已知1cos()63
π
α+
=，则5sin(2)6π
α+=________．
24．已知向量(,)a m n =，向量(,)b p q =，（其中m ，n ，p ，q ∈Z ）．
定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)b =，则a b ⊗=__________； 若(5,0)a b ⊗=，则a =__________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．
25．已知A ，B ，C 是圆O 上的三点(点O 为圆的圆心），若1
()2
AO AB AC =
+，则AB 与AC 的夹角为______. 三、解答题
26．
已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域
27．已知函数π
()sin()(0,0,)2
f x A x B A ωϕωϕ=++>><
的部分图象如图所示：
（I ）求()f x 的解析式及对称中心坐标； （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移
6
π
个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数()g x 的图象,求函数()y g x =在7π0,6x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的单调区间及最值．
28．已知平面上三个向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ,的模均为1，它们相互之间的夹角均为1200．
（I ）求证：(a ⃗ −b
⃗ )⊥c ⃗ ； （II ）若|ka ⃗ +b ⃗ +c |>1 (k ∈R)，求k 的取值范围．
29．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量
(sin ,sin sin )A B C =-m ，n =(3,)a b b c +，且m n ⊥．
（1）求角C 的值；
（2）若ABC 为锐角三角形，且1c =3a b -的取值范围．
30．平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OC =（其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点. （1）若//PA PB ，求OP 的坐标；
（2）当PA PB ⋅取最小值时，求cos APB ∠的值.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．A
2．C
3．C
4．B
5．B
6．C
7．A
8．C
9．C
10．D
11．B
12．A
13．D
14．B
15．B
二、填空题
16．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程解方程即可求得实数k的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条
17．【解析】因为所以故答案为
18．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就
19．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；
20．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答
案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
21．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
22．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
23．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择
24．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；
25．【解析】在圆中若=(+)即=+即+的和向量是过AO的直径则以ABAC为邻边的四边形是矩形则⊥即与的夹角为90°故答案为：90°
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
先化简()
0a a b ⋅-=得2
=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =
，最后求a b -与b 的夹
角. 【详解】
因为()
0a a b ⋅-=，所以22
0=a a b a a b -⋅=∴⋅，，
因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =
，
设a b -与b 的夹角为θ，
则()2
cos a b b a b b a b b
a b
θ-⋅⋅-=
==-22
2
22
2||
a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．C
解析：C 【解析】
分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围． 详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛
⎫=++≤
⎪⎝
⎭，ππ,612x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，324
x π
π
ϕϕϕ+∈-
++（，），
又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，
222333304
2cos x cos x π
πϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，
解得04
π
ϕ≤≤
；
∴ϕ的取值范围是π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
．
故选C ．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由两角和的正切公式得出3
sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55
αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】
1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛
⎫+== ⎪-⎝⎭
3tan 4
α∴=-，即3
sin cos 4αα=-
由平方关系得出2
23cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，解得：43cos ,sin 55αα=-=
341
sin cos 555
αα+=
-=- 故选：C 【点睛】
本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin
06π>，5cos 06
π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知
5sin cos
6x π==x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
由点P,Q 两点可以求出函数的周期，进而求出ω，再将点P 或点Q 的坐标代入，求得ϕ，即求出ωϕ-． 【详解】 因为512244π
ω⎛⎫-=
⎪⎝⎭，所以ωπ=，把1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的坐标代入方程()cos y x πϕ=+，得 ()24
k k Z ϕππ
=-
+∈，因为2
π
ϕ<
，所以5,4
4
π
π
ϕωϕ=-
-=
，故选B ． 【点睛】
本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据三角形内角和及两角和的正弦公式化简，利用三角函数性质求解. 【详解】
在ABC ∆中,由()sin 2sin cos C B C B =+可得sin()2sin cos A B A B +=,化简
sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=,即in 0()s A B -=，由0,0A B ππ<<<<知
A B ππ-<-<，所以0A B -=,故选C.
【点睛】
本题考查了三角形中内角和定理及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题.解题的关键是对三角恒等式的变形.
7．A
解析：A 【解析】
分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.
详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2
π
θ=
，因为函数
sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所
以其周期为T π=，即
2=π
πω
，所以=2ω，故选A.
