宁夏青铜峡市高级中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理

宁夏青铜峡市高级中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题
理
一：选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定为 （ ） A ．x R ∀∈，3210x x -+≤ B ．0x R ∃∈，3210x x -+<
C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤
D ．不存在x R ∈ ，3210x x -+>
2. 已知双曲线2219x y m
-=的一条渐近线方程为2
3y x =，则双曲线的焦距为 （ ）
A
B ．10
C ．
D ．3.下列结论错误的是( )
A.命题“若x 2
－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2
－3x －4≠0” B.“x ＝4”是“x 2
－3x －4＝0”的充分条件
C.命题“若m >0，则方程x 2
＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m 2
＋n 2
＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2
＋n 2
≠0，则m ≠0或n ≠0”
4.二项式
10
2
)2x x +（展开式中的常数项是（ ）
A ．180
B ．90
C ．45
D ．360
5．某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的k 的值是( ) A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7
6．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有（ ）
A ． 180种
B ． 360种
C ． 15种
D ． 30种
7．若a 是从区间[0,20]中任取的一个实数,则函数42+-=ax x y 无零点的概率是( )
A ． 0.3
B ． 0.4
C ． 0.1
D ． 0.2
8．在长方体1111D C B A -ABCD 中，BC AB ==1，3AA 1=，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )
A ．
22 B ．55 C ．6
5
D ．51
9. 设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 （ ）
A ．
2
B ．
1
2
C 1
D ．210．A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A ，B 两人的平均成绩分别是,A B x x ，观察茎叶图，下列结论正确的是（ ）
A ． A
B x x <，B 比A 成绩稳定 B ． A B x x >，B 比A 成绩稳定
C ． A B x x <，A 比B 成绩稳定
D ． A B x x >，A 比B 成绩稳定 11．如图，已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD
是边长为1的正方形，12AA =， 0
11120A AB A AD ∠=∠=， 则线段1AC 的长为（ ）
A ．1
C ．2
D 12．椭圆19
y 36x 22=+的一条弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（ ）
A ．02=-y
x B ．42=+y x C ．1432=+y x D ．82=+y x
二：填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上 13.有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中男生必须排在一起，则不同的排法种数有 种。

（用数字做答）
14．某校共有教师100人，男学生400人，女学生300人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n= ． 15．若点)32,(m p 在以F 为焦点的抛物线x y 42
=上，则PF 等于_________．
16. 已知命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：0x R ∃∈，2220x ax a ++-=，
若“p q ∧”为真命题，则实数a 的取值范围是_____________.
三：解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（本题10分）
（1）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（2）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（3）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
18．某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表（本题12分）：
（1）根据2至6月份的数据，求出每月的销售额关于月份的线性回归方程；（2）根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度（7,8,9月份）这种新药的销售总额.
（参考公式：，）
2
1
2
1
ˆ
-
=
-
-
=
-
-
=
∑
∑
x
n
x
y
x
n
y
x
b
n
i
i
n
i
i
i
-
∧
-
-
=x
y
a b
ˆ
19．（本小题满分12分）
我校从高二年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40,50)，[50,60)，…,[90,100)后得到如图的频率分布直方图．
(1)求图中实数a 的值；
(2)试估计我校高二年级在这次数学考试的平均分;
(3)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100) 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
20．已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为22
,短轴一个端点到右焦点的距离为
22.（本题12分）
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若直线y=x-1与椭圆C 交于不同的两点A,B ，求OB A ∆(O 为坐标原点)面积.
21．（本题12分）如图，菱形ABCD 的边长为4，
60=∠DAB ，矩形BDFE 的面积为8,且平面BDFE ⊥平面ABCD.
(1)证明：AC ⊥BE ；
(2)求二面角E-AF-D 的正弦值.
22.（本题12分）已知点P 是圆1F ：8)1(22=++y x 上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线与1PF 交于M 点． （1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）过点)3
1
,0(G 的动直线l 与点M 的轨迹交于B A ,两点，在y 轴上是否存在定点Q 使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
市高级中学2018-2019学年（一）期末考试高二年级
数学测试卷（理科）答案
一：选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）
二：填空题(20分，每小题5分） 13 720 14 200 15 4 16 21-≤=a a 或
三：解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （10分） （1）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （2）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（3）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; 解：（1）有序不均匀分组问题.共有
. 4分
（2）有序均匀分组问题.共有分配方式 (种). 4分
（6）有序部分均匀分组问题.,共有分配方式 (种) 2分
18．（本题12分）某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表：
2
1
21ˆ-=-
-=--=∑∑
x
n x
y
x n y x b
n
i i
n
i i i （1）根据2至6月份的数据，求出每月的销售额关于月份的线性回归方程
；
（2）根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度（7,8,9月份）这种新药的销售总额.
