三次函数及其切割线的关系

合集下载

三次函数的对称中心与切线条数

三次函数的对称中心与切线条数问题证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。

提示：可根据奇函数图像的平移得到。

分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++--与32y ax bx cx d =+++比较系数得：2333am b am k c n km am d-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a=- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a-- 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+-将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3320011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程3231010230x x x x -+=有几个实根的问题为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即32300230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。

三次函数切线问题

三次函数切线问题【探究拓展】探究1：切线的辩证定义设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。

随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。

当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。

探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点在运动中：探究3：切线问题的辩证策略TnA 1A例1：若直线y x =是曲线323y xx ax =-+的切线，则a ＝．（零点法）↑y x =是曲线323y x x ax =-+相切x a x x y )1(323-+-=与x 轴相切↓ ↑ 联立()32323103y xx x a x y x x ax=⎧⇒-+-=⎨=-+⎩有重根→新联立⎩⎨⎧-+-==xa x x y y )1(3023↓ （重根法）变式1：（2020年）曲线px x y +=3与q y -=相切，求证32032p q ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2：方程30xpx q ++=有几个实根？探究4：切线问题的辩证思考：联系——数形结合、函数与方程、转化与化归发展——量变与质变、运动观点探究5：辩证思维的强化延伸由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()111, P x y ，再由1P 引切线切于不同于1P 的点()222, P x y ，如此继续下去……，得点到(){}, nnnP x y ．（1）求1x ；（2）求1与nn xx +的关系；（3）点列{}nP 有何特点？拓展1：若直线y x =是曲线3231y xx ax =-+-的切线，则a ＝拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线326910y xx x =-+-有且只有一个交点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

三次函数切线专题

三次函数切线专题过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。

（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线；（2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30ab x -≠且)3()(0abg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30ab x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。

其中).)(()()(0/0x x x f x f yx g -+-=证明设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(0y x P 代入得：2)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=,2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+=,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令,0)(/=x g 则.3,0abx x x -==因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以,30ab x -=或,30ab x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线。

)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30ab x -≠且)3()(0ab g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。

)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。

第18讲三次函数的切线条数(解析版)

