2020-2021学年数学北师大版(2019)必修第二册学案与作业： 第四章 三角恒等变换

单元素养评价（三）
(120分钟150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ-tan=7,则tan θ=( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【命题意图】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值,属于中档题.
【解析】选D.由题意可知2tan θ-=7,
整理得:2tan θ-2tan2θ-1-tan θ=7-7tan θ,
解得tan θ=2.
【补偿训练】
(2020·东莞高一检测)若sin α+cos α=,则tan α+的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2
【解析】选B.tan α+=+=,
又sin α+cos α=,
所以sin αcos α=,
所以tan α+=2.
2.(2020·肇庆高一检测)函数y=sin+sin的最小值为( )
A. B.-2 C.- D.
【解析】选C.y=sin+sin
=sin 2xcos+cos 2xsin+sin 2xcos-
cos 2xsin =sin 2x,
所以函数y的最小值为-.
3.(2020·长沙高一检测)已知sin=cos,则sin 2α=( )
A.-1
B.1
C.
D.0
【解析】选A.因为sin=cos,
所以cos α-sin α=cos α-sin α,
可得cos α=sin α,
所以tan α=-1.
因此sin 2α=2sin αcos α=
===-1.
4.若sin(π-α)=-且α∈,则sin=( )
A.-
B.-
C. D.
【解析】选B.sin(π-α)=sin α=-,又α∈,
所以cos α=-=-=-.
由cos α=2cos2-1,∈得
cos=-=-=-,
所以sin=cos=-.
5.(2020·南昌高一检测)已知函数f(x)=cos2·cos2,则f等于( )
A. B. C. D.
【解析】选A.f(x)=cos2·cos2
=·,
=·=,
所以f==.
6.(2020·襄阳高一检测)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的
应用.0.618就是黄金分割比t=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则=( )
A.4
B.
C.2
D.
【解析】选D.把t=2sin 18°代入=
==.
7.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos
A),若m·n=1+cos(A+B),则C=( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为m·n=sin Acos B+sin B·cos A=sin(A+B)= sin C=1-cos C,
所以sin=,又因为0<C<π,
所以C+=,故C=.
8.(2020·杭州高一检测)在△ABC中,若sin(B+C)sin(B-C)=sin2A,则△ABC是( )
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选C.因为0<A<π,所以sin A>0,同理sin C>0,
因为sin 2A=sin sin
=sin sin =sin Asin ,
所以sin =sin A=sin ,
则sin Bcos C-cos Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C可得cos Bsin C=0, 所以cos B=0,因为0<B<π,所以B=.
因此△ABC是直角三角形.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.(2020·潍坊高一检测)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )
A.θ∈
B.cos θ=-
C.tan θ=-
D.sin θ-cos θ=
【解析】选ABD.因为sin θ+cos θ=①,
所以=,
即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,
所以2sin θcos θ=-,因为θ∈(0,π),
所以sin θ>0,cos θ<0,
所以θ∈,
所以=1-2sin θcos θ=,
所以sin θ-cos θ=②,
①加②得sin θ=,①减②得cos θ=-,
所以tan θ===-.
10.(2020·南京高一检测)已知α,β是锐角,cos α=,cos(α-β)=,则cos β=( )
A. B.
C. D.-
【解析】选AC.由α是锐角,cos α=,
则sin α==,
又α,β是锐角,则-β∈,
得α-β∈,
又cos =,
则sin (α-β)=±,
则cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin (α-β)=×±×=,
得cos β=或cos β=.
11.(2020·沈阳高一检测)关于函数f(x)=3sin xcos x+3sin2x-+1,下列命题正确的是( )
A.由f=f=1可得x1-x2是π的整数倍
B.y=f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos+1
C.y=f(x)的图象关于点对称
D.y=f(x)的图象关于直线x=-对称
【解析】选BD.因为f(x)=3sin xcos x+3sin2x-+1,
所以f(x)=sin 2x-cos 2x+1
=3sin+1.
A.由f(x)=3sin +1=1得sin =0,又函数的最小正周期T=π,则x1-x2是=的整数倍,故A错误,
B.f(x)=3sin +1
=3cos +1
=3cos+1=3cos+1,故B正确,
C.当x=时,sin =sin=sin=-≠0,即函数关于
不对称,故C错误,
D.当x=-时,sin=sin--=sin=-1,是最小值,则y=f(x)的图象关于直线x=-对称,故D正确.
12.(2020·济南高一检测)已知0<α<β<,且tan α,tan β是方程x2-kx+2=0的两不等实根,则下列结论正确的是( )
A.tan α+tan β=-k
B.tan(α+β)=-k
C.k>2
D.k+tan α≥4
【解析】选BCD.因为tan α,tan β是方程x2-kx+2=0的两不等实根,
所以tan α+tan β=k,tan α·tan β=2,
tan(α+β)===-k,
由0<α<β<,tan α,tan β均为正数,
则tan α+tan β=k≥2=2,当且仅当tan α=tan β时取等号,等号不成立,
k+tan α=2tan α+tan β≥2=4,当且仅当2tan α=tan
β时取等号.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2020·揭阳高一检测)化简:
=________.
【解析】
=
=
=
==1.
答案:1
14.(2020·全国Ⅱ卷)若sin x=-,则cos 2x=______.
【解析】cos 2x=1-2sin2x=1-2×=1-=.
答案:
【补偿训练】
设cos x=t,用t的代数式表示cos 2x=______;用t的代数式表示cos
3x=________.
【解析】cos 2x=2cos2x-1=2t2-1,
cos 3x=cos=cos 2xcos x-sin 2xsin x
=cos x-2sin xcos xsin x
=2cos3x-cos x-2cos x
=4cos3x-3cos x=4t3-3t.
