2019届山东省济南市山东高三第四次模拟数学（文）试题

2019届山东省济南市山东师范大学附属中学高三第四次模拟
数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】化简集合，根据交集的定义写出.
【详解】
集合，
则
本题正确选项：
【点睛】
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2．命题，的否定是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案
【详解】
全称命题的否定为特称命题，命题，的否定是，，故选：C．
【点睛】
本题考查了命题的否定，属于基础题．
3．在中，O为AC的中点，若，则
A．1 B．C．D．
【答案】A
【解析】根据为的中点，即可得出，根据平面向量基本定理即可
【详解】
如图：
为的中点
又
则：
本题正确选项：
【点睛】
考查向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理．
4．在等差数列中，，则数列的前11项和
A．8 B．16 C．22 D．44
【答案】C
【解析】根据题意，由等差数列的性质可得，进而结合等差数列的前项和公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，在等差数列中，
则
则有
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等差数列的前项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．5．若向量，满足，，，则与的夹角为
A．B．C．D．
【解析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由向量垂直的充分必要条件有：，
即，据此可得：，
设与的夹角，则：,
故,即与的夹角为.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由三视图可知高为,应选B
7．函数，则
A．B．2 C．e D．
【答案】D
【解析】推导出，从而，由此能求出结果．
函数
本题正确选项：
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．若变量x，y满足约束条件，且的最大值为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【详解】
作出约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示：
由得
平移直线
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大
此时最大
由，解得，，即
代入目标函数得
即目标函数的最大值为
本题正确选项：
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
9．函数的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】先根据函数的奇偶性，可排除B ，C ，根据函数值的符号即可排除D ． 【详解】
，
函数为奇函数，
函数的图象关于原点对称，故排除B ，C ， 当
时，
，
，
单调性是增减交替出现的，故排除，D ， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题． 10．已知抛物线2
:4C y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且2AF >，则A 点到原点的距离为（ ） A ．3 B ．42 C ．4 D ．3【答案】B
【解析】试题分析：设(,)A x y ，则
2
1
155
44144
y x y y y y ++=⇒=⇒==或（舍AF>2）
，所以(4,4)A ，到原点的距离为
42B ．
【考点】抛物线定义
【方法点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离
处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标． 2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2
＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋
2
p
；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长为|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
11．过双曲线的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，的面积为
，则双曲线的离心率为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】令，代入双曲线方程可得，由三角形的面积公式，可得的关系，
由离心率公式计算可得所求值． 【详解】
右焦点设为，其坐标为
令，代入双曲线方程可得
的面积为
可得
本题正确选项： 【点睛】
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题． 12．已知三棱锥中，，
，
，
，则该三棱锥
的外接球的体积为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】利用所给条件容易得到，
为直角三角形，故
中点为外接球球心，
从而可求解出结果．
如图：，，
的中点为外接球球心
故外接球半径为
体积
本题正确选项：
【点睛】
此题考查了三棱锥外接球问题，关键在于能够确定外接球球心的位置，要知道直角三角形外接圆圆心在斜边中点上．
二、填空题
13．设是等比数列的前n项和，若，则______．
【答案】
【解析】根据题意，设等比数列的公比为q，由等比数列前n项和的性质可得
，解可得，进而可得，相比即可得答案．
【详解】
根据题意，设等比数列的公比为q，
若，则，解可得，
则，
则；
故答案为：．
本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前n 项和公式，属于基础题． 14．若3sin sin 1αβ-=-
， 1
cos cos 2
αβ-=，则()cos αβ-=__________． 【答案】
3
【解析】将已知条件两边平方得227
sin sin 2sin sin 34
αβαβ+-=
-， 221
cos cos 2cos cos 4
αβαβ+-=
，两式相加化简得()3cos αβ-=.
15．已知圆与直线
相交所得弦
的长为，则
____________. 【答案】 【解析】圆化为标准式:,圆心为(1,2)半径为2,由
弦
的长为,可知直线过圆心即可得出a 值.
【详解】 圆
化为标准式:
,圆心为(1,2)半径为2,由弦
的长
为,可知直线过圆心,所以 解得
.
故答案为-1. 【点睛】
本题考查了直线与圆的相交弦问题，由圆的方程得知圆心与半径，结合弦长可知直线正好过圆心，这是本题特色所在. 16．定义在R 上的奇函数
的导函数满足
，且
，若
，则不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】由题意知，，再令，从而求导，从而可判断
单调递减，从而可得到不等式的解集.