第十八讲三次函数的切线条数知识与方法研究过点(),P a b 可以作出三次函数()32f x ax bx cx d =+++()0a ≠图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为()()00,x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，将点P 的坐标代入切线方程可得()()()000b f x f x a x '-=-，这一关于0x 的方程有几个实数解，过点P 就可以作出函数()y f x =图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示：典型例题【例题】已知函数322()27,R f x x ax a x a =-+-∈．（1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的值；（2）若过点(0,1)A 可以作曲线()f x 的三条切线，求a 的取值范围．【解析】（1）22()34f x x ax a '=-+，由2(1)340f a a =-+='解得1a =或3a =，当1a =时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得13x <或1x >，由()0f x '<得113x <<，即()f x 在1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意，舍去，当3a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，由()0f x '>得1x <或3x >，由()0f x '<得13x <<，即函数()f x 在(,1),(3,)-∞+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，()f x 在1x =处取得极大值，所以3a =.（2）设过点(0,1)A 作曲线()f x 的切线的切点为00(,)P x y ，则切线方程为()()()322220000002734y x ax a x x ax a x x --+-=-+-，将点(0,1)A 的坐标代入，整理得320040x ax -+=，令32()4h x x ax =-+，依题意，()h x 有三个零点，22()3233a h x x ax x x ⎛⎫=-=- ⎝'⎪⎭，当0a =时，()0,()h x h x '≥在(,)-∞+∞上单调递增，则()h x 只有一个零点，当0a <时，由()0f x '>得23ax <或0x >，由()0f x '<得203a x <<，即()h x 在2,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在23a x =处取极大值，在0x =处取极小值，而(0)40h =>，则()h x 只有一个零点，当0a >时，由()0f x '>得0x <或23a x >，由()0f x '<得203ax <<，即()h x 在2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在0x =处取极大值，在23ax =处取极小值，而(0)40h =>，要使()h x 有三个零点，当且仅当32440327a a h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得3a >，所以a 的取值范围是(3,)+∞．强化训练1．已知函数()3f x x ax =-，若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则实数a =________.【解析】解法1：由题意，()23f x x a '=-，设()3000,P x x ax -为函数()y f x =图象上的任意一点，则()f x 在点P 处的切线方程为()()()3200003y x ax x a x x --=--，将点()1,0A 代入整理得：320230x x a -+=①，过点A 可作函数()y f x =图象的两条切线等价于关于x 的方程①有两个实数解，设()3223g x x x a =-+()x ∈R ，则()g x 有两个零点，易求得()()61g x x x '=-，所以()0 0g x x '>⇔<或1x >，()001g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,1上，在()1,+∞上，故()g x 有极大值()0g a =，极小值()11g a =-，所以()g x 有两个零点的充要条件是()()()01 10g g a a =-=，解得：0a =或1.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()23f x x a '=-，所以()f x 在原点处的切线为y ax =-，要使若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则点A 在切线y ax =-或()y f x =的图象上，所以0a -=或10a -=，解得：0a =或1.【答案】0或12．已知函数()33f x x x =-，若过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则实数m 的取值范围是________.【解析】解法1：由题意，()233f x x '=-，设过点A 的直线与()f x 的图象相切于点()3000,3P x x x -，则该切线的方程为()()()320000333y x x x x x --=--，将点()2,A m 代入整理得：32002660x x m -++=①，过点A 可作函数()y f x =图象的三条切线等价于关于0x 的方程①有三个实数解，设()32266g x x x m =-++()x ∈R ，则()g x 有三个零点，易求得()()62g x x x '=-，所以()00g x x '>⇔<或2x >，()002g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,2上，在()2,+∞上，故()g x 有极大值()06g m =+，极小值()22g m =-，所以()g x 有三个零点的充要条件是()()()()02620g g m m =+-<，解得：62m -<<.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()233f x x '=-，所以()f x 在原点处的切线为3y x =-,要使过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则点A 应夹在切线和()f x 的图象之间，如图，点A 应在直线2x =上的B 、C 两点之间，将2x =分别代入3y x =-和33y x x =-可求得6y =-，2，所以B 、C 两点的纵坐标分别为6-和2，故m 的取值范围是()6,2-.【答案】()6,2-3.设函数()32132a f x x x bx c =-++()0a >，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =.（1）确定b 、c 的值；（2）设曲线()y f x =在()()11,x f x 及()()22,x f x 处的切线都过点()0,2，证明：当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠（3）若过点()0,2可作曲线()y f x =三条不同的切线，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意，()2f x x ax b '=-+，且()00f b '==，()01f c ==.（2）由（1）可得()321132a f x x x =-+，()2f x x ax '=-，所以曲线()y f x =在()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111y f x x ax x x -=--，将点()0,2代入整理得：321121032a x x -+=①，同理可得：322221032a x x -+=②，下面用反证法证明当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠，假设()()12f x f x ''=，则221122x ax x ax -=-，整理得：()()12120x x x x a -+-=，所以12x x a +=③，由①－②整理可得：()()2121212220332a x x x x x x +--+=，将式③代入得：2124a x x =④，联立③④解得：122ax x ==，这与12x x ≠矛盾，所以当12x x ≠时，()()12f x f x ''=（3）由（2）可得问题等价于关于x 的方程3221032a x x -+=有三个不同的实数解，令()322132a h x x x =-+()x ∈R ，则()h x 有三个零点，且()()2h x x x a '=-所以()00h x x '>⇔<或2a x >，()002ah x x '<⇔<<，从而()h x 在(),0-∞上单调递增，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()h x 有极大值()01h =，极小值3232112322224a a a a a h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 有三个零点的充要条件是()3010224a a h h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得：a >，故a 的取值范围为()+∞.4.已知函数()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()(),M t f t 处的切线方程；（2）设0a >，如果过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<.【解析】（1）由题意，()231f x x '=-，所以()231f t t '=-故曲线()y f x =在点M 处的切线方程为()()()3231y t t t x t --=--，整理得：()23312y t x t =--.（2）将点(),a b 代入()23312y t x t =--整理得：32230t at a b -++=①，过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线等价于关于t 的方程①有三个实数根，设()()3223g t t at a b t =-++∈R ，则()g t 有三个零点，易求得()()2666g t t at t t a '=-=-，因为0a >，所以()00g t t '>⇔<或t a >，()00g t t a '<⇔<<，从而()g t 在(),0-∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，故()g t 有极大值()0g a b =+，极小值()32323g a a a a a b a a b=-⋅++=-++所以()g t 有三个零点的充要条件是()()()()300g g a a b a a b =+-++<，故3a b a a -<<-，即()a b f a -<<.5.已知函数()323f x x x =-.（1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在三条直线与曲线()y f x =相切，求实数t 的取值范围；（3）过点()1,2A -、()2,10B 、()0,2C 分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?（只需写出结论）【解析】（1）由题意，()2216366222f x x x x x ⎛⎛⎫'=-=-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭当[]2,1x ∈-时，()2022f x x '>⇔-≤<-或212x <≤，()22022f x x '<⇔-<<，所以()f x 在2,2⎡--⎢⎣⎭上单调递增，在22⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，又323222f ⎛⎫⎛⎛-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11f =-，所以()12f f ⎛> ⎝⎭，故()f x 在[]2,1-.（2）设过点()1,P t 的直线与曲线()y f x =相切于点()3,23Q a a a -则该切线的方程为()()()322363y a a a x a --=--，将点()1,P t 代入整理可得：324630a a t -++=①，因为过点P 存在三条直线与曲线()y f x =相切，所以关于a 的方程①有三个不同的实数解，设()32463x x x t ϕ=-++()x ∈R ，则函数()x ϕ有三个零点，易求得()()21212121x x x x x ϕ'=-=-，所以()00x x ϕ'>⇔<或1x >，()001x x ϕ'<⇔<<，从而()x ϕ在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()x ϕ有极大值()03t ϕ=+，极小值()11t ϕ=+，所以()x ϕ有三个零点的充要条件是()()()()01310t t ϕϕ=++<，解得：31t -<<-，故实数t 的取值范围是()3,1--.（3）显然函数()y f x =的对称中心是原点，且函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-，如图，A 、B 、C 三点与函数()y f x =的图象的位置关系如图所示，由图可知过点A 、B 、C 分别可作曲线()y f x =的3条、2条、1条切线.。