答案:2t2-1 4t3-3t
15.(2020·南昌高一检测)定义运算=ad-bc,若cos α=,
=,0<β<α<,则β=________.
【解析】根据题意得到
=sin αcos β-sin βcos α
=sin =,
cos β=cos
=cos αcos +sin αsin ,
又0<β<α<,所以0<α-β<,
cos ==,
又cos α=,sin α=,则cos β=,β=.
答案:
16.(2020·哈尔滨高一检测)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,),则
=________;tan 2α+
tan=________.
【解析】由题意得sin α=,cos α=-,
tan α=-.
===- ;tan 2α==-,
tan===2+.
tan 2α+tan=2.
答案:- 2
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知α∈.
(1)若sin α=,求sin的值;
(2)若cos =,求sin α的值.
【解析】(1)因为sin α=,α∈,
所以cos α=,
所以sin=sin α+cos α=+=.
(2)因为α∈,所以α+∈,
又因为cos =,
所以sin =,
所以sin α=sin
=sin-cos
=-=.
18.(12分)(2020·长沙高一检测)已知2sin x=cos x.
(1)求sin2x-sin xcos x的值;
(2)若π<x<2π,求tan的值.
【解析】(1)由2sin x=cos x得tan x=,
则sin2x-sin xcos x===-.
(2)方法一:tan x==⇒tan2+4tan-1=0,
得tan=-2±,由π<x<2π及tan x=>0得π<x<,则<<,所以
tan=-2-.
方法二:由π<x<2π及tan x=>0得π<x<,
从而sin x=-,cos x=-,
tan=====-2-.
19.(12分)(2020·贵阳高一检测)在推导很多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面向量的有关知识来研究,在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos(α-β)=cos αcos β+
sin αsin β.
具体过程如下:如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β.它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.
则=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),
由向量数量积的坐标表示,有:
·=cos αcos β+sin αsin β,
设,的夹角为θ,
则·=||·||cos θ=cos θ
=cos αcos β+sin αsin β,
另一方面,由图(1)可知,α=2kπ+β+θ;
由图(2)可知α=2kπ+β-θ.于是α-β=2kπ±θ,k∈Z.
所以cos(α-β)=cos θ,也有cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, 所以,对于任意角α,β有:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(Cα-β) 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作Cα-β.有了公式Cα-β以后,我们只要知道cos α,cos β,sin α,sin β的值,就可以求得cos(α-β)的值了. 阅读以上材料,利用图(3)单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题:
(1)判断=是否正确?(不需要证明)
(2)证明:sin α+sin β=2sin cos .
【解析】(1)因为对于非零向量n,n是n方向上的单位向量,又=1且与共线,
所以=正确.
(2)因为M为AB的中点,则OM⊥AB,从而在△OAM 中,||=||·cos=cos,
又=,=,=,
所以sin=,
即sin α+sin β=2sin cos.
20.(12分)(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)=sin2x+-cos 2x+1,x∈R.
(1)若x∈,求函数f(x)的值域;
(2)已知α为锐角且f=,
求sin的值.
【解析】(1)因为f(x)=sin-cos 2x+1
=sin 2xcos+cos 2xsin-cos 2x+1
=sin 2x+cos 2x-cos 2x+1
=sin 2x-cos 2x+1
=sin+1.
令t=2x-∈,
则sin t∈,
即f(x)∈,
故函数f(x)的值域为.
(2)由f(α)=sin+1=
⇒sin =,又因为α为锐角,
所以2α-∈,又sin =<,
所以2α-∈,
即有cos=.
所以sin =sin
=sin cos+cos sin=.
21.(12分)(2020·林州高一检测)如图所示,在直角坐标系xOy中,点A,B,点P,Q在单位圆上,以x轴正半轴为始边,以射线OP为终边的角为θ,以射线OQ为终边的角为φ,满足φ-θ=.
(1)若θ=,求·.
(2)当点P在单位圆上运动时,求函数f=·的解析式,并求f的最大值.
【解析】(1)由题图可知,∠POA=θ=,∠QOA=+=.
·=·=-·
=22-2×1×cos=4+.
(2)由题意可知P,Q.
因为cos φ=cos
=-sin θ,sin φ=sin=cos θ,
所以Q.
所以=,
=.
所以f=·
=+sin θcos θ
=2cos θ-sin θcos θ+2sin θ-4+sin θcos θ
=2sin-4.
当θ=2kπ+(k∈Z)时,f取得最大值2-4.
22.(12分)已知函数 f(x)=4sin 2·sin x+(cos x+sin x)(cos x- sin x)-1.
(1)求满足f(x)≥1 的实数 x 的取值集合.
(2)当a≥-2时,若函数g(x)=-1
在的最大值为2,求实数 a 的值.
【解析】(1) f(x)=2·sin x+cos 2x-sin 2x-1=
(2+2sin x)sin x+1-2sin 2x-1=2sin x,由 f(x)=2sin x≥1,
得 x∈,(k∈Z).
(2)g(x)=sin 2x+asin x-acos x-a-1,令 sin x-cos x=t,则 sin 2x=1-t2, 所以y=1-t2+at-a-1=-t2+at-a=+-a.
因为 t=sin x-cos x=sin ,由 -≤x≤得 -≤x-≤,所以-≤t≤1.
①当 -≤≤1,
即 -2≤a≤2 时, y max=-a,
由-a=2,得a2-2a-8=0 ,
解得 a=-2 或 a=4 (舍),
②当>1,即 a>2 时,在t=1处y max=-1,
由-1=2 得 a=6.因此 a=-2 或 a=6.
关闭Word文档返回原板块。