数学建模作业 北工大薛毅实验1
数学建模作业、微分方程实验、北京工业大学
2微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）,___ 1 0系数矩阵A，求得特征值入1=1,入2=1;0 1p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2;p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
其图形如下:dx⑴dt dtx, y;dxdtdydt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y， (4) ? 2x;也 dtx+1, 2y.(3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。
其图形如下：(4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2;p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。
其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N)dt令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i21 1d2N 1 5 52 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2)dt 2进而求得A d2N 令r dt2 2 0可求得N=r2 /4r〔则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分0,冬dt2.2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―rdt dt dt dt则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示:由图形也可以看出，对丁方程的两个平■衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=^2 /「；是稳定的o3、有限资源竞争模型1926年Volterra 提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型当[b MX h 2X 2)]x dt dX2 电 2(h i X i h 2X 2)]X 2dt假设也 坦，称垣为物种i 对食物不足的敏感度，(1) 证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡； (2) 用图形分析方法来说明物种 2最终要灭亡.解：(1)由上述方程组 f (x1) =[b 1〔S' h 2x 2)]x 1=0,f (x2)=电2 (h 1X 1h 2X 2)]X 2=0,可得方程的平■衡点为R (0,0), P 1 (E,0),P 2 (0, M).2 h 2对平衡点P 。
北京工业大学-工程数学-薛毅-作业5
1.
已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的灯泡中随机抽取10只，测得寿命（单位：小时）为：
1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948
（1）试问这批灯泡中大约95%的灯泡至少使用多少小时；
（2）求这批灯泡能够使用1000小时以上的概率。
解答:
根据运行结果分析：
可知p-value = 0.8227>>0.1，因此，可以认为每分钟顾客人数X服从Poisson分布。
7.
向120位女性和120位男性做调查，了解他们关于给谁买节日礼物最难的看法，调查结果如表5.2所示.试分析：女性和男性在关于给谁买节日礼物最难的看法上有没有显著差异。
解答：
录入数据，用chisq.test（）函数检验：
0.03624378 0.04402702
sample estimates:
probability of success
0.04
根据运行结果分析：
p-value p-value <2.2e-16<0.05，所以拒绝接受原假设，认为这些数据不能说明乳腺癌的患病率与家族史有关。
5.
Mendel用豌豆的两对相对性状进行杂交实验，黄色圆滑种子与绿色皱缩种 子的豌豆杂交后，第二代根据自由组合规律，理论分离比为：
（1）由点估计与参数估计未知参数 和 ,可以求出均值与方差，
， ；
R程序运行结果：
> x<-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)
> n<-length(x)
> x.sd<-sd(x)
> x.mean<-mean(x); x.mean
北工大工程数学-数学建模实验03
1.曲线拟合有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系， y=β0+β1x ，其中x 为车速，y 为刹车距离，现测得50组数据（xi ，yi ）（i=1,2,3…，50）（见表3.1，用三种方法((1)平方和最小;(2)绝对偏差和最小; (3)最大偏差最小)估计系数β0和β1，并分析三种方法的计算效果(注:用LINGO 软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线)，说明哪一种方法得到有结果更合理. 解：（1）平方和最小，根据最小二乘方法求解，相应的无约束问题为()2n1i i i 10y -x min 10∑=+=ββββ，，为了方便计算，将β0, β1换成A,B ，相应的LINGO程序如下： sets :quantity/1..50/: x,y; endsets data :y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25; enddatamin =@sum (quantity: (A+B*x-y)^2); @free (A); @free(B);计算结果如图所示用LINGO解得：A= -17.57909,B=3.932409，所以y= -17.57909+3.932409*x. β0= -17.57909,β1=3.932409（2）绝对偏差和最小，根据最小一乘方法求解，相应的无约束问题为∑=+=ni1ii1y-xmin1ββββ，，为了方便计算，将β0, β1换成A,B，相应的LINGO程序如下：sets:quantity/1..50/: x,y;endsetsdata:y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,4 0,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17, 17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25;enddatamin=@sum(quantity: @abs(A+B*x-y));@free(A); @free(B);计算结果如图所示用LINGO 解得：A= -11.6,B=3.4， 所以y= -11.6+3.4*x. β0= -11.6,β1=3.4（3）最大偏差最小，根据最大偏差的最小的方法求解，相应的无约束问题为i i 101y -x max min 10ββββ+=≤≤ni ，，为了方便计算，将β0, β1换成A,B ，相应的LINGO程序如下： sets :quantity/1..50/: x,y; endsets data :y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25; enddatamin =@max (quantity: @abs (A+B*x-y)); @free (A); @free (B); 计算结果如图所示用LINGO解得：A= -12,B=4，所以y= -12+4*x. β0= -12,β1=4X轴为速度，Y轴为距离，蓝色点多已知数据点，y1,y2,y3分别为前三种方法求得的数据点，黑色线为通过蓝色数据点得到的线性回归方程y=1.445x+6.121,比较三种方法得到曲线，可以看到与红色曲线吻合度高于其他两种方法，所以第一种方法得到的结果更为合理。
数学建模第一次作业作业
(i)取定 x0 3.9, t0 1790, ，拟合待定参数 r .
