(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试卷(含答案解析)(3)

一、选择题
1．如图，在Rt ABC 中，90ACB D ∠=︒,是AB 边的中点，AF CD ⊥于点E ，交BC 边于点F ，连接DF ，则图中与ACE △相似的三角形共有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2．点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB AB AC =＝k ，那么k 的值为（ ） A ．51+ B ．51- C ．5＋1 D ．5－1 3．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H ．有下列结论：①2BE AE =；②DFP BPH ∽△△；③PFD PDB ∽△△；④2DP PH PC =⋅．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．下列说法中，正确的说法有（ ）
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②一元二次方程2340x x --=的根是14x =，21x =-；
③两个相似三角形的周长的比为
23，则它们的面积的比为49
； ④对角线互相垂直的平行四边形为正方形；
⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
5．如图，已知,//,//ABC DF BC DE AC △，四边形DECF 的面积为12,若DE 经过ABC 的重心，则ABC 的面积为（ ）
A ．25
B ．26
C ．27
D ．28
6．点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB <BC ．若AC=4，则BC 的长为（ ） A ．252+ B ．252- C ．512- D ．51- 7．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①2BE AE =；②DFP BPH ∽△△；③PFD PDB ∽△△；④2DP PH PC =⋅．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②④ 8．如图，点D 、
E 、
F 分别是ABC 的边AB 、AC 、BC 上的点，若//DE BC ，//EF AB ，则下列比例式一定成立的是（ ）
A ．EF FC AD BF =
B ．AD DE DB B
C = C ．BF EF BC A
D = D ．EF D
E AB BC = 9．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE （ABC ∠和AED ∠是直角），连接,BE CD 交于点,P CD 与AE 边交于点M ，对于下列结论：①BAE CAD △△，②45BPC ∠=︒，③MP MD MA ME ⋅=⋅，④22CB CP CM =⋅，其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，梯形ABCD中，AC交BD于点O，已知AD∥BC，AD=2，BC=4，S△AOD=1，则梯形ABCD的面积为（）
A．9 B．8 C．7 D．6
11．如图，在正方形ABCD中，4
AB=，M是边BC的中点，连接AM，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当的长度为半径作弧，交线段AM于E，F两点；②分别以点
E，F为圆心，大于1
2
EF的长为半径作弧，两弧交于点G；③连接DG，交AM于点P，
则DP的长为（）
A．3 B．45
3
C．
35
2
D．
85
5
12．如图，在ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC．下列比例式中，正确的是（）
A．AD DE
BD BC
=B．
DF DE
AC BC
=C．
AD DE
AB BC
=D．
AE BF
EC FC
=
二、填空题
13．已知
3
5
a
b
=，则
a
a b
+
的值为______．
14．如图，点P是ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作//
DF BC，交AB于点F，若ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为________．
15．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．
16．如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH 拼成；正方形EFGH 是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL 拼成；正方形ABCD ，EFGH ，IJKL 的面积分别为S 1，S 2，S 3，分别连结AK ，BL ，CI ，DJ 并延长构成四边形MNOP ，它的面积为m ．①请用等式表示S 1，S 2，S 3之间的数量关系为：_____；②m ＝_____（用含S 1，S 3的代数式表示m ）．