点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由于
垂直，不妨设
，
，
，则
，
，
表示
到原点的距离，表示圆心
，
为半径的圆，因此
的最大值
，故答案为
C ．
考点：平面向量数量积的运算．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
与sin 42πβ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】
02
π
α<<，34
44π
π
πα∴
<+
<
，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛
⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 02
π
β-
<<，则
4
4
2
2
π
π
β
π
<
-
<
，所以，26sin 1cos 42423
πβπβ⎛⎫⎛⎫
-=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+
=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+-++-=+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】
本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．
解析：D 【解析】 【分析】
根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512
x π
=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】
由题意可知52,4,212()6
A T ππ
πω==-==， 因为:当512
x π
=
时取得最大值2， 所以:5222)2
(1sin π
ϕ=⨯+， 所以:522,Z 122
k k ππ
ϕπ⨯
+=+∈， 解得:2,Z 3
k k π
ϕπ=-∈，
因为:||2
ϕπ
<
， 所以:可得3
π
ϕ=-
，
可得函数()f x 的解析式:()(2)23
f x sin x π
=-．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
11．B
解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =
∴=121
()393
AD AB AC AB -=- ∴22
39
AP AB BP AB AC =+=
+ 又AP AB AC λμ=+，∴2
2,,339λ
λμμ
=== 故选B.
12．A
【解析】
【分析】
利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
【详解】
由题意，函数
2
111
()cos cos2cos2sin(2)
22262
f x x x x x x x
π
=+=++=++，
当
6
x
π
=时，
113
()sin(2)sin
6662222
f
ππππ
=⨯++=+=，所以
6
x
π
=函数()
f x的对称轴，故A正确；
由sin(2)[1,1]
6
x
π
+∈-，所以函数()
f x的最大值为
3
2
，最小值为
1
2
-，所以B、C不正确；
又由
12
x
π
=
时，
11
()sin(2)
612622
f
πππ
=⨯++=+，所以(,0)
12
π
-不是函数()
f x的对称中心，故D不正确，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()
y A wx b
ϕ
=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13．D
解析：D
【解析】
不妨设(0,0)
O
∵(2,2)
OC =
，(2)
CAαα
=．
∴(2,2)
C、(2,2)
Aαα
+
．
∴点A在以(2,2)的圆上．
∴OA与OB的夹角为直线OA的倾斜角．
设:
OA
l
y kx
=
∴d r
=≤=
即241
k k
-+
≤，则[22
k∈-+．
又∵
π
2tan
12
=，
5
2tan π
12
+=．
∴OA、
OB夹角[22
θ∈．
故选D ．
14．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααα
αααα==++即可求解. 【详解】
由题：tan 24πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，
tan 1
21tan αα
+=--，解得tan 3α=，
222
2sin cos 2tan 63
sin 2sin cos tan 1105
ααααααα=
===++. 故选：B 【点睛】
此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】
由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x π
ϕ-+=±，
从而求min 512
πϕ=. 【详解】
由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x π
π
ϕϕ=-+=-+， 因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，
所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13
π
ϕ-+=±，
所以2,3
2
k k Z π
π
ϕπ-+
=+
∈，解得：1,22
k k Z ππ
ϕ=-
-∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512
π
ϕ=，故选B. 【点睛】
平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3
g x x x π
ϕ=+-.
二、填空题
16．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程解方程即可求得实数k 的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条 解析：-1 【解析】 【分析】
由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程即可求得实数k 的值. 【详解】
由平面向量的坐标运算可得：()()()21,123,26,4ka b k k k -=--=+-，
2ka b -与a 垂直，则()
20ka b a -⋅=，
即：()()61410k k +⨯+-⨯=，解得：1k =-. 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．【解析】因为所以故答案为
解析：23
- 【解析】
因为a b ⊥，所以()20,210,3a b x x x ⋅=++=∴=-
，故答案为23
-. 18．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就
.
【解析】 【分析】
先利用两角和与差的正弦、余弦公式将函数()y f x =的解析式展开，合并同类项后利用辅助角公式进行化简，即可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】
(
)1111sin cos sin cos cos 53352222f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
()x x x ϕ==+，
其中tan ϕ==，
因此，函数()y f x =
，
.
【点睛】
本题考查三角函数的最值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，同时也考查了三角函数的基本性质，考查计算能力和转化思想，属于中等题.
19．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；
解析：9
-
【解析】 【分析】 将2θ改写成2()4
2
π
π
θ+-
的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.