t=1790:10:2000; c=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,20 4.0,226.5,251.4,281.4]; f1=@(r,t)3.9.*exp(r.*(t-1790)); r0=0.02; r=nlinfit(t,c,f1,r0), se1=sum((c-f1(r,t)).^2), plot(t,c,'k+',1780:1:2010,f1(r,1780:1:2010),'k') (ii)取定 t0 1790 ，拟定待定参数 t0 、 x0 、 r
数学建模第一次作业 1、绘制图形 （1）程序及图形如下： n=500; t=linspace(0,2*pi,n); x1=cos(t); y1=sin(t); x2=2*cos(t); y2=2*sin(t); x3=2*cos(t); y3=sin(t); plot(x1,y1,'k',x2,y2,'k',x3,y3,'k') axis equal;title('参数方程画 x^2+y^2=1, x^2+y^2=4, x^2/4+y^2=1 的图像'); gtext('x^2+y^2=1') gtext('x^2+y^2=4') gtext('x^2/4+y^2=1')
2
黎曼函数的图像 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 分 母 P的 最 大 值 n =36时
北京工业大学-薛毅老师-工程数据建模-实验4-图论(组合优化)
数据建模作业4图论(组合优化)实验1、最短路问题的应用一设备更新问题某单位计划购买一台设备在今后4年内使用.可以在第一年初购买该设备，连续使用4年，也可以在任何一年末将设备卖掉，于下年初更换新设备.表 4.1给出各年初购置新设备的价格，表4.2给出设备的维护费，及卖掉旧设备的回收费。
问如何确定设备的更新策略，使4年内的总费用最少?表4.1年初设备购置价格(单位:万元)第一年第二年第三年第四年年初购置价 2.5 2.6 2.8 3.1表4.2设备维护费和设备折旧费(单位:万元)设备役龄0～1 1～2 2～3 3～4 年维护费0.3 0.5 0.8 1.2年末处理回收费 2.0 1.6 1.3 1.1解答：用图论知识来解此题。
分别用5个点[1，2，3，4，5]表示第i年开始，各点之间连线表示费用，用C ij表示第i年开始，到j-1年结束的费用。
根据题意，可画出下图1-1443 2 1 01 2 3 4 5 6图1-1LINGO 中程序：sets :nodes/1..5/;arcs(nodes,nodes)|&1 #lt# &2:c,x; end sets data :c = 0.8,1.7,2.8,4.2,0.9,1.8,2.9,1.1,2,1.4; enddatan = @size (nodes); min = @sum (arcs:c*x);@for (nodes(i)| i #ne# 1 #and# i #ne# n :@sum (arcs(i,j):x(i,j)) = @sum (arcs(j,i):x(j,i))); @sum (arcs(i,j)| i #eq# 1 : x(i,j)) = 1;程序运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 3.700000 Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost N 5.000000 0.000000 C( 1, 2) 0.8000000 0.000000 C( 1, 3) 1.700000 0.000000 C( 1, 4) 2.800000 0.000000 C( 1, 5) 4.200000 0.000000 C( 2, 3) 0.9000000 0.0000001 1 1 12 2 23 3结束C( 2, 4) 1.800000 0.000000C( 2, 5) 2.900000 0.000000C( 3, 4) 1.100000 0.000000C( 3, 5) 2.000000 0.000000C( 4, 5) 1.400000 0.000000X( 1, 2) 1.000000 0.000000X( 1, 3) 0.000000 0.000000X( 1, 4) 0.000000 0.5000000X( 1, 5) 0.000000 0.5000000X( 2, 3) 0.000000 0.000000X( 2, 4) 0.000000 0.3000000X( 2, 5) 1.000000 0.000000X( 3, 4) 0.000000 0.5000000X( 3, 5) 0.000000 0.000000X( 4, 5) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000000 0.0000002 3.700000 -1.0000003 0.000000 -3.7000004 0.000000 -2.9000005 0.000000 -2.0000006 0.000000 -1.400000结论：从程序运行结果可见，设备应该在第一年年末卖出，在第二年初买入，在第四年末卖出，总费用最小，为3.7万元。
数学建模作业北工大薛毅实验3.docx
