江西省高三数学上学期加练二 文

江西省信丰中学2021届高三数学上学期加练二 文
一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕
1．全集U R =，集合{|20}A x x =-≤，2{|log 2}B x x =<，那么()(U
A B ⋂=)
A ．{|2}x x ≤
B ．{|0x x ≤或2}x >
C ．{|02}x x <≤
D ．{|2x x <或4}x ≥
2．以下说法正确的选项是〔 〕
A ．命题“假设21x =，那么1x ≠〞的否命题是“假设21x =，那么1x =〞
B ．命题“0x R ∃∈，2
000x x -＜〞的否认是“x R ∀∈，20x x -＞〞 C ．“()y f x =在0x 处有极值〞是“0()0f x '=〞的充要条件
D ．命题“假设函数2()1f x x ax =-+有零点，那么“2a ≥或2a ≤-〞的逆否命题为真命题
3．,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的的对边，假设cos c
A b
<，那么ABC ∆的形状为〔 〕 A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
4．函数()2
f x ax bx c =++，假设最新x 的不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么〔 〕 A ．()()()401f f f >> B ．()()()104f f f >> C ．()()()014f f f >>
D ．()()()140f f f >>
5．函数()cos2f x x x =-的图象向左平移
3
π
个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数()g x 的图象，那么()g x 在以下区间上为单调递增的区间是〔〕 A ．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．,26ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ C ．0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．2,63ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
6．假设02
π
α<<，02π
β-
<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，那么cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于〔 〕
A B ．C D ．-
7．(0x y a a -=>且1a ≠〕是增函数，那么函数1
()log 1
a
f x x =+的图象大致是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
8．直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，那么m 的值为〔 〕 A ．0
B ．2
C ．1
D ．3
9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()[]()110,1f x f x x f x +=-∈=，且当时，2x m -，那么()2019f =( ) A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
10．假设函数()423x x f x m m =-⋅++有两个不同的零点12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(2,)x ∈+∞,那么实数m 的取值范围为( ) A.(,2)-∞-
B.(,2)(6,)-∞-⋃+∞
C.(7,)+∞
D.(,3)-∞-
11．函数()2log f x x =，当0m n <<时，()()f m f n =，假设()f x 在2
,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大
值为2，那么n
m
=( )A ．2
B ．5
2
C ．3
D ．4
12．设函数[]()2sin ,0,x
f x ae x x π=-∈有且仅有一个零点，那么实数a 的值为〔〕 A 42e π
B 42e π
-
C 22e π
D 22e π
-
二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕
13．向量()2,3a =，()1,4b =-，m a b λ=-，2n a b =-，假设//m n ，那么λ=_______. 14．命题“0x R ∃∈，使()2
00110m x mx m +-+-≤〞是假命题，那么实数m 的取值范围为
__________.
15．一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M 原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，那么灯塔和轮船原来的距离是_____海里。

16．在ABC △中，是,,a b c 角A ，B ，C 的对边，己知,73
A a π
==，现有以下判断：
①ABC △的外接圆面积是
49
3
π；②cos cos 7b C c B +=；③b c +可能等于16；④作A 最
新BC 的对称点A '，那么||AA '的最大值是请将所有正确的判断序号填在横线上________. 三、解答题〔本大题共6小题，共70分〕
17．p ：函数f 〔x 〕＝ln 〔x 2
﹣ax +3〕的定义城为R ，q ：指数函数g 〔x 〕＝〔a ﹣1〕x
在实数域内为减函数；假设￢p ∨q 为假命题，求实数a 的取值范围．
18．,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C 的对边，且满足
()(sin sin )()sin a b A B c b C +⋅-=-⋅．
〔1〕求角A 的大小； (2〕当2a =时，求△ABC 面积的最大值．
19．函数()2ln b f x ax x x
=-+在1x =与1
2x =处都取得极值
〔1〕求a 、b 的值；
〔2〕假设对任意1,14x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，()f x c <恒成立，求实数c 的取值范围.
20．函数()()cos sin 1032f x x x ππωωω⎛⎫
⎛
⎫=-
-++> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭正周期为π.
