【数学】甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年
高二下学期期中考试（理）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围： 选修2-2、选修2-3第一章．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的） 1．已知i 为虚数单位，若复数1i
1i
a z -=+（a R ∈）的实部为3-，则||z =（ ） A
B
．C
D ．5
2．下列关于求导叙述正确的是
A ．若()sin f x x =，则()cos f x x '=-
B ．若()ln f x x x =+，则()1
x f x x
+'=
C ．若()2
4f x x =，则()4f x x '=
D ．若()e x
f x x =-，则()01f '=
3．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是( ) A ．乙、丙两个人去了 B ．甲一个人去了 C ．甲、丙、丁三个人去了
D ．四个人都去了
4．函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ） A ．6
B ．
C ．
D ． 5．用数学归纳法证明：“()()()()(
)12213521n
n n n n n n N *
+++=⨯⨯⨯⨯⨯-∈L L ”时，
从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是 ( ) A ．21k +
B ．
21
1
k k ++ C ．
23
1
k k ++ D ．()221k +
6．若()()6
13x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ） A ．
23
B ．2
C ．
14
D ．
13
()f x ()f x '2()2(2)ln f x x xf x '=+-(2)f '6-72
72
-
7．正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函
数，以上推理（ ） A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．以上均不正确
8．已知，若，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1
9．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72
D ．120
10．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：
在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC △
的面积
S =.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC △的面积为
A
B
．C
D
．11．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当 时，
，此类椭圆被称为“黄金椭圆
”．类比“黄金椭圆
”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于（
）
A
B C D
()()2
tan 2f x x =+()()
2
tan 2f x x =+()21f x x =+1
()()f x dx f a =⎰
a a 2
12
FB AB ⊥u u u v u u u v
11
12．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式
有解，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3
ln f x x x
=-，则曲线()y f x =在点()()
1,1f --处的切线斜率为______.
14．设复数满足，则的最大值是_______.
15．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有______种.（用数字填写答案）
16．已知P 是曲线上的点，Q 是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则的最小值为________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）关于复数z 的方程()()()2
30z a i z i a R -+-+=∈.
（1）若此方程有实数解，求a 的值；
（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.
18．（12分）观察下列等式:
；
2()ln f x ax x x =-+1x 2x ()()()12122f x f x x x t +>++t (,2ln 2)-∞-(],2ln 2-∞-(,112ln 2)-∞-+(],112ln 2-∞-+z 341z i --=z 3
133:22C y x x x ⎛⎫
=--≤≤
⎪⎝⎭
2C 1C 2C 24y x =+||
OM 1=
；
； ；
；
(1)猜想第n (n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.
19. （12分）设函数()3
f x x =的图象上一点()()
1,1P f 处的切线l 与()3
f x x =的图象的
另一交点为Q ． （1）确定点Q 的坐标；
（2）求函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积．
20．（12分）已知正项数列满足，且，设 （1）求证：； （2）求证：； （3）设为数列的前项和，求证：. 21．（12分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2x
y e =．为有效控制有害昆虫数量、保
护生态环境，环保部门通过实时监控比值2
1
ay
M x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析．
3
=6
=10
=15={}n a 112
a =23
1322n n n a a a +≥+11(2)n n n n b a a a ++=-1n n a a +<12112ln
ln ...ln 2ln(2)n n n
b b b
a a a a ++++>n S {}n
b n 1
4
n S <
（1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =L ）
22．（12分）已知函数，设的导函数为． （1）求证：；
（2）设的极大值点为，求证：．（其中）
参考答案
17．（本小题满分10分）
()322
111ln 342
f x x x x x =--()f x ()
g x ()0g x ≥()g x 0x ()2
01
4
e g x -<<
271828e =⋯．
【解析】（1）设z m R =∈，带入原方程得()()2
30m a i m i -+-+=，
即()2
310m am m i --+--=，则23010
m am m ⎧--=⎨--=⎩，故1
2m a =-⎧⎨
=⎩. （2）证明:假设原方程有纯虚数根，设z ni =（n R ∈，且0n ≠）， 则有()()()2
30ni a i ni i -+-+=，整理可得()2
310n n an i -+-+--=，
则230
10
n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，对于230n n -+-=，判别式112110∆=-=-<， 则方程230n n -+-=无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.