第三次作业1.生产计划安排某公司使用三种操作装配三种玩具一玩具火车、玩具卡车和玩具汽车.对于二种操作可冃时间限制分别是每天430分钟、460分钟和420分钟，玩具火车、玩具代车和玩具汽车的单位收入分別是3美元、2美元和5美元•每辆玩具火车在三种操作的装配时间分別是1分钟、3分钟和1分钟•毎辆玩具K车和每辆玩具汽车相应的时间是(2,0,4)和(1,2,0)分钟(零时间表示不使用该项操作).(1)将间题建立成一个线性规划模型，确定最优的生产方案.(2)对于操作1,假定超过它当前每天43()分钟能力的任何附加时间必须依靠每小时50美元的加班获得•每小时成本包括劳动力和机器运行费两个方面. 对于操作1,使用加班在经济I：冇利吗？如果冇利，最多増加多少时间？(3)假定操作2的操作员已同意每天加班工作2小时，其加班费是45美元•小时.还有，操作自身的成本是•小时10美元.这项活动对于每天收入的实际结果是什么？(4)操作3需要加班时间吗？解：(1)设生产玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的数量分别为XI, X2, X3,则H 标函数为：max Z=3X 1+2X2+5X3约朿条件：XI +2X2 +X3V 二4303X1 +2X3<=460XI +4X2 <=420Xl>=0； X2>=0； X3>=0输到ling。
里面的结果为；Global optimal solution found.Objective value:1350.000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Model Class: LPTotal variables: 3Non linear variables: 0Total constraints: 4Nonlinear constraints:Total non zeros:10Non linear non zeros:VariableValue Reduced CostXI0.000000 4.000000X2100.0000 0.000000X3230.00000.000000RowSlack or SurplusDual Price11350.0001.000000 2 0.000000 1.0000003 0.000000 2.000000420.000000.000000所以玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的生产数量分别为：0、100. 230； 最大的收入为1350.(2)表明操作1每工作1分钟的利润是2美元，如果是要加50美元每小时的加工费的话，一定 是赚的。
北京工业大学-数学建模5-最优化与存储模型实验201311
最优化与存储模型实验作业一、 基本实验1.拟合问题有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系，01y x ββ=+，其中x 为车速，y 为刹车距离，现测得50组数据(,)(1,2,,50)i i x y i =（见表5.1），用三种方法（（1）平方和最小；（2）绝对偏差和最小；（3）最大偏差最小）估计系数0β，1β，并分析三种方法的计算效果（注：用Lingo 软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线），说明那一种方法得到的结果更合理。
解：x 为车速，y 为刹车距离，（1）平方和最小；（2）绝对偏差和最小；（3）最大偏差最小。
三种情况下相应的无约束问题为：01010150210,15010,110,150min (),min ,min max ,i i i i i i i i i z x y z x y z x y ββββββββββββ==≤≤=+-=+-=+-∑∑编写相应的Lingo 程序分别为（由于β和α在程序中不好体现，我们仍然用a表示α，b表示β）：（1）平方和最小：sets:Quantity/1..50/: x, y;endsetsdata:x=4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14,15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22,23, 24, 24, 24, 24, 25;y=2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36 ,60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddataMin=@sum(quantity: (a*x+b-y)^2);@free(a);@free(b);运行结果见xueyunqiang-chapter5-1所以拟合结果是：=-y x3.93240917.57909（2）绝对偏差和最小：编写Lingo程序：sets:Quantity/1..50/: x, y;endsetsdata:x=4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25;y=2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36 ,60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddataMin=@sum (quantity: @abs(a*x+b-y));@free(a); @free(b);运行结果见xueyunqiang-chapter5-1(2)所以拟合结果为;y x=-3.411.6,（3）最大偏差最小：编写Lingo程序：sets:Quantity/1..50/: x, y;endsetsdata:x=4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14,15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22,23, 24, 24, 24, 24, 25;y=2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36 ,60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddataMin=@max (quantity: @abs(a*x+b-y));@free(a); @free(b);运算结果见xueyunqiang-chapter5-1(3)所以拟合结果为：=-412,y