2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-2)学业分层测评 第1章 导数及其应用 1.1.1、1.1.2 Word版含答案

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．4
【解析】由已知得：错误!＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.
【答案】 B
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，
v＝s′(1)＝lim
Δt→0
(－3Δt－6)＝－6.
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx
＝( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以Δy
Δx＝错误!＝4＋2Δx.
【答案】 C
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
【解析】∵f′(x0)＝lim
Δx→0错误!
＝lim
Δx→0错误!
＝错误!(a＋bΔx)＝a，
∴f ′(x 0)＝a .
【答案】 C
5．设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx→0
错误!＝1，则f ′(x 0)等于( ) A ．1
B ．－1
C ．－13
D.13
【解析】 ∵lim Δx→0
错误! ＝lim Δx→0
[错误!·(－3)] ＝－3f ′(x 0)＝1，
∴f ′(x 0)＝－13.
【答案】 C
二、填空题
6．若f ′(x 0)＝1，则lim k→0
错误!＝__________. 【导学号：05410003】
【解析】 lim k→0
错误! ＝－12lim k→0
错误!＝－错误!f ′(x 0)＝－错误!. 【答案】 －12
7．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图1-1-1所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________．
图1-1-1
【解析】 ∵v 1＝错误!＝k MA ， v 2＝错误!＝k AB ， v 3＝错误!＝k BC ，
由图象可知：k MA <k AB <k BC ，
∴v3>v2>v1.
【答案】v3>v2>v1
8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．【解析】物体的速度为v＝s′(t)，
∴s′(t)＝lim
Δt→0错误!
＝lim
Δt→0错误!
＝lim Δt→02Δt－6tΔt－3Δt2
Δt
＝2－6t.
即v＝2－6t，
所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s附近的平均速度．
【解】v＝Δs
Δt＝错误!
＝错误!
＝(25＋3Δt)m/s，
即该物体在4 s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.
10．求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．
【解】因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx
＋(Δx)2，故Δy
Δx＝错误!＝(2x＋a)＋Δx，
lim Δx→0Δy
Δx＝lim
Δx→0
(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.
[能力提升]
1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．3 3
【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴Δy
Δx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)
2，
∴f′(x0)＝lim
Δx→0
[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20，
由f′(x0)＝3，得3x20＝3，∴x0＝±1.
【答案】 C
2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么lim
x→0错误!
＝( )
A.1
2B．1
C．2 D.1 4
【解析】因为f′(1)＝1，所以lim
x→0错误!
＝1，
所以lim
x→0错误!
＝错误!错误!错误!＝错误!.
【答案】 A
3．已知f′(x0)>0，若a＝lim
Δx→0错误!
，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，
d＝lim
Δx→0错误!
，e＝错误!错误!，
则a，b，c，d，e的大小关系为__________．
【解析】a＝lim
Δx→0错误!
＝f′(x0)，
b＝lim
Δx→0错误!
＝－lim
Δx→0错误!
＝－f′(x0)，
c＝lim
Δx→0错误!
＝2lim
Δx→0错误!
＝2f′(x0)，
d＝lim
Δx→0错误!
＝f′(x0)，
e＝lim
x→x0错误!
＝f′(x0)．
即c>a＝d＝e>b.
【答案】c>a＝d＝e>b
4．某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝2
3x
3＋x2＋2x.
(1)求在第1 s内的平均速度；
(2)求在1 s末的瞬时速度；
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?
【解】(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为错误!＝错误!m/s.
(2)Δy
Δx＝错误!
＝错误!
＝6＋3Δx＋2
3(Δx)
2.
当Δx→0时，Δy
Δx→6，
所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.
(3)Δy
Δx＝错误!＝
错误!
＝2x2＋2x＋2＋2
3(Δx)
2＋2x·Δx＋Δx.
当Δx→0时，Δy
Δx→2x
2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2，
即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.。