过哪些点能够作三次函数图象的三条切线

过哪些点能够作三次函数图象的三条切线中图分类号：文献标识码：文章编号：2007年高考全国卷理22题为已知函数3()f x x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f x -<<．此题第（II ）小题的结论颇赖人寻味。

通过研读相关资料上所提供的“参考答案”能够发现：当0a >时，()a b f x -<<也是过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线的充分条件．并且易知y x =-为()y f x =在其对称中心(0,0)处的切线．于是，我们有如下更直观的结果：设函数3()f x x x =-，则过点(,)M a b ' （0a >）可作曲线C ：()y f x =的三条切线当且仅当点M '位于曲线C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的右侧区域内（边界除外）．（如图１）．我们更感兴趣的是，对于一般的三次函数，是否仍有类似结论？通过探索可知，答案是肯定的．定理过点M 可作三次函数图象C的三条切线，当且仅当点M 位于图象C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的左、右两个区域内（边界除外）．为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图1）负（如图2）画出相对应的示意图如下：____________________收稿日期：2007-08-图1　三次函数图2 三次函数证设三次函数为 32()f x ax bx cx d =+++ （0a ≠），点M 的坐标为00(,)x y ，点(,())A t f t 为三次函数()y f x =图象C 上的一点．则点A 处的切线方程为 ()()()y f t f t x t '-=-．于是，切线过点M ，等价于存有实数t ，使00()()()y f t f t x t '-=- (1) 注意到（1）是关于t 的三次方程（易知3t 的系数不为0），则过点M 可作C 的三条切线，当且仅当关于t 的方程（1）有三个相异的实数根．记 00()()()()g t y f t f t x t '=---，则 0()()()()()g t f t f t x t f t '''''=---+0()()t x f t ''=-02()(3)t x at b =-+．若03b x a=-，则20()6()g t a t x '=-，()g t 为R 上的单调函数，方程()0g t =有且仅有一个实数根．若03b x a ≠-，则()g t '在点0x 附近的函数值异号，在点3b a-附近的函图3 三次函数数值也异号，故0x 和3b a-都是()g t 的极值点．于是结合函数()g t 的单调性知，方程()0g t =有三个相异的实数根，当且仅当003()()03b x a b g x g a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪⋅-<⎪⎩即 000003[()][()()()]0333b x a b b b y f x y f f x a a a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪'-⋅----+<⎪⎩（2）由文[1]、[2]知，三次函数()y f x =的图象有唯一对称中心(,())33b b N f a a--．而C 在点N 处的切线l 的方程为 ()()()333b b b y f f x a a a'--=-+ 故直线0x x =与C 及l 的交点纵坐标分别为0()f x 及 0()()()333b b b f f x a a a '-+-+．因为03b x a≠-，故上述两纵坐标不相等。

三割线定理的简证与推广

三割线定理的简证与推广徐文平（东南大学南京210096）摘要：针对侯明辉三割线定理，提出简化证明方法。

运用极点和极线性质，探讨三割线定理的本质，验证三割线定理在圆锥曲线中的正确性。

1、三割线定理介绍定理1：PAB、PCD为圆的任意割线，AD与BC交于点Q，PQ连线与圆交于点E、F，则PQ调和分割EF，即1/PE+1/PF＝2/PQ图 1侯明辉先生发现并命名的三割线定理[1]，在平面几何中圆类问题的计算和论证方面有着广泛的应用，依靠这个定理解题的步骤可以大大的简化。

作者深受启发，探寻定理简证方法，并拟推广到圆锥曲线之中，供大家鉴析。

2、椭圆切线作法1）勒姆柯尔方法勒姆柯尔过椭圆外一点P，引四条割线PA i B i（i=1,2,3,4）,直线A1B2与A2B1交于Q点，直线A3B4与A4B3交于R点，直线Q R交椭圆于S、T两个点，则S、T是椭圆对应点P的两个切点，直线PS、PT就是所求的切线（图2）。

图 2 图 3 图 42）舒马赫方法大数学家高斯的朋友舒马赫不满足勒姆柯尔的方法，写信给高斯，信中说他找到了一个只需引三条割线就可以作椭圆切线的方法。

（图3）。

3）高斯方法高斯在收到舒马赫的信第六天，回信提出了一个只需引两条割线。

就可以作椭圆切线的简捷方法（图4）。

3、三割线定理的简证引理1：从圆外一点P ，引圆的两条切线和一条割线，S 、T 为切点，A 、B 点为割线与圆的交点，切点弦线ST 与PAB 割线交于Q 点，那么PQ 调和分割AB 。