x三种拟合结果为：（1） 3.93240917.57909=-y x（2） 3.411.6,=-y x（3）412,=-y x在Matlab中绘制散点图和拟合直线图如下：>>x=[4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 1314 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 1920 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25];>>y=[2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 4626 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 6832 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85];>> plot(x,y,'s')>> hold on>> x=0:0.05:25;y=3.932409*x-17.57909;plot(x,y,'b');>> hold on;>> x=0:0.05:25;y=3.4*x-11.6;plot(x,y,'r-');>> hold on;>> x=0:0.05:25;y=4*x-12;plot(x,y,'m- -');由散点图可知最上角的点明显异于其他点，最大偏差最小回归直线受最大偏差影响明显，最小二乘统计性质较好，但是受异常点的影响，也有向上偏移的趋势，而最小一乘受异常点影响的程度较小，基本上在主流数据之间。
数学建模作业 北工大薛毅 实验4
第四次作业解：(1) 平方和最小的目标方程：()2n 1i i i 10y -x min 10∑=+=ββββ，编程如下：model:sets:quantity/1..50/: x,y;endsetsmin=@sum(quantity: (B0+B1*x-y)^2);data:y=2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;x=4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25;enddata@free(B0); @free(B1);End得到结果如下：Local optimal solution found.Objective value: 11353.52Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 5Total solver iterations: 18Model Class: NLPTotal variables: 3Nonlinear variables: 2Integer variables: 0Total constraints: 2Nonlinear constraints: 1Total nonzeros: 3Nonlinear nonzeros: 2Variable Value Reduced CostB0 -17.57909 0.000000B1 3.932409 0.000000X( 1) 4.000000 0.000000X( 2) 4.000000 0.000000X( 3) 7.000000 0.000000X( 4) 7.000000 0.000000X( 5) 8.000000 0.000000X( 6) 9.000000 0.000000X( 7) 10.00000 0.000000X( 8) 10.00000 0.000000X( 9) 10.00000 0.000000X( 10) 11.00000 0.000000X( 11) 11.00000 0.000000 X( 12) 12.00000 0.000000 X( 13) 12.00000 0.000000 X( 14) 12.00000 0.000000 X( 15) 12.00000 0.000000 X( 16) 13.00000 0.000000 X( 17) 13.00000 0.000000 X( 18) 13.00000 0.000000 X( 19) 13.00000 0.000000 X( 20) 14.00000 0.000000 X( 21) 14.00000 0.000000 X( 22) 14.00000 0.000000 X( 23) 14.00000 0.000000 X( 24) 15.00000 0.000000 X( 25) 15.00000 0.000000 X( 26) 15.00000 0.000000 X( 27) 16.00000 0.000000 X( 28) 16.00000 0.000000 X( 29) 17.00000 0.000000 X( 30) 17.00000 0.000000 X( 31) 17.00000 0.000000 X( 32) 18.00000 0.000000 X( 33) 18.00000 0.000000 X( 34) 18.00000 0.000000 X( 35) 18.00000 0.000000 X( 36) 19.00000 0.000000 X( 37) 19.00000 0.000000 X( 38) 19.00000 0.000000 X( 39) 20.00000 0.000000 X( 40) 20.00000 0.000000 X( 41) 20.00000 0.000000 X( 42) 20.00000 0.000000 X( 43) 20.00000 0.000000 X( 44) 22.00000 0.000000 X( 45) 23.00000 0.000000 X( 46) 24.00000 0.000000 X( 47) 24.00000 0.000000 X( 48) 24.00000 0.000000 X( 49) 