（参考公式：，）-
∧-
-=x y a
b ˆ
解：（1）由题意得：
，
故每月的销售额关于月份的线性回归方程
. 8分
（2）因为每月的销售额关于月份的线性回归方程，
所以当时，
；当时，
；
当
时，
，
则该药企今年第三季度这种新药的销售总额预计为万元. 12分
19.（本小题满分12分）
我校从高二年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40,50)，[50,60)，[90,100)后得到如图的频率分布直方图． (1)求图中实数a 的值；
(2)试估计我校高二年级在这次数学考试 的平均分; 和为，得
，
∴；．．．．．．3分
(2) 74
1.09525.0853.075
2.0651.05505.045=⨯+⨯+⨯+
⨯+⨯+⨯=x
6分
(3) 数学成绩在的学生人数：
人， 数学成绩在[)10090，的学生人数：
人， 8分
设数学成绩在的学生为，；
数学成绩在
的学生为，，，；从名学生中选两名学生的结果有：，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．共
种；．．．．．．．．．10分
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的情况有：
，
，
，
，
，
，
共种；．．．．．．．．．．11分
∴抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的概率为
．．．．．．．12分 20．（本题12分）已知椭圆C:( )的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距
离为
.
(1)求椭圆的方程; (2)若直线
与椭圆交于不同的两点
，求
(O 为坐标原点)面积.
解：椭圆的方程
，则
由短轴一个端点到右焦点的距离为
，可知
，故
已知离心率为，即，故c=2，·
椭圆的方程为 5分
（2）设·
联立方程，消去，并整理得：· 7分
=· 9分即：,又点O到直线AB的距离，， 11分
. 12分
.21．（本题12分）如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为，且平面平面.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
(1)证明：因为四边形是矩形，所以.
因为平面平面，且平面平面，
所以平面.
又平面，所以. 5分
(2)解：设与的交点为，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为菱形的边长为4，且，所以.
因为矩形的面积为8，所以.
则，，
，
， 所以，，
.
设平面
的法向量为
，
则，
令，则
，
，所以
. 8分
设平面
的法向量为
，
则， 令
，则
，
，所以
. 10分
所以，所以. 12分
所以二面角的正弦值为.
22.（本题满分12分）已知点P 是圆1F ：8)1(22=++y x 上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线与1PF 交于M 点． （1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）过点)3
1
,0(G 的动直线l 与点M 的轨迹交于B A ,两点，在y 轴上是否存在定点Q 使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． ．解：（1）由题意得2||22||||||||||211121=>==+=+F F P F MP MF MF MF ， ∴点M 的轨迹C 为以21,F F 为焦点的椭圆 ∵22,222==c a ， ∴1,2222=-==c a b a
∴点M 的轨迹C 的方程为12
22
=+y x ．．．．．．5分
（2）当直线l 的斜率存在时，可设其方程为3
1
+
=kx y ，设),(),,(2211y x B y x A 联立⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==+3112
22
kx y y x 可得01612)21(922=-++kx x k ，
由求根公式可得)
21(916
,)21(3422
1221k x x k k x x +-=⋅+-
=+．．．．7分 假设在y 轴上存在定点),0(m Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点， 则BQ AQ ⊥即0=⋅
∵),(),,(2211y m x BQ y m x AQ --=--=
))((2121y m y m x x --+=⋅
0)
21(9)1569()1818(9
1
32))(31()1()
31
)(31(2
2222212122121=+--+-=+-++-++=----+=k m m k m m m x x m k x x k kx m kx m x x ．．．．．10分
由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0
156********
m m m 解得1-=m ∴在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点．．．．．．12分 当直线l 的斜率不存在时，经检验可知也满足以AB 为直径的圆恒过点)1,0(-Q ．
因此在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点．．．．12分。