【详解】
因为cos2cos[2()]sin[2()]424π
ππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44
ππ
θθθ=++； 因为1
sin()04
3π
θ+
=
>且θ为钝角，所以()4
πθ+
是第二象限角，则cos()43πθ+==-
，故cos 22sin()cos()449
ππθθθ=++=-. 【点睛】
（1）常见的二倍角公式：
sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；
（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，
2()()βαβαβ=+--.
20．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
解析：3
5
【解析】 【分析】
先根据已知求出tan α，最后化简2
sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解.
【详解】 由题得
tan 111
,tan 1+tan 32
ααα-=-∴=.
由题得22
2
22sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα
--+
=2
2
11
tan tan 3
421tan 1514
ααα++==++. 故答案为3
5
【点睛】
本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
解析：6 【解析】 【分析】
由题意，利用向量的数量积的运算，可得2
(2)2a a b a a b ⋅+=+⋅，即可求解. 【详解】
由题意，可知向量,a b 的夹角为060，且2,1a b ==
则2
2
1
(2)22cos60422162
a a
b a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公
式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
22．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
解析：【解析】
分析：根据题意，设2cos x θ=，y θ=，则有24cos 3sin x θθ+=+，进而分
析可得()25sin x θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．
详解：根据题意，实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
设2cos x θ=，y θ=，
则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 又由()15sin 1θα-≤+≤，
则525x -≤≤，
即2x +的最大值5； 故答案为：5．
点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．
23．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择 解析：7
9
-
【解析】
分析：由题意，利用目标角和已知角之间的关系，现利用诱导公式，在结合二倍角公式，即可求解． 详解：由题意
25sin(
2)sin(2)cos(2)cos[2()]2cos ()1623366
ππππππ
ααααα+=++=+=+=+-， 又由1
cos()63
π
α+=， 所以22517sin(
2)2cos ()12()16639
ππαα+=+-=⨯-=-． 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系，合理选择三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
24．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案
为；
解析：(0,5) (2,1) (2,1)- 【解析】
（1）令1m =，2n =，2p =，1q =，∴0mp nq -=，5mq np +=,
(0,5)a b ⊗=．
（2）∵(5,0)a b =⊗，∴5
0mp nq mq np -=⎧⎨
+=⎩
，①又∵5a <，5b <，
∴2222
25
25
m n p q ⎧+<⎨+<⎩，∴m ，n ，p ，q ∈Z ，∴2m =，1n =，2p =，1q =-是方程组①的一组解，∴(2,1)a =，(2,1)b =-．
故答案为()0,5? ，(2,1)a =；(2,1)b =-.
25．【解析】在圆中若=(+)即=+即+的和向量是过AO 的直径则以ABAC 为邻边的四边形是矩形则⊥即与的夹角为90°故答案为：90° 解析：90︒
【解析】 在圆中若AO =
1
2
(AB +AC )， 即2AO =AB +AC ，
即AB +AC 的和向量是过A ，O 的直径， 则以AB ，AC 为邻边的四边形是矩形， 则AC ⊥AB ，
即AB 与AC 的夹角为90°， 故答案为：90°
三、解答题 26．
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）函数()f x 在区间[,]122ππ
-上的值域为[ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简函数()f x ，由周期公式以及正弦函数的对称轴求解即可；
（Ⅱ）由正弦函数的单调性求得函数函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
的单调性，比较
(),()122
f f ππ
-
的大小，即可得出值域.
【详解】 （Ⅰ）
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )22
x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 2x x x x =
++-
1cos 22cos 22x x x =
- πsin(2)6
x =-
22
T π
π∴=
= 26
2
3
2
k x k x π
π
π
ππ-
=
+⇒=
+
则对称轴方程为,3
2
k x k Z π
π
=+
∈ （Ⅱ）
5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32
ππ上单调递减，
所以 当3
x π
=时，()f x 取最大值 1
又
1()()12
22
f f π
π-
=<=，∴当12x π=-时，()f x 取最小值
所以 函数()f x 在区间[,]122ππ
-上的值域为[ 【点睛】
本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式，正弦函数的性质，求正弦型函数的值域，属于中档题.