24.00000 0.000000 X( 50) 25.00000 0.000000 Y( 1) 2.000000 0.000000 Y( 2) 10.00000 0.000000 Y( 3) 4.000000 0.000000 Y( 4) 22.00000 0.000000Y( 5) 16.00000 0.000000 Y( 6) 10.00000 0.000000 Y( 7) 18.00000 0.000000 Y( 8) 26.00000 0.000000 Y( 9) 34.00000 0.000000 Y( 10) 17.00000 0.000000 Y( 11) 28.00000 0.000000 Y( 12) 14.00000 0.000000 Y( 13) 20.00000 0.000000 Y( 14) 24.00000 0.000000 Y( 15) 28.00000 0.000000 Y( 16) 26.00000 0.000000 Y( 17) 34.00000 0.000000 Y( 18) 34.00000 0.000000 Y( 19) 46.00000 0.000000 Y( 20) 26.00000 0.000000 Y( 21) 36.00000 0.000000 Y( 22) 60.00000 0.000000 Y( 23) 80.00000 0.000000 Y( 24) 20.00000 0.000000 Y( 25) 26.00000 0.000000 Y( 26) 54.00000 0.000000 Y( 27) 32.00000 0.000000 Y( 28) 40.00000 0.000000 Y( 29) 32.00000 0.000000 Y( 30) 40.00000 0.000000 Y( 31) 50.00000 0.000000 Y( 32) 42.00000 0.000000 Y( 33) 56.00000 0.000000 Y( 34) 76.00000 0.000000 Y( 35) 84.00000 0.000000 Y( 36) 36.00000 0.000000 Y( 37) 46.00000 0.000000 Y( 38) 68.00000 0.000000 Y( 39) 32.00000 0.000000 Y( 40) 48.00000 0.000000 Y( 41) 52.00000 0.000000 Y( 42) 56.00000 0.000000 Y( 43) 64.00000 0.000000 Y( 44) 66.00000 0.000000 Y( 45) 54.00000 0.000000 Y( 46) 70.00000 0.000000 Y( 47) 92.00000 0.000000 Y( 48) 93.00000 0.000000Y( 49) 120.0000 0.000000Y( 50) 85.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 11353.52 -1.000000 所以得到平方和最小时的β0为-17.57909，β1为3.932409。
北京工业大学、薛毅、数学模型作业二、作业2、实验二
实验二解：（1）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=1001若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。
p=-(a11+a22)=-2,q=det(A)=1,因为p<0,q>0,所以平衡点不稳定。
（2）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=−1002若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。
p=-(a11+a22)=-1,q=det(A)=-2,因为p<0,q<0,所以平衡点不稳定。
（3）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=01−20若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。
p=-(a11+a22)=0,q=det(A)=2,因为p=0,q>0,所以平衡点不稳定。
（4）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=−100−2若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。
p=-(a11+a22)=3,q=det(A)=2,因为p>0,q>0,p2>4q,所以平衡点稳定。
解:f(N)=R-KN,令f(N)=0,则N=k/Rf`(N)=-K<0,则N=k/R是稳定的。
当N<k/R时f(N)>0,N`(t)>0,N(t)递增；N>k/R时f(N)<0,N`(t)<0,N(t)递减ð2N ðt2=∂f∂N∙ðNðt=-K(R-KN),表明N=k/R为拐点，当N<k/R时N``(t)<0,N>k/R时N``(t)>0从图中可以看出N=k/R是营养平衡值，无论大于或小于这个值，细胞都会向这个点调整，偏离越大调整速率越大，接近平衡值时速率变小。
解：列满足条件的微分方程∂N=r1N−r2N12求平衡点，令f N=r1N−r2N1=0,解得N1=0，N2=r22r12ð2N ðt =∂f∂N∙ðNðt=(r1−12r2N−12)(r1N−r2N12）,解得N=r224r12从图中可以看出N1=0不稳定，N2=r22r12是稳定的解：令f x=r1−xNx−Ex=0得平衡点x1=N1−Er,x2=0f`(x1)=E-r,f`(x2)= r-E.若E<r,则有f`(x1)<0,f`(x2)>0.则x1是稳定的，x2是不稳定的。
北京工业大学-工程数学-薛毅-作业1
