2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题2.7几何体与球切接的问题(讲)含解析

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测
热点七 几何体与球切、接的问题
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到
就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见.
首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
1 球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1.1 球与正方体
如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2
a
OJ r ==
；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则2
2
GO R a ==
；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13
A O R '==
.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题
.
（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =.
（2）正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有23r a =.
（3）正方体的棱切球，如图3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：
设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r =
.
例 1【2018届福建省三明市A 片区高中联盟校高三上学期期末】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. 4π
B. 8π
C. 10π
D. 12π 【答案】D
1.2 球与长方体
例 2 自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求2
2
2
MC MB MA ++的值．
【答案】24R .
【解析】以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．
例 3【2018届二轮复习专题】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­A BC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P­ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A. 8π B. 12π C. 20π D. 24π 【答案】C
2 球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1正四面体与球的切接问题
（1） 正四面体的内切球，如图4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有6
43
R h ==
；（可以利用体积桥证明）
（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有436R h a ==；（可用正四面体高h 减
去内切球的半径得到）
（3） 正四面体的棱切球，如图6. 位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有6
432,.3
R h a h ==
=
例 4【2018届广西防城港市高三1月模拟】各面均为等边三角形的四面体ABCD 的外接球的表面积为3π，过棱AB 作球的截面，则截面面积的最小值为__________． 【答案】
2
π
【解析】将四面体放回一个正方体中,使正四面体的棱都是正方体的面对角线,那么正四面体和正方体的外接球是同一个球,当AB 是截面圆的直径时,截面面积最小.
因外接球的表面积为3π,3,3棱长为1,2,截面圆面积最
小值为2
222π
π⎛⨯= ⎝⎭
.
点评：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. 2.2其它棱锥与球的切接问题
球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.
例5【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底】已知边长为3ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ） A ．25π B ．26π C ．27π D ．28π 【答案】D
图2
图1
G
O
E
A
C
E
D
C
B
A
例6【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）】某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示, 它的府视图的直观图是'''A B C ,如图（2）所示, 其中0''''2,''3A O B O C ===,则该几何体的外接球的表面积为 ．
【答案】
1123
π
【解析】
由斜二测画法易知，该几何体的俯视图是一个边长为4的等边三角形,再结合正视图和侧视图可知，该几何体是如下图所示的高为4的三棱锥D －ABC ，将其补形为三棱柱ABC-EDF,设球心为O ，EDF ∆的中心为1O ，则
1243sin 6033O
E DE =
=,
所以该几何体的外接球的半径R OE ====其表面积为2
11243
S R π
π==
.
E
D
B
A
例7【2018届山西省太原十二中高三上学期1月】在四棱锥P ABCD -中， PC ⊥底面ABCD ，底面为正方形，
//QA PC ， PBC AQB ∠=∠= 60，记四棱锥P ABCD -的外接球与三棱锥B ACQ -的外接球的表面积分别
为12,S S ，则
2
1
S S =___． 【答案】
157
【解析】设正方形的边长为a ，设2O 为CQ 的中点，因为PC ⊥平面ABCD ，而,CD CB ⊂平面ABCD ，所以,PC CD PC CB ⊥⊥，又//AQ PC ，故,A Q C D A Q C B ⊥⊥
，又C D C B C ⋂=
，故AQ ⊥平面ABCD ， AC ⊂
平面ABCD ，所以AQ AC ⊥，故QAC ∆为直角三角形， CQ 为斜边，所以222QO CQ AQ ==．同理QAC ∆也为直角三角形，结合60AQB ∠=︒ ，所以3
3
AQ a =
，又CB BA ⊥， AQ AB A ⋂=，所以CB ⊥平面AQB ， QB ⊂平面AQB ，所以CB QB ⊥， QBC ∆为直角三角形，所以22BO QO =， 2O 为三棱锥B AQC - 外接球
的球心，且半径2221112122236R QC a a a =
=+=．同理设1O 为AP 的中点，则1O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，且半径2211152322R AP a a =
=+=，所以1252115::4367S S ==．填15
7
．
点睛：球的半径的计算，关键在球心位置的确定，三棱锥B AQC -中,QAC QBC ∆∆均为直角三角形，因此外接球的球心就是QC 的中点，因为它到四个顶点的距离是相等的．同理四棱锥P ABCD -外接球的球心就是AP 的中点．
3 球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.
例8 已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球 的半径为 . 【答案】
6
11
【解析】如图：设四个球的球心分别为A 、B 、C 、D ，则AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB 中点为E 、 CD 中点为F ，连结EF.在△ABF 中求得21，在△EBF中求得EF=3由于对称性可得第五个球的球心O 在EF 上，连结OA 、OD.设第五个球的半径为r ，则OA=r+3，OD=r+2， 于是2=+6r r ，()
2
22+22=+4r r r -
2++4=23r r ⇒22+6=23+4r r r r
211+6036=0r r -解得6=
11r 或6-（舍掉），故答案为611
.
C
例9 把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与 前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 【答案】3
6
22+
.
4 球与几何体的各条棱相切问题
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.
如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24
r a '=
. 例10 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ） A ．
B ．10 cm
C ．2cm
D ．30cm
【答案】
【解析】如图所示，由题意球心在AP 上，球心为O ，过O 作BP 的垂线ON 垂足为N ，ON=R ，OM=R ，因为各个棱都为
20，所以AM=10，BP=20,BM=10，AB=,设BPA α∠=，
在Rt ∆BPM 中，222BP BM PM =+,所以3PM =.在Rt ∆PAM 中, 222PM AM AP =+,所以
PA =在Rt ∆ABP 中, 22sin 202AB BP α===，在Rt ∆O NP 中, sin ON R OP OP
α==,所以
R OP =2OP R =.在Rt ∆OAM 中, 222OM AO AM =+,所以，
222)100R R =+,解得，10R =或30（舍）,所以，10,R cm =故选B.
5 球与旋转体切接问题
首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．
例11 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
【答案】964∶∶∶∶
锥柱球=V V V 【解析】如图，等边SAB ∆为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球的大圆圆1O ． 设球的半径R OO =1，则它的外切圆柱的高为R 2，底面半径为R ；
R O O OB 330cot 1=︒⋅=， R R OB SO 33360tan =⋅=︒⋅=， ∴334R V π=球，3222R R R V ππ=⋅=柱， 3233)3(3
1R R R V ππ=⋅⋅=锥， ∴964∶∶∶∶
锥柱球=V V V ．
例12在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径 为多少时，两球体积之和最小．
【答案】
【解析】如图，球心1O 和2O 在AC 上，过1O ，2O 分别作BC AD ,的垂线交于F E ,． 则由3,1==AC AB 得R CO r AO 3,321==．
3)(3=+++∴R r R r ， 2
33133
-=+=+∴r R ．
【反思提升】综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径,r R 的联系，将球的体积之和用r 或R 表示.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.
高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应
重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.。