27．
(Ⅰ) ()2sin(2)13f x x π
=+-；对称中心的坐标为,126k ππ⎛⎫
--
⎪⎝⎭
(k Z ∈) (Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】
（I ）先根据图像得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,A B 的值，根据周期求得ω的值，根据图像上(
)112
f π
=求得ϕ的值，由此求得()f x 的解析式，进而求得()
f x
的对称中心.（II ）求得图像变换之后的解析式()2sin g x x =，通过求出()g x 的单调区间求得()g x 在区间7π0,6⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 【详解】
解：（I ）由图像可知：1
3
A B A B +=⎧⎨-+=-⎩,可得：2,1A B ==-
又由于
721212
T ππ=-,可得：T π=,所以22T πω==
由图像知()112
f π
=,sin(2)112
π
ϕ⨯
+=,又因为23
6
3
π
π
π
ϕ-
<
+<
所以2122π
π
ϕ⨯
+=
,3π
ϕ=
.所以()2sin(2)13
f x x π
=+
-
令23x k ππ+=(k Z ∈),得：26
k x ππ
=
-(k Z ∈) 所以()f x 的对称中心的坐标为,126k ππ⎛⎫
--
⎪⎝⎭
(k Z ∈) （II ）由已知的图像变换过程可得：()2sin g x x = 由()2sin g x x =的图像知函数在7π0,
6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
, 单调减区间7,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
当2
x π=
时,()g x 取得最大值2；当76
x π
=
时,()g x 取得最小值1-． 【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数对称中心的求法，考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调性和最值的求法，属于中档题.
28．
（Ⅰ）证明见解析；（II ）k >2或k <0 【解析】 【分析】 【详解】
（I ）因为向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ,的模均为1，
它们相互之间的夹角均为1200 ∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ −b ⃗ ⋅c ⃗ =0， (a ⃗ −b
⃗ )⊥c ⃗ . (II) 不等式|ka ⃗ +b ⃗ +c |>1⇔|ka ⃗ +b ⃗ +c |2
>1
⇔k 2a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2+2ka ⃗ ⋅b
⃗ +2ka ⃗ ⋅c ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ >1
∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|c |=1,且a ⃗ ,b ⃗ ,c ,的夹角均为120°,
∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=c 2=1,a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c =a ⃗ ⋅c =−12
,∴k 2−2k >0,∴k >2或k <0.
29．
（1）6C π=
；（2
） 【解析】
【分析】
（1
）根据()sin ()(sin sin )0m n a A b c B C
⋅=-++-=和正弦定理余弦定理求得6C π
=.(2)先利用正弦定理求出R=1,b -
化成2sin()6A π
-，再利用三角函数的图
像和性质求解.
【详解】
（1）因为m n ⊥，所以()sin ()(sin sin )0m
n a A b c B C ⋅=-++-=，
由正弦定理化角为边可得2220a b c +-=，
即222a b c +-=，由余弦定理可得cos C =
，又0C π<<，所以6C π=． （2）由（1）可得56A B π+=
，设ABC 的外接圆的半径为R ， 因为6C π=
，1
c =，所以1
22sin sin30c
R C =
==
︒， 则52sin 2sin 2sin )2sin()]6b R A R B R A B R A A π-=-=-=--= 2sin()2sin()66R A A ππ
-=-， 因为ABC 为锐角三角形，所以025062A A πππ
⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，即32A ππ<<
， 所以663
A π
π
π
<-<
，所以1sin()262A π<-<，
所以1
2sin()6A π<-
<b -的取值范围为．
【点睛】 (1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性
质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数sin()y A wx h φ=++的最值.
30．
（1）481717,⎛⎫ ⎪⎝⎭（2） 【解析】
【分析】
先由题意，设(2,)=OP x x ，得到(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ， （1）根据//PA PB ，得到(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ，求出x ，即可得出结果； （2）先由题意，得到25(2)8⋅=--PA PB x ，得到当2x =时，PA PB ⋅取最小值，求出(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，再由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】
因为点P 是直线OC 上的一个动点，(2,1)OC =，
所以可设(2,)=OP x x ，因为(1,7)OA =，(5,1)OB =，
所以(12,7)=-=--PA OA OP x x ，(52,1)=-=--PB OB OP x x ，
（1）因为//PA PB ，所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ， 解得178=x ，所以1717,48⎛⎫= ⎪⎝⎭
OP ； （2）因为(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ，
所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--PA PB x x x x x x x ， 显然，当2x =时，PA PB ⋅取最小值，
此时(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，
所以cos 9⋅∠=
==⋅PA PB APB PA PB 【点睛】
本题主要考查由向量共线求参数的问题，以及求向量的夹角的问题，熟记向量共线的坐标表示，以及向量数量积的运算与夹角公式即可，属于常考题型.。