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
解答：
首先根据已知条件建立贷款还款的数学模型：
假设ai为第i个月的欠款额，r为月利率（本题中初始为0.6%），x为每月的还款额。
由题中所描述的等额还款方式（每月还款额相同）可得出还款的迭代方式如下：
（2）甲乙两战之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过两站的时刻表是如何安排的？
解答：
根据题中描述可知，坐乙站发的车的概率为甲站的九倍。可以理解为从乙站发车到甲站经过丙站的时刻要比另一个早1分钟，即从甲站出发到达丙处的第i辆车，总比从乙站出发到达丙处的第i辆车提前9分钟。
解答：
令 ：A(t)表示此人第一天上山时t时刻离山脚的路程；
B(t)表示此人第二天下山时t时刻离山脚的路程。
假设山顶到山下的总路程为S，由已知条件可知：
A(8)=0，A(17)=S
B(8)=S，B(17)=0
令：C(t)=A(t)-B(t)； 则C(8)=-S，C(17)=S；
由于C(t)为连续函数，由零点定理推出结论：在t=[8,17]中间，至少存在一点 t 使C(t)= A(t)-B(t)=0；即A(t)=B(t),可证明这人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
x
b3=x-a3*0.6%
c3=a3-b3
…
…
…
…
…
…
240
a240=c239
北工大 数学建模 实验5
（1）输入程序：X<-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)t.test(X,al="g")R程序：有结果可知95%的灯泡至少可以使用920.8小时(2)当使用时间至少为1000小时：查阅标准正态分布表可以得出对应的概率为1-Ф（(1000-µ)/δ）=1-Ф（(1000-997.1)/124.797）=1-Ф（0.02324）=1-0.5106=0.4894即由题可以得出使用时间在1000小时以上的概率为48.94%。
解：设原假设为H0:225，对立假设H1:225输入程序：X<-c(220,188,162,230,145,160,238,188,247,113,126,245,164,231,256,183,190,158,2 24,175)t.test(X,mu=225)R程序为结果得出：P-=0.002516<0.05，所以拒绝H0，置信区间为[172.3827,211.9173]，最大值小于225。
因此可以认为油漆作业对人体血小板计数有影响（1） 1、方差相同时设原假设H0:µ1>=µ2，对立假设H1:µ1<µ2X<-c(-0.70,-5.60,2.00,2.80,0.70,3.50,4.00,5.80,7.10,-0.50,2.50,-1.60,1.70,3.00 ,0.40,4.50,4.60,2.50,6.00,-1.40)Y<-c(3.70,6.50,5.00,5.20,0.80,0.20,0.60,3.40,6.60,-1.10,6.00,3.80,2.00,1.60,2.00,2.20,1.20,3.10,1.70,-2.00)t.test(X,Y,var.equal=TRUE)P-值=0.52>0.05，接受原假设H0，所以有差异。
北京工业大学薛毅老师工程数据建模实验6多元分析.doc
北京工业大学薛毅老师工程数据建模实验6多元分析6多元分析实验学号G201212xxx 姓名xxx 6.1 回归分析法国经济数据分析，考虑进口总额Y与三个自变量国内总产值X1，存储量X2，总消费量X3（单位为10亿法郎）之间的关系。
现收集了1949年至1959年共11年的数据，如表6.1所示，试对此数据进行分析。
表6.1法国经济分析数据1 149.3 4.2 108.1 15.9 2 161.2 4.1 114.8 16.4 3 171.5 3.1 123.2 19.0 4 175.5 3.1 126.9 19.1 5 180.8 1.1 132.1 18.8 6 190.7 2.2 137.7 20.4 7 202.1 2.1 146.0 22.7 8 212.4 5.6 154.1 26.5 9 226.1 5.0 162.3 28.1 10 231.9 5.1 164.3 27.6 11 239.0 0.7 167.6 26.3 （1）求出Y关于X1, X2和X3的线性回归方程，并对方程作显著性检验; （2）分析所得到的回归方程是否合理，对变量作逐步回归; （3）假设某年的国内总产值（X1）、存储量（X2）和总消费量（X3）分别为240、4.5和170（单位为10亿法郎），给出该年进口总额（Y）的预测值、相应的置信区间和预测区间（α0.05）。
解（1）输入程序X1|t| Intercept -10.12799 1.21216 -8.355 6.9e-05 *** X1 -0.05140 0.07028 -0.731 0.488344 X2 0.58695 0.09462 6.203 0.000444 *** X3 0.28685 0.10221 2.807 0.026277 * --- Signif. codes 0 ‘***’0.001 ‘**’0.01 ‘*’0.05 ‘.’0.1 ‘’1 Residual standard error 0.4889 on 7 degrees of freedom Multiple R-squared 0.9919, Adjusted R-squared 0.9884 F-statistic 285.6 on 3 and 7 DF, p-value 1.112e-07 结果分析可知Y关于的线性回归方程y-10.12799-0.05140x10.58695x20.28685x3 其中x1无标记说明不显著，x2标记“***”说明极为显著，x3标记“*”显著。
北京工业大学-工程数学-薛毅-作业4
根据计算结果分析可知按着W15花费最少，即在第3年购买新设备第6年年底卖掉设备，最小花费为90万元。
2.