图 5如图5，假设N 点为AB 的中点，分析得知，AB ⊥ON ，∴Q 、M 、N 、O 四点共圆，则 PO PM PN PQ ∙=∙∵ΔPOT 与ΔPMT 是相似三角形，PO PM PT ∙=2∵PB PA PT ∙=2，∴PB PA PN PQ ∙=∙∵()2/PB PA PN +=，∴PB PA PB PA PQ ∙=+∙2)( ∴PQ PB PA 211=+ 或 QBPB AQ PA = ∴ PQ 调和分割AB 。

三次函数性质总结

三次函数性质的研究我们已经学习了一次函数，知道图象是单一递加或单一递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间获得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单一性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单一递加；当k<0时函数单一递加；b决定函数与y轴订交的地点．此中运用的许多的一次函数不等式性质是： fx 0在[m，n]上恒建立的充要条件fm 0fn 0接着，我们相同学习了二次函数，图象大概以下：图1 图2利用已学知识概括得出：当时(如图1)，在对称轴的左边单一递减、右边单一递加，对称轴上获得最小值；当时(图2)，在对称轴的左边单一递加、右边单一递减，对称轴上获得最大值．在某一区间获得最大值与最小值．此中a决定函数的张口方向， a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴订交的地点．总结：一次函数只有一个单一性，二次函数有两个单一性，那么三次函数能否就有三个单一性呢？1三次函数专题一、定义：定义1、形如y ax3bx2cx d(a 0)的函数，称为“三次函数”（从函数分析式的构造上命名）。

定义2、三次函数的导数y 3ax2 2bx c(a 0)，把4b212ac叫做三次函数导函数的鉴别式。

因为三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热门和亮点。

特别是文科。

系列研究1：从最简单的三次函数yx3开始y反省1：三次函数y x31的有关性质呢？反省2：三次函数y x 3Ox 1的有关性质呢？反省3：三次函数y x31的有关性质呢？1（2012天津理）（4）函数f ()2xx32在区间(0,1)内的零点个数是B x（A）0（B）1（C）2（D）3系列研究2：研究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的性质：先求导f(x)3ax22bx c(a0)1．单一性：（1）若△(2b)212ac0，此时函数f(x)在R上是增函数；（2）若△(2b)212ac0，令f(x)3ax22bx c0两根为x1,x2且x1x2，则f(x)在(,x1),(x2)上单一递加，在(x1,x2)上单一递减。