18．（本小题满分12分）
【解析】（1）猜想第n ()12
n n +=
.
（2）证明：①当1n =时，左边1=，右边1=，故原等式成立；
②设n k =()12
k k +=
，则当1n k =+时，
=
((()()12112
k k k k ++=+=+=
()()1112
k k ⎡⎤+++⎣⎦=
故当1n k =+时，命题也成立，由数学归纳法可以原等式成立.
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）点()1,1P ，()2
3f x x '=，故()13f '=，所以切线l 的方程为()131y x -=-，
即32y x =-.联立3
32y x y x ⎧=⎨=-⎩
，得3320x x -+=，解得2x =-或1x =（舍去），所
以点()2,8Q --．
（2）由图，设函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积为S ，
则()
1
2
3
4212
1327322424S x x dx x x x --⎛⎫=⎰-+=-+= ⎪⎝⎭，所以所求面积为274．
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）∵0n a >，23132
n n n a a a +≤
-， ∴3
2132n n n
n n a a a a a +-≤-+- 23102n n n a a a ⎛⎫
=--
+< ⎪⎝⎭
， ∴1n n a a +<
（2）猜想2
1
2n n n n
b a a a +> 要证212n n n n b a a a +>，只需证2
1
2n n n
a b a +>， ∵()112n n n n b a a a ++=-，只需证1
12n n n n
a a a a ++->
， 只需证2
121
n n n a a a +<+，
又∵23
132n n n a a a +≤-，且2232321n n n n a a a a -<+，
∴2
121
n
n n a a a +<+，
∴2
1
2n n n n
b a a a +> 累乘法可得2
2121
12121...4...n n n n b b b a a a a a a ++⋅>=⋅，
∴()
2
2121
12121
...ln ln 4...n n n n b b b a a a a a a ++⋅>=⋅
∴()12112ln
ln ...ln 2ln 2n n n
b b b
a a a a ++++> （3）∵112
n n a a +<≤，2131
22n n n
n a a a a +≤-≤ ∴11
2
n n a a +≤
()22
11
1324
n n n n n n b f a a
a a a +++==-+≤，而21214n n a a +≤
∴12...n n S b b b =+++ ()222123...4n a a a ≤+++ 2
11143114414
n
a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤
<-
. 21．（本小题满分12分）
【解析】（1）当1a =时，2
2(1)1
x
e
M x x x =>-+，∴()()(
)
2
2212'1
x
x x e M x x --=-+
列表得：
∴M 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴M 在2x =时取最小值；
（2）∵()()()
2
2
212'(0)1
x
a x x e M a x
x --=
>-+ 根据（1）知：M 在()1,2上单调减，在
()2,+∞上单调增
∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴()()()434
4
4
12237
2413M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪
⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩
，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137,22e ⎛⎤ ⎥⎝
⎦． 22．（本小题满分12分）
【解析】（1）由已知()f x 的导函数为2()g x x x xlnx =--．
要证()0g x …
，只需要证明10x lnx --…． 设()1x x lnx =--，则1
()x f x x
-=
． 故()h x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，
故()()110h x x lnx h =--=…
． （2）证明：因为2()g x x x xlnx =--， 所以()22g x x lnx '=--．
令()22h x x lnx =--，则1
2()
12()2x h x x x
-'=-=
可知，当1(0,)2
x ∈时，()h x 单调递减，当1
(2x ∈，)+∞时，()h x 单调递增．
又2()0h e ->，1()02h <， ()10h =，所以()h x 在1(0,)2
有唯一零点0x ， 在1
(2
，)+∞有唯一零点1．
且当0(0,)x x ∈，()0h x >，当0(x x ∈，1)，()0h x <，所以0x x =是()g x 的唯一的极大值
点，故00220x lnx --=，2
0(x e -∈，1)2
所以22
00000001()()4max g x g x x x x lnx x x ==--=-+<
因为1
1(0,)2
e -∈，显然120()()g x g e e -->=
故2
01()4
e g x -<<
．。