高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列知识导航北师大版选修2-3

§1 离散型随机变量及其分布列自主整理1.随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个_____________.2.随机变量的取值能够_____________的随机变量称为离散型随机变量.3.设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…，随机变量X 取a i 的概率为p i (i=1,2，…)，记作p(X=a i )=P i (i=1,2，…)称为__________________________________________________________________________。

并且有①p i _____________0，②p 1+p 2+…=_____________. 如果随机变量X 的分布列如上表，则称随机变量X 服从这一分布(列)，并记为_____________. 高手笔记1.随机变量是将随机试验的结果数量化.2.随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件.3.随机变量X 取每一个值a i 的概率P(X=a i )等于其相应的随机事件A i 发生的概率P(A i ).4.若X 为一个随机变量，则Y=aX+b(a,b 为常数)也为随机变量.5.离散型随机变量的分布列中第一行表述了随机变量X 的所有可能的取值,在这里要注意按一定的次序来填写；第二行表述了随机变量X 取相应上行中数值a i 的概率的大小p i =P(X=a i )，i=1,2，… 6.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于其在这个范围内取每一个值的概率之和.7.离散型随机变量的分布列不仅清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究随机试验数量特征的基础. 名师解惑1.随机变量与以前学过的变量有什么区别与联系？剖析：随机变量作为一个变量，当然有它的取值范围，这和以前学过的变量一样.不仅如此，还有它取每个值的可能性的大小，如：从装有无差别的6只黑球、4只白球的袋中，随机抽取3只球，所得的白球个数是一随机变量X ，其取值为X=0，1，2，3；而取每个值的可能性的大小，可通过其相应的随机事件发生的大小——即其概率来反映.即“若X=2”，对应事件A 2：“取出的3只球中恰有两只白球”，其概率：P(A 2)=.1031238910123463102416=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C C 若“X=3”对应事件A 3：“取出的3只球中恰有三只白球”的概率：P(A 3)=.101123891012323431034=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=CC所以随机变量X=2的可能性大小为103，而X=3的可能性大小为301. 综上，随机变量X 不仅有它的取值范围{x 1，x 2，…，x n ，…}，而且还有取每个值的可能性大小——概率P(X=x i )，i=1,2，…，n ，…，这是与通常的变量所不同的. 2.常见的离散型随机变量的分布列有哪些？ 剖析：(1)单点分布：它的分布列为其中0<P<1，且p+q=1.(3)超几何分布：P(X=k)=nNk n MN k M C C C --•(其中k 为非负整数) 称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布.(4)二项分布：P(X=k)=C kn p k(1-p)n-k(k=0，1,2，…，n)称X 服从参数为n ，p 的二项分布. 3.求离散型随机变量的分布列的步骤?剖析：首先，明确随机变量的所有可能取值； 其次，求出与这些可能取值等价的事件的概率； 最后，在确定概率和为1后，按要求写出分布列. 讲练互动【例1】将一枚均匀硬币抛掷一次，试指出下列四种描述中，哪个是描述此随机试验的随机变量X ，并求出X 的分布列. (1)出现正面的次数；(2)出现正面或反面的次数； (3)掷硬币的次数；(4)出现正反面的次数之和.分析：解决本题的关键是判断随机变量，确定X 的取值.在一个随机试验中，用来描述此随机试验的随机变量有多种形式，但不论选哪一种形式，它对应的都是随机试验所有可能的结果.由于某些随机试验结果的属性不同，结果的数量化本身就是多样的，如正面向上取1反面向上取0.同时随机试验可能出现的结果的确认标准应该是一个，如掷硬币这样的随机试验可能的结果，一个标准是正面向上的次数，或者是反面向上的次数，但不论以正面向上还是以反面向上，只能取一种划分方法，如出现正面的次数，这时X 的取值为0、1.解：掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量X ，X 的取值是0、1，故(1)是；而(2)中标准模糊不清；(3)中掷硬币次数就是1，不是随机变量；(4)中出现正面和反面次数之和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量.事件发生用1表示，则不发生用0表示，其事件发生的次数就是一个随机变量，这个随机变量的分布列便是二点分布列. 变式训练1．将一颗骰子掷2次，求下列随机变量的分布列. (1)两次掷出的最大点数；(2)第一次掷出点数减去第二次掷出点数的差. 解：(1)分布列如下：以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列.