17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，且:2:1CE BE =，AC 与DE 相交于点F ；若9AFD S =，则CFE S =___________．
18．如图，ABC 中，10AB AC ==，16BC =．P 为边BC 上的一个动点，点D 在边AC 上，且始终保持APD B ∠=∠，若PCD 为直角三角形，则线段BP 的长为__________．
19．如图，在ABC 中，////DE FG BC ，ADE 的面积＝梯形DFGE 的面积＝梯形FBCG 的面积，则DE BC
的值为______．
20．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若AD =8，AB =5，则线段PE 的长等于____．
三、解答题
21．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连结EF ，EF 分别交AB ，AD 、
AC 于点G 、点O 、点H ．
（1）求FDC ∠的度数；
（2）若60BAC ︒∠=，4AB =，求NC ；
（3
）设HF k
HE =，AEH △和四边形EDNH 的面积分别为1S 和2S ，求21S S 的最大值． 22．在边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，CF DE ⊥，F 为垂足．求CF 的长．
23．体验：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，点M 在BC 边上，当∠AMD ＝90°时，可知△ABM △MCD （不要求证明）．
探究：如图2，在四边形ABCD 中，点M 在BC 上，当∠B ＝∠C ＝∠AMD 时，求证：△ABM ∽△MCD ．
拓展：如图3，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若∠B ＝∠C ＝∠DME ＝45°，BC ＝82，CE ＝6，求DE 的长．
24．如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，,AE AD EC =与BD 相交于点,G 与AD 相交于点,F AF AB =．
（1）求证：BD EC ⊥；
（2）求:AD AB 的值；
（3）连接AG ，求证：2EG DG AG -=．
25．（1）如图1，矩形ABCD 中，点M 在BC 上，连接AM ，作AMN AMB ∠=∠，点N 在直线AD 上，MN 交CD 于点E ．请找出图1中的一个等腰三角形，并证明结论．
（2）如图2，矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点M 为BC 中点，连接AM ，作AME AMB ∠=∠，ME 交于点E ，求CE 的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC 三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，2)．
（1）请画出ΔABC 关于x 轴对称的ΔA 1B 1C 1；
（2）以点O 为位似中心，相似比为1：2，在y 轴右侧，画出ΔA 1B 1C 1放大后的ΔA 2B 2C 2；
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
利用直角三角形斜边上的高线模型，可判断有2个三角形与ACE △相似，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，传递一组等角，得到第3个三角形.
【详解】
∵∠EAC=∠CAF ，∠AEC=∠ACF ，
∴△ACE ∽△AFC ；
∵∠EAC+∠AFC=90°，∠ECF+∠AFC=90°，
∴∠EAC=∠ECF ，
∵∠AEC=∠CEF ，
∴△ACE ∽△CFE ；
∵90ACB D ∠=︒,是AB 边的中点，
∴DC=DB ，
∴∠ECF=∠EAC=∠B ，
∵∠AEC=∠BCA ，
∴△ACE ∽△BAC ；
共有3个，
故选B.
【点睛】
本题考查了直角三角形的相似，熟练运用三角形相似的判定定理是解题的关键. 2．B
解析：B
【分析】
设AC=1，由题意得AB=k ，BC=2k ，由AC=AB+ BC=1得到关于k 的一元二次方程，解方程即可．
【详解】
设AC=1， ∵BC AB AB AC
==k ，且0k >， ∴AB=k ，BC=2k ，
∵AC=AB+ BC=1，
∴21k k +=，即210k k +-=，
∵1a =，1b =，1c =-，
()224141150b ac =-=-⨯⨯-=>，
∴k =
负值舍去)，
∴12
k =， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
利用直角三角形30度角的性质即可解决①；证明∠FDP=∠PBD ，根据∠DFP=∠BPC ，∠FDP=∠PBD 即可判断②；通过计算证明∠PFD≠∠PDB ，即可判断③；证明
△DPH ∽△CPD 即可判断④．
【详解】
解：∵△BPC 是等边三角形，
∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD 中，
∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE ；故①正确；