(1)当,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最大值与最小值： (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，假设()2
2
2
2,25f A b a c ==-，求sinC ．
21．某小型机械厂有工人共100名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产x 台机器，除工
人工资外，还需投入本钱为()C x (万元)，()2
110,0703
10000511450,70150x x x C x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩
且每台
机器售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完． 〔1〕写出年利润()L x 〔万元〕最新年产量x 的函数解析式； 〔2〕问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？
22．函数()2
ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．
〔1〕假设()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； 〔2〕假设函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：121
2x x a
+>．
2021学年高三上学期数学加练二〔文〕参考答案
一、选择题 BDABA CDBBC DB
二、填空题 13．12 14．m > 15．1) 16．①②④ 三、解答题
17．当p 为真命题时，函数()()
2
ln 3f x x ax =-+的定义域为R ，
那么230x ax -+>恒成立，即2120a ∆=-<，从而a -< 条件p q ⌝∨为假命题可知p 真q 假， 当q 为假命题时有11a ->即2a >
从而当p 真q 假有2a a ⎧-<<⎪
⎨
>⎪⎩
2a <<故(2,a ∈
18．〔1〕由正弦定理()()()sin sin sin a b A B c b C +⋅-=-⋅可得
()()()a b a b c b c +-=-，化简即为222b c a bc +-=，
从而2221
cos 22
b c a A bc +-==，所以3A π=．
〔2〕由2a =，根据余弦定理可得224b c bc bc =+-≥，
当且仅当b c =时，取等号；故1
sin 2
ABC S bc A ∆=≤ 此时△ABC 是边长为2的正三角形．
19．〔1〕由题可知：21
()2b f x a x x '
=+
+，∵函数()f x 在1x =，12
x =处取得极值，
(1)0f '
∴=，
1()02f '=，2102420
a b a b ++=⎧∴⎨++=⎩即1
3a b ==-. 〔2〕由〔1〕可得21
()ln 33f x x x x
=-++， 令2211()033f x x x =-
-+>'，(21)(1)0x x ∴--->，(21)(1
)0x x --<），1
12
x ∴<<， 即：()f x 在1(,1)2单调递增，在1(0,),(1,)2
+∞单调递减，又∵1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
()f x ∴在11,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增，17()ln 446f ∴=-，1(1)3f =-，
又∵19()(1)ln 4046f f -=
->，max 17
()()ln 446
f x f ∴==-， ∴要使对任意1,14x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，()f x c <恒成立，那么7ln 46c >-.
20．〔1〕()cos()sin()13
2f x x x π
π
ωω=-
-+
+1cos cos 122
x x x ωωω=+-+
1
cos 12
x x ωω=
-+sin()16x πω=-+
因为()f x 的最小正周期为π，所以
2=π
πω
，可得2ω=， 故()sin(2)16
f x x π
=-
+，当[,]42
x ππ
∈时，52[,]636x πππ-∈， 所以当226x ππ-=时，()f x 最大值为2，当5266x ππ-=时，()f x 最小值为3
2
.
〔2〕由()2f A =可得，sin(2)16
A π
-=，
因为11(0,),2(,)6
66
A A π
ππ
π∈-
∈-
，所以26
2
A π
π
-
=
，3
A π
=
, 由余弦定理知，2222cos b c a bc A bc +-==，又22225b a c =-， 可得22320c bc b +-=，解得3b c =
，a =， 由正弦定理知，
sin sin a c A C =
，sin C ==. 21．〔1〕依题意有()2
140400,0703
()50400100001050,70150x x x L x x C x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=--=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
.
〔2〕当070x <<时，221
1()40400(60)80033
L x x x x =-+-=--+
此时60x =时，()L x 取得最大值800万元；
当70150x ≤≤
时，10000()1050( ) 1050850L x x x =-+≤- 当且仅当10000
x x
=
时，即100x =时，()L x 取得最大值850万元． 综上可知当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元．
22．〔1〕()ln 24f x x ax +'=-．
∴()f x 在()0,∞+内单调递减， ∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，
即ln 2
4x a x x ≥
+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，那么()2
1ln x
g x x --'=， ∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
内为增函数；
当1x e >
时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
〔2〕假设函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ， 那么()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ， 由〔I 〕，知e
04
a <<
． 由1122ln 240
ln 240
x ax x ax +-=⎧⎨
+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-．
不妨设120x x <<， ∴要证明1212x x a
+>
，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--． 即证明
()121212
2ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭>+． 令函数
．
∴2
2
(1)'()0(1)
x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减． ∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴
2(1)
ln 1
x x x ->+．
即不等式
1
21
12
2
21
ln
1
x
x x
x x
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭>
+
成立．
综上，得
121 2
x x
a +>．。