与三次函数相关的结论及其证明

解题宝典三次函数是高中数学中常见的一类函数，很多高次函数问题都可以转化成三次函数问题,这就要求我们熟练掌握三次函数的图象和性质,深入研究三次函数的解析式、单调性、对称中心、极值、最值、切线等知识，总结一些与三次函数相关的结论.结论1.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是中心对称曲线，对称中心仍在该曲线上，且其坐标为(-b3a,f(-b3a))，此点的横坐标是其导函数的极值点.证法一：假设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d()a≠0关于点()m,n对称，其充要条件是对曲线上任意一点x∈R，都有f(m-x)+f(m+x)=2n，即[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n，整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2n,对应系数可得m=-b3a且n=am3+bm2+cm+d=d-bc3a+2b327a2，由n=f(m)知其对称中心(-b3a,f(-b3a))仍然在曲线上，所以三次函数是中心对称曲线，且对称中心为(-b3a,f(-b3a)).证法二：f(x)=ax3+bx2+cx+d=aæèöøx+b3a3+b23aæèöøx+b3a+2b327a2-bc3a+d，令函数h(x)=ax3+æèçöø÷c-b23a x，则函数h(x)是奇函数，其图象的对称中心为()0,0，故函数f(x)图象的对称中心为(-b3a,2b327a2-bc3a+d)，且该点(-b3a,f(-b3a))在三次函数曲线上.证法三：设∃m,n∈R使y=f(x+m)-n是奇函数，则f(-x+m)-n=-[]f(x+m)-n，化简得()3ma+b x2+am3+bm2+cm+d=0,则3ma+b=0,n=am3+bm2+cm+d，即m=-b3a,n=f(-b3a).故函数f(x)图象的对称中心为(-b3a,f(-b3a))，且在三次函数曲线上.证法四：f'(x)=3ax2+2bx+c图象的对称轴为x=-b3a，所以f'(x)=f'(-2b3a-x)，故∃C∈R，f(x)=-f(-2b3a-x)+C，则当x=-b3a时，有2f(-2b3a)=C，所以f(x)+f(-2b3a-x)=2f(-2b3a)，所以函数f(x)图象的对称中心为(-b3a,f(-b3a))，且在三次函数曲线上.证法五：f'(x)=3ax2+2bx+c=3aæèöøx+b3a2所以y=f(x)图象上切线斜率的最小值为k0=3ac-b23a≤f'(x)，不妨设3a>0，二次函数f'(x)在区间æèöø-∞,-b3a上单调递减，函数f(x)的图象在æèöø-∞,-b3a上是上凸的；二次函数f'(x)在区间æèöø-b3a,+∞上单调递减，函数f(x)的图象在æèöø-b3a,+∞上是下凸的.故导数的最小值点(-b3a,f(-b3a))是函数f(x)的拐点（横坐标为f'(x)=0的根且随着函数图象的凹凸性改变），即为函数f(x)的对称中心.该性质还可以运用待定系数法、配方法、构造法、积分法、微分法等来证明，同理可证明三次函数不是轴对称曲线.结论2.当b2-3ac≤0时，三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在x∈R上是单调函数；当b2-3ac>0时，三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在x∈R上有三个单调区间.证明:对函数求导可得f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),该导函数为二次函数,则Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac),当b2-3ac≤0时，△≤0,此时f'(x)≤0,三次函数高斌+3ac-b23a,c-42解题宝典y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上是单调函数；当b 2-3ac >0时，△>0，方程f '(x )=0有两个实根，三次函数y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上有三个单调区间.运用该结论，我们可以直接判断出三次函数的单调性和单调区间.结论3.当b 2-3ac ≤0时，三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上不存在极值点；当b 2-3ac >0时，三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上有两个极值点.证明：（1）当b 2-3ac ≤0时，由于不等式f ′(x )≥0恒成立，三次函数在x ∈R 上是单调函数，所以原方程仅有一个实根；（2）当b 2-3ac >0时，由于方程f ′(x )=0有两个不同的实根x 1,x 2，不妨设x 1<x 2，由a >0可知，(x 1，f (x 1))为函数的极大值点，(x 2,f (x 2))为极小值点，且函数y =f (x )在(-∞,x 1)和(x 2,+∞)上单调递增，在()x 1,x 2上单调递减.①若f (x 1)∙f (x 2)>0，则函数y =f (x )极大值点和极小值点在x 轴的同侧，图象与x 轴只有一个交点，所以原方程f ′(x )=0有且只有一个实根；②若f (x 1)∙f (x 2)<0，则函数y =f (x )极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程f ′(x )=0有三个不相等的实根；③若f (x 1)∙f (x 2)=0，则f (x 1)与f (x 2)中有且只有一个值为0，所以原方程有三个实根，其中两个相等（即有两个不相等的实根）.我们可以绘制出如下的表格.a >0图象f (x )=0根的个数与x 轴交点单调性极值b 2-3ac >0f (x 1)∙f (x 2)<0三个实根三个交点在(-∞,x 1)和(x 2,+∞)上为增函数，在(x 1,x 2)上为减函数有两个极值，f (x 1)为极大值，f (x 2)为极小值f (x 1)∙f (x 2)=0两个实根两个交点f (x 1)∙f (x 2)>0一个实根一个交点b 2-3ac ≤0一个实根一个交点在R 上为增函数无极值结论4.若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d ()a ≠0,x ∈[m ,]n ,x 0∈[]m ,n ,当f ′(x 0)=0时，f m a x ()x =max {f ()m ,f ()x 0,f ()n },f m i n ()x =min {f ()m ,f ()x 0,}f ()n .例1.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d ，下列结论中错误的是（）.A.∃x α∈R ，f (x α)=0B.函数y =f (x )的图象是中心对称图形C.若x α是f (x )的极小值点，则f (x )在(-∞,x α)上单调递减D.若x 0是f (x )的极值点，则f '()x 0=0解析：由三次函数的图象和性质知，A 、B 正确；若f (x )有极小值点，则f ′(x )=0有两个不相等的实数根x 1,x 2(x 1<x 2)，可得f ′(x )=3x 2+2bx +c =3(x -x 1)(x -x 2)，则f (x )在(-∞,x 1)上为增函数，在(x 1,x 2)上为减函数，在(x 2,+∞)上为增函数，故C 错，D 正确；本题应选C 答案.我们直接利用了结论1、3,便能快速得出正确答案.例2.已知函数f ()x =x 3-3x -1，若直线y=m 与y =f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.解析：由已知得f '()x =3x 2-3，由f '(x )=0解得x 1=-1,x 2=1.由f (x )的单调性可知，f (x )在x =-1处取得极大值1，在x =1处取得极小值-3.因为直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是(-3,1).要画出该三次函数的图象比较困难，我们可利用结论3求出函数的极大值和极小值，进而求得m 的取值范围.结论5.（1）设点P 为三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)图象上任意一点，则过点P 有且只有一条直线与y =f (x )的图象相切；（2）若点P 为三次函数曲线的对称中心，则过点43解题宝典。