∵PC=CD ，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD ，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP ∽△BPH ；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB ，
∴△PFD 与△PDB 不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC ，
∴△DPH ∽△CPD ， ∴DP PH PC DP
=， ∴DP 2=PH•PC ，故④正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
4．C
解析：C
【分析】
根据矩形的判定定理、一元二次方程的解法、
【详解】
解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故①错误；
②一元二次方程x 2-3x -4=0
（x -4）（x +1）=0
x -4=0或x =1=0
x 1=4，x 2=-1，故②正确；
③两个相似三角形的周长的比为
23，则它们的面积的比为22()349=，故③正确； ④对角线相等且互相垂直的平行四边形为正方形，故④错误；
⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法正确．
故选：C
【点睛】 本题考查的是命题的真假判断，掌握矩形的判定定理、一元二次方程的解法、中点四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判断是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
设重心为G ，则2BG GH =，根据三角形相似的判定与性质可得49BDE ABC S S =，19ADF ABC S S =，列出方程组并求解即可．
【详解】 解：∵DE 经过ABC 的重心，设重心为G ，则2BG GH =，
∵//,//DF BC DE AC ，
∴△BDE ∽△BAC ，△ADF ∽△ABC ， ∴
23DE BG BD AC BH AB ===， ∴13
AD AB =， ∴49BDE ABC S S =，19ADF ABC S S =， ∴45BDE ADF DECF S S S =+，18ADF BDE DECF S
S S =+， ∴41251128BDE ADF ADF BED
S S S S ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 解得12BDE S =，3ADF S =，
∴27△ABC S =，
故选：C ．
【点睛】
本题考查重心的性质、相似三角形的判定与性质，得到面积的比例关系是解题的关键． 6．B
解析：B
【分析】
根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=
512AC ，将AC=4代入即可得出BC 的长度． 【详解】
解：∵点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB ＜BC ，
∴BC=512
AC ， ∵AC=4，
∴BC=252．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB
的黄金分割点．其中AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 7．D
解析：D
【分析】
由正方形ABCD ，与BPC △是等边三角形的性质求解，求解30,EBA ∠=︒ 从而可判断①；证明60,PFE BPC ∠=∠=︒ =15,PBH PDF ∠=∠︒ 可判断②；由
15,30,15,60,PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒ 可判断③； 证明
30,PDH PCD ∠=︒=∠ 再证明,PDH PCD ∽ 可得
,DP PH PC PD
=从而可判断 ④． 【详解】 解： 正方形ABCD ， 90,,ABC A BCD ADC CB CD AB ∴∠=∠=∠=∠=︒==
BPC △是等边三角形，
60,PBC PCB BPC ∴∠=︒=∠=∠
906030,EBA ∴∠=︒-︒=︒
2,BE AE ∴= 故①符合题意；
正方形ABCD ，
//,45,AD BC CBD ∴∠=︒
60,PFE PCB ∴∠=∠=︒
60,PFE BPC ∴∠=∠=︒
BPC △是等边三角形，
,PC BC CD ∴==
而906030,PCD ∠=︒-︒=︒
()11803075,2
CDP ∴∠=︒-︒=︒ 907515,PDF ∴∠=︒-︒=︒
由60,45,PBC CBD ∠=︒∠=︒
15,PBH ∴∠=︒
,PBH PDF ∴∠=∠
,BPH DFP ∴∽ 故②符合题意；
15,30,15,60,PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒
,PFD BPD ∴不相似，故③不符合题意；
正方形ABCD ，
45CDB ∴∠=︒，
90451530,PDH PCD ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠
,DPH CPD ∠=∠
,PDH PCD ∴∽
,DP PH PC PD
∴= ∴ 2DP PH PC =⋅，故④符合题意，
综上：符合题意的有：①②④．
故选：.D
