课件3：4.5 增长速度的比较

【规律方法】 求平均变化率的主要步骤 (1)求Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)求Δx＝x2－x1. (3)求平均变化率Δ Δyx＝f（x2）x2－ －fx（1 x1）.
【跟踪训练】
1．函数 f(x)＝x2 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率为 k1，在 x0－Δx
到 x0 之间的平均变化率为 k2，则 k1，k2 的大小关系是( )
【规律方法】 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型 y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的 速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型 y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增 大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
【题型探究】
题型一 平均变化率的比较
【例 1】(1)在 x＝1 附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、
②y＝x2、③y＝x3、④y＝1x中，平均变化率最大的是(
)
A．④
B．③
C．②
D．①
(2)汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图像 如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3] 上的平均速率分别为－v 1，－v 2，－v 3，则三者 的大小关系为________． 【解析】 (1)Δx＝0.3 时，①y＝x 在 x＝1 附近的平均变化率 k1＝1； ②y＝x2 在 x＝1 附近的平均变化率 k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3 在 x＝1 附近的平均变化率 k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在 x＝1 附近 的平均变化率 k4＝－1＋1Δx＝－1103.所以 k3＞k2＞k1＞k4，故应选 B.
【跟踪训练】
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x C．y＝x2
B．y＝log6x D．y＝6x
解析：选 B.D 中一次函数的增长速度不变，A、C 中函数的增
长速度越来越快，只有 B 中对数函数的增长速度越来越慢，符
合题意．
2.“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间 t(月)与 枝数 y(枝)的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系 的函数是( )
解析：(1)由图像可知，当 0≤t≤0.1 时，y＝10t；当 t＞0.1 时，
由 1＝1160.1－a，得 a＝0.1，则当 t＞0.1 时，y＝116t－110.
10t，0≤t≤110， 故 y＝116t－110，t＞110 .
(2)由题意可知，116t－110＜0.25，得 t＞0.6.
答案：(1)y＝11016t，t－0110≤，tt≤＞111100，
题型二 函数模型增长差异的比较 【例 2】甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运 动，其路程 fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间 x(x≥0)的函数关系式分别 为 f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：
①当 x＞1 时，甲走在最前面； ②当 x＞1 时，乙走在最前面； ③当 0＜x＜1 时，丁走在最前面，当 x＞1 时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲． 其中，正确结论的序号为________． 【答案】 ③④⑤
解析：从表格可以看出，三个变量 y1，y2，y3 都是越来越大，但 是增长速度不同，其中变量 y1 的增长速度最快，画出它们的图 像(图略)，可知变量 y1 呈指数函数变化． 答案：y1
2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过 程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比，药物 释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝116t－a(a 为常数)，如图所示，
(1)指出图中 C1，C2 分别对应哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对 f(x)，g(x) 的大小进行比较)．
【解】 (1)由函数图像特征及变化趋势， 知曲线 C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， 曲线 C2 对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当 x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
2．几类不同增长的函数模型 (1)一次函数模型 一次函数模型 y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型 y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大 的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．
(3)对数函数模型 对数函数模型 y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值 增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 当 x>0，n>1 时，幂函数 y＝xn 是增函数，且当 x>1 时，n 越大其函数 值的增长速度就越快．
①在 0 到 t0 范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率； ②在 0 到 t0 范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率； ③在 t0 到 t1 范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率； ④在 t0 到 t1 范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率．
解析：由图像知，0～t0 范围：－v 甲＝－v 乙＝st00； t0～t1 范围：－v 甲＝st12－－ts00，－v 乙＝st11－ －st00. 因为 s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以－v 甲＞－v 乙．所以③正确． 答案：③
【跟踪训练】
1．以下是三个变量 y1，y2，y3 随变量 x 变化的函数值表：
x 12 3 4 5
6
7
8…
y1 2 4 8 16 32
64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25
36
49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
其中关于 x 呈指数函数变化的函数是________．
根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间 的函数关系式为________． (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方 可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过________小时后，学生才 能回到教室．
A．k1＜k2
B．k1＞k2
C．k1＝k2
D．无法确定
解析：选 D.k1＝f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝2x0＋Δx，
k2＝f（x0）－Δf（xx0－Δx）＝2x0－Δx，
又Δx 可正可负且不为零，所以 k1，k2 的大小关系不确定，选 D.
2.如图显示物体甲、乙在时间 0 到 t1 范围内，路程的变化情况，下列 说法正确的是________．
(2) －v 1＝s（t1）t1－ －st0（t0）＝kOA， －v 2＝s（t2）t2－ －st1（t1）＝kAB， －v 3＝s（t3）t3－ －st2（t2）＝kBC， 又因为 kBC＞kAB＞kOA，所以－v 3＞－v 2＞－v 1. 【答案】 (1)B (2) －v 3＞－v 2＞－v 1
C．y＝ax2＋b 答案：B
D．y＝a＋bx
4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个 待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一 组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案：甲
本课结束
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4.5 增长速度的比较
【问题导学】
预习教材内容，思考以下问题： 1．平均变化率是如何定义的？ 2．如何用平均变化率描述增长速度？ 3．线性增长、指数增长、对数增长有什么关系？
【自主预习】
1．平均变化率 我们已经知道，函数 y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2 时)或[x2，x1](x1>x2 时) 上的平均变化率为ΔΔxf＝f（x2）x2－ －fx（1 x1）. 也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之 比，这也可以理解为：自变量每增加 1 个单位，函数值平均将增加ΔΔxf个 单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢．
A．指数函数 y＝2t C．幂函数 y＝t3
B．对数函数 y＝log2t D．二次函数 y＝2t2
解析：选 A.根据已知所给的关系图，观察得到图像在第一象限， 且从左到右图像是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个 选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选 A.
题型三 不同增长函数模型的图像特征 【例 3】函数 f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1 的图像如图所示．
【基础自测】
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( √ ) (2)对任意的 x＞0，kx＞logax.( × ) (3)对任意的 x＞0，ax＞logax.( × )
(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢
的函数模型是对数函数模型．( √ )
A．y＝x2
B．y＝log2x
C．y＝2x
D．y＝2x
答பைடு நூலகம்：D
3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则 x，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中 a，b 为待定系数)( )
A．y＝a＋bx
B．y＝a＋bx
(2)0.6
【达标检测】
1．函数 y＝2x 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为( )
A．x0＋Δx
B．1＋Δx
C．2＋Δx
D．2
解析：选 D.由题意，可得平均变化率
f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝2（x0＋ΔΔxx）－2x0＝2，故选 D.
2．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( )
下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex
B．y＝ln x
C．y＝3x
D．y＝e－x
答案：A
函数 f(x)＝ x从 0 到 2 的平均变化率为( )
A．
2 2
B．1
C．0
D．2
解析：选 A.由题意可知，函数 f(x)＝ x从 0 到 2 的平均变化率为
f（2）2－ －f0（0）＝ 22，故选 A.
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的， f(x)随着 x 的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
【规律方法】 由图像判断指数函数、对数函数和一次函数的方法 根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常 是观察函数图像上升得快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡” 的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数；图像增长 速度不变的是一次函数．