【详解】
的周期为
定义在上的奇函数
①时，令，则
，即单调递减
又
不等式的解集为
②时，
时，不等式成立
综上所述：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．易错点在于忽略的情况，导致解集不完整.
三、解答题
17．已知．
求的解析式及单调递增区间；
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】试题分析：（1）利用数量积的坐标运算可以得到，再逆用二倍角公式和两角和的正弦得到，最后令
解出的范围即为的单调递增区间.（2）根据
可以得到，再用余弦定理求出，故面积为.
解析：（1）因为，令，解得，所以的单调递增区间为.
，，解得.由余弦定理可知
，所以，故，所以.
18．数列的前项和为，已知，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1) 2n−1；（2）Tn=6+(2n−3)×．
【解析】试题分析：（1）因为，变形后为也即是，所以是一个等差数列且公差为2，再利用成等比数列可以得到，所以的通项为.（2）计算可得，它是等差数列和等比数列的乘积，用错位相减法求其前项和.
解析：（1）因为，所以，故数列是公差为的等差数列；又成等比数列，所以
，解得，故
.
（2）由（1）可得：，故
，
又，
由错位相减法得：
，
整理得：.
19．在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，是等腰三角形，，E是AB上一点，且三棱锥与四棱锥的体积之比为1：2，
1求证：平面平面PAD；
2若三棱锥的体积为，求线段AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】（1）先证平面，再得面面垂直；（2）把体积比转化为线段比，求得，进而得，再利用所给体积求解即可．
【详解】
（1）证明：平面
底面是矩形
平面
平面平面
（2）三棱锥与四棱锥的体积之比为
设，，则
得
又
得
得，即
【点睛】
此题考查了立体几何中面面垂直的证明，棱锥体积求解问题，难度适中．
20．已知函数．
1求的单调递增区间；
2若，求实数x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）求导，根据导函数正负即可得到单调性；（2）将写成，再根据（1），利用函数的单调性求得实数的取值范围．
【详解】
（1）由已知得的定义域为
函数
，
当时，
即在区间上单调递增
（2）函数
由（1）知在区间上单调递增，又，
可得
解得：或
故实数的取值范围为
【点睛】
本题考查利用求导的方法判断函数的单调性、利用单调性求解不等式问题，易错点在于求解不等式时，忽略了定义域的要求，导致求解的解集不准确.
21．已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为2．
1求椭圆的方程；
2如图，点A为椭圆上一动点非长轴端点，的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求面积的最大值．
【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）面积的最大值为
【解析】试题分析：（1）由题意得，再由，
标准方程为；（2）①当的斜率不存在时，不妨取
；②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组
，又直线的距离点到直线的距离为
面积的最大值为.
试题解析：（1）由题意得，解得，
∵，∴，，
故椭圆的标准方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取
，
故；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，
化简得，
设
点到直线的距离
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
∴
综上，面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立
方程组求得标准方程为；（2）利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得
，再求得点到直线的距离为
面积
的最大值为.
22．已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面
直角坐标系，直线L的参数方程为为参数
写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；
设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设为上任意一点，求
的最小值，并求相应的点M的坐标．
【答案】（1），；（2）当M为或时原式取得最小值1.
【解析】试题分析：（1）由直线的参数方程为，消去参数即可求得直线的方程；由即可求得圆的方程为；
（2）先跟据伸缩变换得到曲线的方程，然后设点为带入
，再根据三角函数的性质即可求得结果.
试题解析：（1），故圆的方程为
直线的参数方程为，直线方程为
（2）由和得
设点为则
所以当或时，原式的最小值为.
【考点】极坐标方程；参数方程的应用.
23．已知实数，，函数的最大值为3．求的值；
2设函数，若对于均有，求a的取值范围．
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1）根据绝对值的性质求出的最大值是，从而求出的值即可；（2）根据的范围，问题转化为在恒成立，结合函数的单调性求出的范围即可．
【详解】
（1）
，
（2）由（1）得，，
，，
此时：
若对于均有
即在恒成立
即在恒成立
对称轴，故只需即可
解得：，故
【点睛】
本题考查了绝对值的性质，考查绝对值不等式的解法以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．。