有甲、乙和丙三个城市，每年分别需要煤炭320万吨、250万吨和350万吨，由A，B两个煤矿负责供应，一直煤矿年产量A为400万吨，B为450万吨，从两煤矿至各城市煤炭运价表如4.2所示。由于需求大于供应，经协商平衡，甲城市在必要时可少供应0-30万吨，乙城市需求量必须全部满足，丙城市需求量不少于270万吨。试求将甲、乙两煤矿全部分配出去，满足上述条件又使总运费最低的调运方案。
Variable Value Reduced Cost
X1 14.00000 0.000000
X2 15.00000 0.000000
X3 15.00000 0.000000
X4 8.000000 0.000000
Y1 4.000000 0.000000
Y2 5.000000 0.000000
Y3 0.000000 0.000000
X( A1, B5) 0.000000 12.00000
X( A2, B1) 140.0000 0.000000
X( A2, B2) 0.000000 5.000000
X( A2, B3) 0.000000 1.000000
X( A2, B4) 270.0000 0.000000
X( A2, B5) 40.00000 0.000000
需求
290
30
250
270
80
数学模型：
Min=
LINGO语句：
sets:
From / A1, A2,A3/: Capacity;
To / B1, B2, B3, B4, B5/: Demand;
北京工业大学工程数学-实验1-数学建模入门
解答：
根据题中描述可知，坐乙站发的车的概率为甲站的九倍。可以理解为从乙站发车经过丙站的时刻要比另一个晚9分钟（或者叫做早1分钟）。
某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比。
（1）为了公平性，评委对本单位选手不给分；
（2）每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；
（3）评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、…以此类推。
（4）评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。
(1,0,0,0)
(1,0,0,1)
(1,0,1,0)
(1,1,0,0)
(1,0,0,0)
(1,0,1,0)
1
2
3
4
5
6
7
8
(1,1,1,1)
(0,1,0,1)
(1,1,0,1)
(0,0,0,1)
(1,1,0,1)
(0,0,1,0)
(1,0,1,0)
(0,0,0,0)
(1,0,1,0)
(1,0,0,0)
（2）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
2015北工大数学建模课程作业一
2015北工大数学建模课程作业一1. 椅子放平问题基本假设(1) 椅子四脚ABCD 的连线为长方形，且四腿长相同(2) 地面是略微起伏不平的连续变化曲面(3) 在任意位置时椅子至少有3个脚着地建立模型以对角线AC 所在直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。
当椅子以O 为中心逆时针旋转角度θ后，四脚的位置变为A ’B’C’D’。
因此椅脚与地面的距离是关于θ的连续函数，记A,C 两脚与B,D 两脚到地面的距离之和分别为()f θ和()g θ。
由此原问题可表述为：已知连续函数()0f θ≥，()0g θ≥，且()()0f g θθ=，若(0)0f >且(0)0g =，求证：存在[]00,θπ∈，使得00()()0f g θθ==成立。
求解模型设()()()F g f θθθ=-因为(0)0f >且(0)0g =所以(0)(0)0F f =-<令'θθ= ([]'0,θπ∈)，此时AC 到达原先BD 的位置故有(')0g θ≥，(')0f θ=所以(')0F θ≥因为()F θ是连续函数，且(0)0F <，(')0F θ≥，又连续函数的零点定理可知存在[]0,'θθ∈，使得0()0F θ=成立。
又因为[]'0,θπ∈，故00()()0f g θθ==也成立。
证毕。
2. 过河问题建立模型设第k 次渡河前此岸的人、猫、鸡、米数量分别为,,,k k k k w x y z 。
并假设人、猫、鸡、米的总数都为2。
将四维变量()k ,,,k k k k S w x y z =定义为状态。
保证猫不吃鸡，鸡不吃米的状态的集合称为允许状态集合，记作(),,,|w 0,x 0,1,2,0,z 0,1,2;0,x 0,y 1,2,0;1,x 0,1,2,y 0,1,2,z 0,1,2;w 2,x 0,y 0,1,2,z 0;w 2,x 0,1,2,y 0,z 0,1,2w x y z y w z S w ====⎧⎫⎪⎪====⎪⎪⎪⎪=====⎨⎬⎪⎪====⎪⎪====⎪⎪⎩⎭设k d 为第k 次的渡河方案，(),,,k k k k k d m n p k =，其中,,,k k k k m n p k 分别为人、猫、鸡、米的数量。
北京工业大学薛毅老师工程数据建模实验2线性规划和整数规划