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，含30的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】 根据平行可得
EC FC AE BF =，EC BD AE DA =，再根据平行四边形的性质得EF=BD 即可． 【详解】
解：∵//EF AB ， ∴EC FC AE BF
= ∵//DE BC ， ∴
EC BD AE DA =， ∴FC BD BF DA
= ∵//DE BC ，//EF AB ，
∴四边形BFED 是平行四边形，
∴EF=BD, ∴
EF FC AD BF
=, 故选：A ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线列出恰当的比例式，再结合平行四边形性质进行推理．
9．D
解析：D
【分析】
①由等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明PME AMD △△∽即可；④22CB 转化为2AC ，证明ACP ∽△MCA,问题可证；
【详解】 由已知得：2,2AC AB AD AE ==
AC AD AB AE
∴= BAC EAD ∠=∠
BAE CAD ∴∠=∠
BAE CAD ∴∽ 所以①正确；
如图：设BE 与AC 相交于点O
则AOB POC ∠=∠
BAE CAD ∽
45ABE ACD BPC BAC ∴∠=∠∴∠=∠=︒
所以②正确；
BAE CAD ∽
BEA CDA ∴∠=∠
PME AMD ∠=∠
PME AMD ∴∽
MP ME MA MD
∴= MP MD MA ME ⋅=⋅∴
所以③正确；
由③MP MD MA ME ⋅=⋅，PMA DME ∠=∠
PMA EMD ∴△∽
90APD AED ∴∠=∠=︒
18090CAE BAC EAD ∠=︒-∠-∠=︒
CAP CMA ∴∽
2AC CP CM ∴=⋅
2AC =
22CB CP CM ∴=⋅
所以④正确
故选：D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判断，在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明,进而得到答案．
10．A
解析：A
【分析】
先根据AD ∥BC ，得到△AOD ∽△COB ，从而得出△COB 的面积，再根据△AOB 与△COB 等高，从而得出△AOB 的面积，同理得出△DOC 的面积即可得出梯形ABCD 的面积．
【详解】
解：∵AD ∥BC ，
∴△AOD ∽△COB
∵AD =2，BC =4，
∴
12
AD BC = ∴114AOD COB COB S S S == ∴COB S △ =4
∵△AOB 与△COB 等高，
又∵12AO CO = ∴142AOB AOB COB S S S == ∴AOB S =2
同理，DOC S =2
∴ABCD S 梯形=AOD COB AOB DOC S
S S S +++ =1+4+2+2=9．
故选：A ．
【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
11．D
解析：D
【分析】
连接GE ，GF ，DE ，DF ，由题意可证△DEG ≌△DFG(SSS)，得到∠EDP=∠FDP 再证
△DEP ≌△DFP(SAS)，得到∠DPE=∠DPF ，从而可证△APD ∽△MBA ，根据勾股定理求出AM ，由对应边成比例，可以得到DP 的长．
【详解】
解：由尺规作图可知，DP AM ⊥
∴∠DPE=∠DPF=90°
又∵AD ∥BC
∴∠DAM=∠BMA 且∠MBA=90°=∠APD
∴△APD ∽△MBA ，
∵正方形ABCD 中，AB=4 ，M 是边BC 的中点，
∴BM=12
BC=2
且== 又△APD ∽△MBA ， ∴
AD DP AM AB
= ∴
4DP =
∴
5= 故选：D
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定以及勾股定理的运用，解题的关键是根据题意灵活运用全等三角形性质和判定，相似三角形的性质与判定，结合勾股定理，求出线段的长．
12．C
解析：C
【分析】
利用平行线分线段成比例以及相似三角形的性质一一判断即可．
【详解】
解： ∵DE ∥BC ，
∴ADE ABC △△∽， ∴
AD DE AB BC
=，故选项A 错误，选项C 正确， ∵DF ∥AC ， ∴BDF BAC △∽△， ∴BD DF AB AC
=，
∴
DF DE AC BC
≠，故选项B 错误， ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴
AD AE BD EC =，AD FC BD BF =， ∴AE FC EC BF
=，故选项D 错误， ∴故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握相关知识点并能准确判断对应的比例线段．
二、填空题
13．【分析】根据比例的性质求解即可；【详解】∵设∴；故答案是【点睛】本题主要考查了比例的性质准确计算是解题的关键 解析：38
【分析】
根据比例的性质求解即可；
【详解】 ∵
35
a b =， 设3a k =，5b k =， ∴33358
a k a
b k k ==++； 故答案是38
． 【点睛】
本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．