N11.三次函数切割线的斜率关系

性质二：设 f ( x) = ax + mx(a ≠ 0) ，在函数上任意异于拐点的一点
3
A ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切线和三次函数交于另一点 B , A B 两点间三次函
数和切线所围成的封闭图形的面积 S =
27 4 ax0 4
问题引入：由性质一得知两个交点之间的关系，很自然的想到围成的面积是否有简单的关系。证明：由于任意三次函数经过平移后都能得到 f ( x) = ax3 + mx(a ≠ 0) 的形式，即关于原点对称的三次函数，只需研究此种情况，对于一般情况只需经过平移变换之后即可。因为面积是平移不变量。设 f ( x) = ax3 + mx(a ≠ 0) ，三次函数上除拐点外任意一点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切
A , B 两点的导数值相等，即 f ′ ( xA ) = f ′ ( xB ) ，由二次函数的性质得：
又因为 ⎜ − , f ⎜ − ⎟ ⎟ A , B 的横坐标关于 f ′( x) 的对称轴 x = − 3a 对称。 3a 3a
⎝
b
⎛
b
⎛ ⎝
b ⎞⎞ ⎠⎠
为 f ( x) 的对称中心，所以 A , B 关于 ⎜ − 线过拐点
1对三次函数其上除拐点外的任意一点axmx处函数的切线与此三次函数有且仅有两个交点一为的横坐标和三次函数拐点横坐标之差的比为定值axbxcxaxmx处的切线和三次函数交于另一点若对于一般情况函数对任意一点axbxcx处函数的切线均有三次函数和切线所围成的封闭图形的面积axmxam交点到的距离为其中为函数在拐点处的法线与三次函数的交点距切线的距离
k −m , a ⎛ k −m ⎞ k −m ) 和 (− , f⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a a ⎠ ⎝

过定点的三次函数图像切线条数问题

过定点的三次函数图像切线条数问题要研究过定点的三次函数图像切线的条数问题，需要首先了解三次函数的一般形式和性质，然后探讨在过定点的情况下切线可能的情况。

三次函数的一般形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为实数且a不等于0。

三次函数具有以下性质：1.三次函数的图像是一个非常光滑的曲线，没有拐点。

2.在自变量趋近正无穷或负无穷时，函数值也会趋近正无穷或负无穷。

3.在自变量趋近正负无穷时，函数值呈现与自变量同号的趋势。

4. 三次函数的导函数是一个二次函数，即f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。

考虑过定点的三次函数图像，即函数图像经过特定的点(x0,y0)。

根据函数性质，通过给定的点可以确定三次方程的另一条特殊直线。

这条直线与函数图像在给定点处相切，且切线斜率等于该直线的斜率。

切线的斜率等于函数在给定点处的导数值（即f'(x0)）。

根据情况的不同，过定点的三次函数图像可能有以下几种切线条数：1.一条切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)存在且唯一，那么函数图像在该点处只有一条切线。

这意味着图像在该点处与导函数图像相切，并且只有唯一的斜率满足这个条件。

2.两条切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)存在但不唯一，那么函数图像在该点处有两条切线。

这是因为存在两个斜率满足图像与导函数图像相切的条件。

3.无切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)不存在，那么函数图像在该点处无切线。

这是因为函数图像在该点处的斜率不存在，无法与导函数图像相切。

那么如何确定过定点的三次函数图像是否有多个切线呢？我们可以通过计算函数在给定点处的导数值来判断。

导数公式为f'(x) = 3ax^2 +2bx + c，将x0代入导数公式得到导数值f'(x0)。

若f'(x0)存在且唯一，即f'(x0) ≠ 0，那么函数图像在给定点处有一条切线。

三次函数的性质

三次函数的性质2015年11月13日意琦行数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解（1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）．练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1）根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。

三次函数切线问题)

三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。

设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。

若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。

证明设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。

1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1）∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223 即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ ab x x 22112--=代入（1）式得c ab bx ax k +-+=4214321212 讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c a b bx ax +-+421432121，得a b x 31-=， ∴ 当ab x 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。

当ab x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。

其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=- ))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则ab x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。

三次函数及其切割线的关系

三次函数及其切割线的关系曾文远中国/北京市/北京十一学校指导教师：潘国双本文共七章，主要研究了三次函数上一点的切线，割线和三次函数的关系；三次函数上一点切线，割线斜率的性质；三次函数图像的性质和分类；以及三次函数的一种新定义。