2. 线性规划和整数规划实验2.1 基本实验1. 生产计划安排某工厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表 2.1所示。
表2.1 不同产品的消耗定额（1）确定获利最大的生产方案；（2）产品A、B、C的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变；（3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜？（4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？解答：（1）获利最大的生产方案为：生产A产品5件，B产品0件，C产品3件，获利为27。
（2）产品A利润在2.4-4.8元之间变动,最优生产计划不变。
（3）运行程序X1 0.000000 1.800000X2 0.000000 1.400000X3 9.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 36.00000 1.0000002 0.000000 0.8000000从程序运行结果可得到：当A、B为0，而C 9件时利润最大,最大利润为36元,应该购入原材料扩大生产,购入15个单位。
（4）设D产品为，则有：maxs.t．，，，LINGO中程序：max = 3*x1 +x2+ 4*x3+3*x4;6*x1 + 3*x2+5*x3 +8*x4<= 45;3*x1 + 4*x2+5*x3 +2*x4<= 30;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);end程序运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 27.00000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 5.000000 -3.000000X2 0.000000 -1.000000X3 3.000000 -4.000000X4 0.000000 -3.000000从上表程序运行结果来看，产品D不值得生产。
2012年北京工业大学数学建模初赛试题
2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛参赛说明1.北京工业大学数学建模初赛试题共有三道（A、B、C），请选择你最熟悉的一道题目回答，不必做其他题目。
2.请按规定的时间内上交试卷，过期无效。
试卷要在用A4纸打印完成，手写无效。
3.由于竞赛题目有一定的难度，因此不必做完上一个问题，才能回答下一个问题，而是需要完整地把解题的思想表达出来。
由于有些题目中的问题较多或难度较大，很可能在一周的业余时间内做不完，你可以对某些问题不作回答，有兴趣的同学可以在竞赛后再作深入研究。
4.由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。
5.尽管本次竞赛研究生和本科生均能参加，但在评分上两者的要求是不同的，在阅卷时将对研究生有更高的要求。
2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛A 题：GPS 定位问题GPS 是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。
GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。
卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。
图A.1给出GPS 卫星的示意图。
图A.1：GPS 卫星的图片 图A.2：车载型GPS 信号接收机 GPS 的用户设备部分是GPS 信号接收机，它的作用是接收GPS 卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS 信号接收机。
GPS 信号接收机能收到GPS 卫星发来的信息，信息由GPS 卫星所在的空间位置和GPS 信号到达地面接收机的时间组成。
卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。
GPS 信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。
“多波束测线问题”的问题解析
“多波束测线问题”的问题解析
薛毅
【期刊名称】《数学建模及其应用》
【年(卷),期】2024(13)1
【摘要】给出2023年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛B题“多波束测线问题”的求解方法,并针对学生在参赛论文中出现的问题作了简要的说明与点评.为保证求解的连贯性,论文的前一部分是问题的求解,后一部分是参赛论文的点评.【总页数】11页(P76-86)
【作者】薛毅
【作者单位】北京工业大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】P741;U612.3
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