14．16【分析】延长CP 交AB 于G 由CP ：PG=2：1推出CE ：BC=2：3AD ：AC=1：3由△CED ∽△CBA △AFD ∽△ABC 推出
S △CED=×S △ABC=16S △AFD=×S △ABC=4由此即可
解析：16
【分析】
延长CP 交AB 于G ．由CP ：PG =2：1，推出CE ：BC =2：3，AD ：AC =1：3，由
△CED ∽△CBA ，△AFD ∽△ABC ，推出S △CED =
49×S △ABC =16，S △AFD =19
×S △ABC =4，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长CP 交AB 于G ．
∵点P 是△ABC 的重心，
∴CP ：PG =2：1，
∵DE ∥AB ，
∴CE ：BE =2：1，AD ：CD =1：2，
∴CE ：CB =2：3，AD ：AC =1：3，
∵ED ∥AB ，DF ∥BC ，
∴△CED ∽△CBA ，△AFD ∽△ABC ，
∴S △CED =49×S △ABC =16，S △AFD =19
×S △ABC =4， ∴S 平行四边形BEDF =S △ABC -S △CED -S △AFD =36-16-4=16，
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
15．44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP 根据相似三角形的性质求出AP 根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m ）BQ ∥AP ∴△OBQ ∽△OAP ∴即解
解析：44π
【分析】
证明△OBQ ∽△OAP ，根据相似三角形的性质求出AP ，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：如图，
由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ，
∴△OBQ ∽△OAP ，
∴BQ OQ AP OP =，即0.823
AP =，
解得，AP=1.2（m ），
则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），
故答案为：1.44π．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 16．【分析】设四个全等的直角三角形的较短的直角边为较长的直角边为斜边为则再表示正方形ABCD 的面积为：正方形EFGH 的面积为：正方形IJKL 的面积为：可得；由轴对称的性质可得：由正方形EFGH 的性质可得
解析：2132S S S =+
1313
2.S S S S + 【分析】
设四个全等的直角三角形的较短的直角边为,a 较长的直角边为,b 斜边为,c 则222,a b c += 再表示正方形ABCD 的面积为：()21,S a b =+ 正方形EFGH 的面积为：2222,S c a b ==+ 正方形IJKL 的面积为：()23,S b a =- 可得2132S S S =+；由轴对称的性质可得：,AK HE ⊥ 由正方形EFGH 的性质可得：,HE EF ⊥ 可得//,AK EF 同理：//,BL GF 证明90KML ∠=︒， 同理：90LNI JOI JPK ∠=∠=∠=︒，再证明
,MKL PJK ≌ 同理：,PJK OIJ NLI ≌≌ 可得四边形MNOP 是正方形，再证明
,MLK KEH ∽ 可得,ML MK LK KE KH EH ==
求解22MN = 可得()()22222,b a b a m MN a b +-==+ 从而可得答案．
【详解】
解：设四个全等的直角三角形的较短的直角边为,a 较长的直角边为,b 斜边为,c 则222
,a b c += ∴ 正方形ABCD 的面积为：()2
1,S a b =+
正方形EFGH 的面积为：2222,S c a b ==+ 正方形IJKL 的面积为：()2
3,S b a =- ()()2222222,2,a b a ab b b a a ab b +=++-=-+
()()()22222,a b a b b a ∴+=++-
2132.S S S ∴=+
由轴对称的性质可得：,AK HE ⊥ 由正方形EFGH 的性质可得：,HE EF ⊥
//,AK EF ∴
同理：//,BL GF
由正方形EFGH 可得：//,HE GF
//,BM HE ∴ ,BM AK ⊥
90KML ∴∠=︒，
同理：90LNI JOI JPK ∠=∠=∠=︒， ∴ 四边形MNOP 是矩形，
正方形IJKL ，
,90KL KJ LKJ ∴=∠=︒，
90,MKL PKJ MKL MLK ∴∠+∠=︒=∠+∠ ,PKJ MLK ∴∠=∠
,MKL PJK ∴≌
同理：,PJK OIJ NLI ≌≌
∴ 四边形MNOP 是正方形，
由//,BM HE
,MLK HEK ∴∠=∠
90,LMK EKH ∠=︒=∠
,MLK KEH ∴∽
,ML MK LK KE KH EH
∴== ,,AE b BE a ==
ML MK b a ∴
==
,b b a a b a ML MK LN --∴=
==
22b b a a b a MN --∴==
()()222222222,b a b a b a m MN a b a b +-⎛⎫-∴===
⎪++⎝⎭
正方形ABCD 的面积为：()2