全文结构安排如下：第一章介绍了文章的研究背景，基本记号，一些基本定义，引理和定理。

第二章研究了三次函数上一点处的切线和该三次函数相交的问题。

包括切点，交点的坐标关系和切线与三次函数围成图形的面积。

第三章中类比圆锥曲线的极坐标形式，研究了三次函数上一点到一定直线距离的问题，并给出了三次函数新的定义形式。

第四章研究了三次函数图像的对称问题。

第五章研究了三次函数零点处切线斜率的性质，并利用范德蒙德行列式将部分结论推广到n次函数。

第六章研究了平面上一点和三次函数三个零点连线的斜率问题，并推广到n次函数。

第七章研究了三次函数的图像类型与其对应的三次方程的解之间的关系。

关键词：三次函数三次函数图像零点极值点拐点斜率切线割线对称中心面积n次函数范德蒙德行列式摘要1第一章4 1.1 4 第二章82.1 8第三章123.1 123.2 13第四章154.1 15附录参考文献致谢第一章…2.1 …3.1 …4.1 …附录参考文献[1]人教版高中数学必修1. 人民教育出版社,2007.[2]人教版高中数学选修1-1. 人民教育出版社,2007.[3]刘玉琏傅沛仁林玎苑德馨刘宁数学分析讲义（第五版）上册.高等教育出版社,2008.[4]卢刚线性代数第三版. 高等教育出版社,2009.[5]Wikipedia致谢感谢指导老师对我的鼓励与帮助.感谢我的家长和同学们，是他们的支持和鼓励给了我勇气和信心来完成这篇论文.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

三次函数零点切线斜率的关系

《三次函数零点切线斜率的关系》哎呀呀，咱今儿个来唠唠三次函数零点切线斜率的那点事儿，可有意思啦！先得知道啥是三次函数吧，就是那种函数表达式里最高次项是三次方的函数呀，比如y = ax³ + bx² + cx + d （a≠0）这样的式子。

这三次函数的图像呢，那可真是千变万化，有的像小山包，有的像大峡谷，各种各样的形状都有。

再说说零点吧，零点就是函数值等于零的时候，自变量x的值呀。

换句话说呢，就是三次函数的图像和x轴相交的那些点啦。

这零点可重要啦，它能告诉咱们好多关于函数的信息呢。

然后就是切线斜率啦，切线斜率是啥呢？想象一下啊，你在三次函数的图像上找一个点，然后在这个点上画一条刚好和图像相切的直线，这条直线的斜率就是切线斜率啦。

它能反映出函数在这个点附近的变化快慢呢。

那这三次函数的零点和切线斜率之间有啥关系呢？嘿，这关系可不简单哦！当三次函数有一个零点的时候，在这个零点处的切线斜率可能是各种各样的情况。

有时候切线斜率是正的，那就说明在这个零点附近，函数是往上走的趋势，就好像你在爬山，刚到山脚下那个零点，然后接下来要往上爬啦。

要是切线斜率是负的呢，那就表示在这个零点附近，函数是往下走的趋势，就好比你站在山顶，这个零点就是山顶那个点，接下来要往下走咯。

要是三次函数有两个零点呢，这两个零点处的切线斜率又有不同的情况啦。

可能一个零点处切线斜率是正的，另一个零点处切线斜率是负的，这就意味着函数在这两个零点之间的变化是先往上走然后再往下走，或者先往下走然后再往上走，就像坐过山车一样，一会儿上一会儿下的。

要是有三个零点呀，哎呀，那情况就更复杂啦。

这三个零点处的切线斜率可能有的是正的，有的是负的，而且它们的大小也各不相同。

这就使得函数在这三个零点周围的变化更加多样化啦，可能这边是缓缓上升，那边是急剧下降，各种情况都有可能出现呢。

而且哦，三次函数的零点和切线斜率的关系还和函数的系数有关呢。

不同的系数会导致函数图像的形状不同，进而影响到零点的位置和切线斜率的大小。

三次函数切线条数结论

三次函数切线条数结论1. 三次函数的基本概念说到三次函数，大家一定不会感到陌生吧？就是那种形状好像大波浪的数学函数，通常写成 (f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d)。

你可以想象它在平面上画出一道美丽的曲线，就像一条自由自在的河流，时而蜿蜒，时而飞腾。

这个函数的特点就是，它能有最多三个根，也就是说，它能和x轴相交最多三次，哇，想想都觉得很酷呢！而且，三次函数的图像往往有个山头和个山谷，简直像一场精彩的冒险，随时都有惊喜。

2. 切线的含义好了，咱们再来说说切线。

切线就是那条与曲线在某一点上"亲密接触"的直线，直截了当地说，就是在那一点的斜率与曲线的斜率一模一样。

想象一下，你在海边玩耍，突然来了个朋友，他跑得飞快，想要跟你肩并肩，你们就这样一瞬间保持一致，那种感觉就是切线的美妙之处！对于三次函数来说，切线的数量可是个挺有意思的话题。