分析：随机取出3个球的最大号码X 所有可能取值为3,4，5,6. “X=3”对应事件“取出的3个球，编号为1,2，3”；“X=4”对应事件“取出的3个球中”恰取到4号球和1,2，3号球中的2个；“X=5”对应事件“取出的3个球中”恰取到5号球和1,2，3,4号球中的2个；“X=6”对应事件“取出的3个球中”恰取到6号球及1,2，3,4，5号球中的2个，而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来求解，从而获得X 的分布列.解：随机变量X 的取值为3,4，5,6.从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为36C ，事件“X=3”包含的基本事件总数为C 33，事件“X=4”包含的基本事件总数为11C 23C ；事件“X=5”包含的基本事件总数为11C 23C ；事件“X=5”包含的基本事件总数为11C C 24；事件“X=6”包含的基本事件总数为11C C 25；从而有P(X=3)=2013633=C C ；P(X=4)=;203362311=C C C P(X=5)=362411C C C =103； P(X=6)=362511C C C =21.∴随机变量X 的分布列为：绿色通道:确定离散型随机变量X 的分布列的关键是要搞清X 取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列组合知识求出X 取每个值的概率.. 变式训练2．一批零件有9个合格品，3个不合格品，安装机器时，从中任取一个，若取出不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.解：设在取得合格品以前取出的不合格品数记为X ，则X 是一个随机变量，且其取值为0,1，2,3，“X=0”表示从12个零件中取出一件，取到合格品，其概率P(X=0)=11219C C =43129=，“X=1”表示从12个零件中取2件，第一次取到不合格品，第二次取到合格品，其概率P(X=1)=2121913C C C =.449111293=⨯⨯ 同理，P(X=2)=22091011129233121923=⨯⨯⨯⨯=C C C ， P(X=3)=2201910111291236121933=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C C ，则分布列为：【例3】设随机变量X 的分布列为P(X=i)=10(i=1,2，3,4)，求：(1)P(X=1或X=2)； (2)P(21<X<27)； (3)函数F(x)=P(X<x)，若P(X<x)=52，求x 的最大值. 分析：利用分布列的性质p 1+p 2+…=1解题.解：(1)P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)=101+102=103=0.3. (2)P(21<X<27)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=101+102+103=0.6.(3)F(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤<≤.4,1,43,106,32,103,21,101,1,0x x x x k由上可知P(X<x)=52时，3<x≤4， ∴x 的最大值为4. 绿色通道:已知分布列时，可求分布函数F(x)，由本题可知离散型随机变量的分布函数是分段函数. 变式训练(2)求P(X>-1).解：(1)因为离散型随机变量的分布列满足： ①p i ≥0，i=1,2，... ②p 1+p 2+ (1)所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q q解得q=1-21.(2)P(X>-1)=P(X=0)+P(X=1)=2-1+2-2=2,或者P(X>-1)=1-P(X=-1)=1-2=2.【例4】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次若取出的是黑球则不再放回，直到取出白球为止，求取球次数的概率分布列.分析：先考虑取球次数这一随机变量的可能取值，然后求出每一种取值的概率，最后写出分布列.解：由题意得取球次数X 是一随机变量.若每次取出黑球不再放回，所以X 的可能取值为1,2，3,4，5，“X=1”表示“从中取出一个球，取到白球”，则P(X=1)=51114=C .“X=2”表示“从中取两个球，第一次取到黑球，第二次取到白球”，则P(X=2)=2514C C ==⨯45451，同理P(X=3)=3524C C =51，P(X=4)=4534C C =51，P(X=5)=5544C C =51.所以若每次取出黑球不再放回，取球次数X 的分布列为：绿色通道:本题的关键是求随机变量X 取每一个可能值时的概率.也可以这样解：P(X=1)=51；P(X=2)=54×41=51；P(X=3)= 54×43×31=51；P(X=4)=54×43×32×21=51；P(X=5)= 54×43×32×21×11=51. 变式训练4．某射手有5发子弹，射击一次命中概率是0.9，如果命中就停止射击，求耗用子弹数的分布列.分析：只要确定了X 取哪些值以及各值代表的随机事件的概率即可.解：X 的取值只有1,2，3,4，5，当X=1时，P(X=1)=0.9，当X=2时，要求第一次没射中，第二次射中，故P(X=2)=0.1×0.9=0.09，同理，当X=3时，要求前两次没有射中，第三次射中，P(X=3)=0.12×0.9=0.009，类似地，P(X=4)=0.000 9，第5次射击不同，只要前4次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以P(X=5)=0.14=0.000 1，所以分布列。