1,S a b =+
正方形EFGH 的面积为：2222,S c a b ==+ 正方形IJKL 的面积为：()23,S b a =- ()1312
13132.12S S S S m S S S S ∴==++
故答案为：2132S S S =+，13132.S S S S +
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的运用，分式的运算，掌握以上知识是解题的关键．
17．4【分析】由于四边形ABCD是平行四边形所以得到BC//ADBC=AD而CE：BE=2：1由此即可得到△AFD∽△CFE它们的相似比为3：2最后利用相似三角形的性质即可求解【详解】解：∵四边形ABC
解析：4
【分析】
由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC//AD、BC=AD，而CE：BE=2：1，由此即可得到△AFD∽△CFE，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD、BC=AD，
∴△AFD∽△CFE，
∵CE：BE=2：1，
∴CE：BC=2：3，
∴AD：CE =3：2，
∴S△AFD：S△EFC=(3
2)2=
9
4
，
∵S△AFD=9，
∴S△EFC=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题是证明
△AFD∽△CFE，然后利用其性质即可求解．
18．8或【分析】因为∠C为定角DP为动点所以△PCD为直角三角形有两种情况：∠PDC=90°时△PCD为直角三角形如详解图根据等腰三角形三线合一的性质求出BP的长；当∠DPC=90°时△PCD为直角三角
解析：8或25 2
【分析】
因为∠C为定角，D、P为动点，所以△PCD为直角三角形有两种情况：
①∠PDC=90°时，△PCD为直角三角形，如详解图，根据等腰三角形三线合一的性质求出BP的长；②当∠DPC=90°时，△PCD为直角三角形，如详解图，作AF BC
，根据
△BFA∽△BAP求出BP的长．
【详解】
分两种情况:
①∠PDC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠APD=∠B
∴∠APD=∠C
∵90C DPC ∠+∠=︒
∴90APD DPC ∠+∠=︒
AP BC ∴⊥
∴点P 为BC 中点 ∴12BP BC = 16BC =
11682
BP ∴=⨯= ②当∠DPC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图，作AF BC ⊥，
10,16AB AC BC ===，AF BC ⊥
90AFB ∴∠=︒
∴点F 为BC 中点
1116822
BF BC ∴==⨯= ∵∠APD=∠B ，∠DPC=90
90APB APD ∴∠+∠=∠︒
90APB B ∴∠+∠=︒
90BAP ∴∠=︒
BFA BAP ∴△∽△
AB BF BP AB
∴= 10810
BP ∴= 252BP ∴=
故答案为：8或
252
． 【点睛】 本题考查了等腰三角形，相似三角形的性质和判定，同时还运用了分类讨论的思想，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题关键．
19．【分析】由平行线可得△ADE ∽△AFG ∽△ABC 进而利用相似三角形面积比等于对应边的平方比即可得出结论【详解】解：∵S △ADE ＝S 梯形DFGE ＝S 梯形FBCG ∵DE ∥FG ∥BC ∴△ADE ∽△AFG ∽
【分析】
由平行线可得△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，进而利用相似三角形面积比等于对应边的平方比，即可得出结论．
【详解】
解：∵S △ADE ＝S 梯形DFGE ＝S 梯形FBCG ，
∵DE ∥FG ∥BC ，
∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ， ∴13ADE ABC S S ∆=， 由于相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，
∴DE ： BC
＝1
3．
故答案为：
3
． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形面积比与对应边长之间的关系，能够熟练掌握并运用． 20．【分析】根据折叠可得四边形ABNM 是正方形
CD=CF=5∠D=∠CFE=90°ED=EF 可求出三角形FNC 的三边为345在中由勾股定理可以求出三边的长通过作辅助线可证可得三边的比为3：4：5设FG= 解析：203
根据折叠可得四边形ABNM 是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF ，可求出三角形FNC 的三边为3，4，5，在Rt MEF 中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证FNC PGF ∽，可得PFG △三边的比为3：4：5，设FG=3m ，则PG=4m ，PF=5m ，通过PG=HN ，列方程解方程，进而求出PF 的长，从而可求PE 的长．
【详解】
解：过点P 作PG ⊥FN ，PH ⊥BN ，垂足为G 、H ，
由折叠得：
四边形ABNM 是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF ， ∴NC=MD=8-5=3，