2.1 三次函数的切线数量要知道，三次函数的切线条数可不是一成不变的。

根据它的根的个数和性质，切线的数量也是千变万化！如果你有一个三次函数的图像，假设它有三个不同的根，那么它与x轴的交点多得很，切线的数量也就可以达到最多三条。

这就像你在朋友聚会上，三个人同时想要跟你聊天，你当然是热闹非凡了！2.2 重根与切线的关系不过，话说回来，如果这三根中有重根，那情况就不同了。

比如说，如果有一个重根，那么在那一点上，切线就会出现重叠的现象。

简单来说，就是你和那个朋友“并肩跑”的时候，他可能跟你说：“哎呀，我这次不想跟你并排了，我就贴着你走吧！”这样的话，切线的数量就会减少。

3. 结论与应用最后，我们来总结一下：三次函数的切线条数跟根的情况密切相关。

如果根都是不同的，最多可以有三条切线；如果有重根，那就少了一条，甚至可能只有一条。

这个规律简直就像生活中的一些道理：有时候，朋友之间的相处就是这样，有的人来了又走，有的人却会一直陪在身边，温暖而坚定。

3.1 日常生活中的应用那么，这个结论在生活中有什么用呢？比如说，当我们在做一些数据分析时，可能会用到三次函数来拟合一些复杂的现象。

三次函数图象上点的切线条数

三次函数图象上点的切线条数
三次函数图象上点的切线条数是数学中一个很重要的概念，它在许多应用领域中被广泛使用。

本文将简要介绍三次函数图象上点的切线条数的概念，并讨论它在实际中的应用。

三次函数图象上点的切线条数，也称为切线的度数，是指在三次函数图象上的某点处，其切线的条数。

由于三次函数图象的复杂性和细微差别，它的切线条数通常由切线的性质来确定，它的切线条数和图象的凹凸性有关。

如果给定的三次函数图象是凸的，则其上的每一点都有切线；如果给定的三次函数图象是凹的，则有些点不存在切线。

三次函数图象上点的切线条数在微积分中有着重要的应用。

因为它可以直接决定函数在某点的变化趋势，从而可以用来判断函数的单调性。

从函数的变化趋势可以得到函数在极值点处的增减性，进而可以求出函数的极值点。

另外，三次函数图象上点的切线条数也可以用来解决微积分中有关曲线定积分及极限的问题。

三次函数图象上点的切线条数还有其他应用，比如机械制造、工程设计、数字信号处理等。

在机械制造中，三次函数图象上点的切线条数可以应用于设计曲面夹具和曲线管路；在工程设计中，它可以用来计算结构物的载荷分布；在数字信号处理中，它可以用来求解信号的频率范围和时间响应。

因此，三次函数图象上点的切线条数的确是一个重要的概念，它在数学及其应用领域中都有着广泛的应用。

如果想要研究切线条数的相关知识，推荐大家学习计算机图形学、微积分、机械设计等课程。

谈谈三次曲线的切线问题 (2019高考)数学考点分类解析

解由题设得，所以当确定时，也唯一确定.所以由知，数列是唯一确定的.
可以观察出满足题设的所有条件，所以数列是满足题设的唯一数列，得 .
另解因为 ①
由题设得，再由①知是唯一确定的数列 .再同上得 .
题5 (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列的前项和为，已知，且 N*)，其中为常数.
(3)①因为点不在曲线上，所以可设切点为，得
或
所以可得过点存在3条直线与曲线相切．
②因为点在曲线上，所以点可以是切点也可以不是切点．
当点是切点时，曲线过点的切线是1条．
当点不是切点时，可设切点为，得
所以此时过点的切线是1条．
得过点存在2条直线与曲线相切．
③因为点不在曲线上，所以可设切点为，得
(1)求与的值；
(2)证明数列为等差数列；
解(1) .
(2) N*)， ②
所以是唯一确定的数列，也是唯一确定的数列.
又由知，若为等差数列，则，于是 .
容易验证满足②，所以题中的，为等差数.
题6 已知数列满足，求；
解首先，由首项及递推关系知，满足题意的数列是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.
例谈用验证法解题
——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解
题1解方程：(1) ；(2) ；(3) .
解(1)容易观察出均是该方程的解.
按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.
而已经找到了原方程的两个解，所以这两个解就是原方程的所有解.

三次函数总结

三次函数总结三次函数三次函数基本概念与性质形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,b,c,d为常数)的函数叫做三次函数(cubics function)。

三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线（不同于普通抛物线），具有比较特殊性。

目录二.零点求法三.三次函数性态的五个要点四.三次函数对称中心五.其他性质二.零点求法求函数的零点可用盛金公式、盛金判别法、或传统解法盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

1.盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。

当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1= (－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3= (－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<t<1)。

三次函数及其切割线的关系

三次函数的对称中心与切线条数

三次函数切线问题

三次函数切线专题

第18讲 三次函数的切线条数(解析版)

过哪些点能够作三次函数图象的三条切线

三割线定理的简证与推广

三次函数性质总结

与三次函数相关的结论及其证明

N11.三次函数切割线的斜率关系

过定点的三次函数图像切线条数问题

三次函数的性质

三次函数切线问题)

三次函数及其切割线的关系

三次函数零点切线斜率的关系

三次函数切线条数结论

三次函数图象上点的切线条数

谈谈三次曲线的切线问题 (2019高考)数学考点分类解析

三次函数总结

第18讲三次函数的切线条数(解析版)