在Rt FNC 中，22534FN =-=，
∴MF=5-4=1，
在Rt MEF 中，设EF=x ，则ME=3-x ，
由勾股定理得， ()22213x x +-=， 解得：53
x =， ∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG ，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴FNC PGF ∽，
∴FG ：PG ：PF=NC ：FN ：FC=3：4：5，
设FG=3m ，则PG=4m ，PF=5m ，
四边形ABNM 是正方形，
45MBN BPH ∴∠=︒=∠，
∴GN=PH=BH=4-3m ，HN=5-（4-3m ）=1+3m=PG=4m ，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=5205=33+
， 故答案为：203
．
本题考查的是轴对称的性质，矩形，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
21．（1）45°；（2）2-；（3）
54 【分析】
（1）根据三线合一得到∠ADC ，再根据正方形的性质得到∠ADF ，相减可得结果；
（2）当60BAC ∠=︒时，ABC ∆为正三角形．设OH a =，则OA OE OF ==，求得
1)EH a =，1)HF a =-，根据相似三角形的性质得到AH EH NH FH ==，
12OH OA DC AD ==，得到2CD a =，再证明HNF CND △∽△，得到NH ，根据4AC AH NH NC =++=，可求出NC ；
（3）设2EH m =，则2FH km =求得1(1)2
OA EF k m =
=+，得到21(1)S k m =+，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，
∴∠ADC =90°，
∵四边形AEDF 为正方形，
∴∠ADF =45°，
∴∠FDC =90°-45°=45°；
（2）当60BAC ∠=︒时，ABC ∆为正三角形． AD EF ⊥
30OAH ∴∠=︒
∴AO OH
=
设OH a =，则OA OE OF ===，
1)EH a ∴=+，1)HF a =，
//AE FN ，
AEH NFH ∴△∽△，
∴AH EH NH FH ==，则AH ， //EF BC ，
AOH ADC ∴△∽△， ∴12
OH OA DC AD ==，
2CD a ∴=，
//EF BC ，
∴HNF CND △∽△，
∴NH FH NC CD ==，
∴NH =， ∵AC AH NH NC =++
1122NC NC NC ++=4，
解得：2NC =； （3）设2EH m =，则2FH km =，
1(1)2
OA EF k m ==+， 21(1)S k m ∴=+，
由（2）得，AEH NFH ∆∆∽，
2221(1)HNF S k S k k m ∆∴==+，
而222(1)EDF S OA k m ∆==+，
2222222(1)(1)(1)(1)EDF HNF S S S k m k k m k k k m ∆∆∴=-=+-+=-+++， ∴221
1S k k S =-++， ∴当12
k =时，21S S 的最大值为54． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
22
【分析】
利用正方形是性质和平行线的性质可得∠CDF ＝∠DEA ，∠CFD ＝∠A ，则可利用相似三角形的判定证明△ADE ∽△FCD ，根据相似三角形的性质可得比例式，结合勾股定理即可求解CF 的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠A ＝90°，AB ∥CD ．
∴∠CDF ＝∠DEA ．
又CF ⊥DE ，
∴∠CFD ＝90°，即∠CFD ＝∠A ．
∴△FCD ∽△ADE ．
∴CF CD AD DE
=． ∴CD AD CF DE ⋅=
． ∵AD ＝CD ＝1，E 是AB 的中点，
∴AE ＝12
．
∴由勾股定理得DE 2
==．
∴CF ． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质正确证明△ADE ∽△FCD 是解题的关键
23．体验：∽；探究：△ABM ∽△MCD ；拓展：DE ＝
103
【分析】
体验：根据同角的余角相等得到∠BAM=∠DMC ，根据平行线的性质得到∠C=∠B=90°，根据两角相等的两个三角形相似证明结论；
探究：根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明；
拓展：根据相似三角形的性质求出BD ，根据等腰直角三角形的性质求出AD ，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：体验：∵∠AMD ＝90°，
∴∠AMB +∠DMC ＝90°，
∵∠B ＝90°，
∴∠AMB +∠BAM ＝90°，
∴∠BAM ＝∠DMC ，
∵AB ∥CD ，∠B ＝90°，
∴∠C ＝∠B ＝90°，
∴△ABM ∽△MCD ，
故答案为：∽；
探究：∵∠AMC ＝∠BAM +∠B ，∠AMC ＝∠AMD +∠CMD ，
∴∠BAM +∠B ＝∠AMD +∠CMD ．
∵∠B ＝∠AMD ，
∴∠BAM ＝∠CMD ，
∵∠B ＝∠C ，
∴△ABM ∽△MCD ；
拓展：同探究的方法得出，△BDM ∽△CME ，
∴BD CM ＝BM CE
， ∵点M 是边BC 的中点，
∴BM ＝CM ＝
，
∵CE ＝6，
∴
＝6
， 解得，BD ＝163
， ∵∠B ＝∠C ＝45°，
∴∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝90°，
∴AC ＝AB BC ＝8， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝8﹣163＝83
，AE ＝AC ﹣CE ＝2，
在Rt △ADE 中，DE 103
． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解本题的关键是判断出△ABM ∽△MCD ．
24．（1）见解析；（2；（3）见解析 【分析】
（1）由矩形的性质及已知证得△EAF ≌△DAB ，则有∠E=∠ADB ，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；
（2）设,AD a AB b ==，利用矩形性质知AF ∥BC ，得,AEF BEC △∽△再根据相似三角形的性质得到,a b 的方程，变形整理即可；
（3）在EF 上截取EM=DG ，进而证明△EMA ≌△DGA ，得到∠EAM=∠DAG ，AM=AG ，则证得△MAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．
【详解】 ()1证明:
四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上， 90EAF DAB ∴∠=∠=︒， 又,AE AD AF AB ==，
()AEF ADB SAS ∴△≌△，
1E ∴∠=，
21290E ∴∠+∠=∠+∠=︒，
90EGB ∴∠=︒，
故BD EC ⊥．
()2在矩形ABCD 中，,//AD BC AD BC =，
AEF BEC ∴△∽△， AF AE BC BE ∴=， 设,AD a AB b ==，则
b a a a b =+， 得220a ba b --=，
∴22415b b b a b ±+-±==（负值舍去）， 51a b +∴= :AD AB ∴的值为51+； ()3如图，在线段EG 上取点M ，使得EM DG =，
在AEM ∆与ADG ∆中，,1,AE AD E EM DG =∠=∠=，
()AEM ADG SAS ∴△≌△，
,34AM AG ∴=∠=∠，
535490MAG ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，
2MG AG ∴=，
2EG DG EG EM MG AG ∴-=-==．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
25．（1）AMN ，证明见解析；（2）
34
【分析】
（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）作NH AM ⊥于H ，证明NAH AMB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到
212AN BM AM =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）AMN ∆是等腰三角形，
证明：四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，
NAM BMA ∴∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，
AMN NAM ∴∠=∠，
AN MN ∴=，即AMN ∆是等腰三角形；
（2）如图，延长AD 和ME ，交于点N ，作NH AM ⊥于H ， AN MN =，NH AM ⊥，
12
AH AM ∴=， 90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，
NAH AMB ∴∆∆∽，
∴AN AH AM BM
=， 212
AN BM AH AM AM ∴==， M 为BC 中点，
112
BM CM BC ∴===， 2223110AM =+=，
5AN ，
523DN ∴=-=，
设DE x =，则3CE x =-，
//AN BC ，
∴DN DE CM CE =，即313x x
=-， 解得，94x =，即94
DE =， 34
CE ∴=．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及等腰三角形的性质和矩形的
性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想的正确运用．26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用关于x轴对称点的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可以求出1A、1B、C，进而可画出图形；
1
（2）利用位似图形的性质得出对应点的位置，即可画出图形．
【详解】
解：(1)如图所示：ΔA1B1C1即为所求；
(2)如图所示，ΔA2B2C2即为所求．
【点睛】
本题考查关于对称轴对称的点的性质以及位似的性质，掌握相关性质是解题的关键．。