第4节 三角恒等变换--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
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(2)通过变换,产生可消去的正负项,再去求值;
(3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值.
[对点训练
1
A.2
110° 250°
2](1)(2024·广东茂名模拟) 2
的值为(
2
25°- 155°
1
3
3
B.
C.
D.2
2
2
A )
1sin140° 1sin40°
-sin70°cos70°
6
6
6
cos2 (+ )-sin2 (+ )
π
αsin(α+ ),
6
考向 3
给值求角
3
4(2024·湖北襄阳模拟)已知 ≤α≤π,π≤β≤ ,sin
4
2
例
β-α=( C )
3
A. 或
4
4
B.
4
3
C.
4
4
2
2α= ,cos(α+β)=- ,则
5
10
5
D.
4
π
π
4
π
3
解析 因为 ≤ ≤π,所以 ≤2α≤2π.又 sin 2α= >0,则 <2α<π,故 cos 2α=- .
1+cos(2- )
4
2
2
3
1+
π
2
所以 tan (α-4)= 34=7.
14
规律方法
三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
[对点训练 3](2024·四川绵阳诊断测试)已知 sin
2
2
2
2
2β
[对点训练
1
2
1
cos
2x
1]化简:
=__________.
2
2 ( -) 2 ( +)
2 4 -2 2 +
4
4
1(4cos4 -4cos2 +1)
2 -1)2
(2cos
cos2 2
cos2 2
1
2
解析 原式=
=
=
= 2cos2 = 2cos 2x.
所以 tan α<0,tan β<0.又
所以
2π
α+β=- 3 .
π π
α,β∈(- , ),所以
2 2
π
α,β∈(- ,0),所以
2
α+β∈(-π,0),
考点三
三角恒等变换的综合应用
例 5(2023·北京,17)设函数 f(x)=sin ωx·cos φ+cos ωxsin
(1)若
3
f(0)=- ,求
3
2 4
7 2
2
=- ×(- )+ ×(- )=- ,故
5
10 5
10
2
3π
β-α= .
4
[对点训练 4](2024·河南许济洛平四市联考)设 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0
的两根,且 α,β∈(-2 , 2 ),则 α+β=( B )
A. 3
2
B.- 3
2
=
,
π
6
3
1-tantan
1- tan
6
3
tan+tan
所以 tan α+2 3tan α+3=0,则 tan α=- 3,故
2
π
3
tan(α+6)=- 3 ,
π
π
2 (+π)
1-tan
π
1
6
6
6
所以 cos(2α+ )= 2 π
=
= .
π
π
2
2
3 cos (+ )+sin (+ )
2
1+tan (+ )
=2.
2sin10°cos10°
sin20°
sin20°
10°(1+ 3 10°)-2 50°
(3)
.
1-10°
cos10°+ 3sin10°-2sin50° 2sin40°-2sin50°
解 原式=
=
2sin5°
2sin5°
2sin40°-2cos40° 2 2sin(40°-45°) -2 2sin5°
cos
sin160°
1
=
= .
16sin20°
16
40°·
cos
sin20°·cos20°·cos40°·cos80°
80°=
2sin20°
1
3
(2)
−
;
2 10°
210°
1
解
3
cos10°- 3sin10° 2(2cos10°- 2 sin10°) 2sin(30°-10°)
原式=
=
=
1
2
2
解析 原式= 2
===- .
2
cos 25°-sin 25°
cos50°
sin40°
2
(2)(2024·陕西西安模拟)若 λsin 160°+tan 20°= 3,则实数 λ 的值为( A )
B.4 3
A.4
4 3
D. 3
C.2 3
解析 由题可得,
3-tan20°
λ=
sin(180°-20°)
2
(2)已知
φ(ω>0,|φ|< ).
2
φ 的值.
2
2
f(x)在区间[-3 , 3 ]上单调递增,f( 3 )=1,再从条件①、条件②、条件③这
三个条件中选择一个作为已知,使函数 f(x)存在,求 ω,φ 的值.
条件①:f( )= 2;条件②:f(- )=-1;
3
3
=
=
=
=-2.
2sin5°
2sin5°
2sin5°
规律方法
给角求值问题的求解策略
给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角,求解时,需要观察分析所给角
与特殊角的关系、分析函数名称的关系,通过公式的正用、逆用、变形用,
使得式子中的角以及式子的结构发生变换,从而达到化简计算的目的,通常
有以下三种思路:
(1)通过变换,化为特殊角的三角函数值;
(5)引入辅助角:asin θ+bcos θ= 2 + 2 sin(θ+φ),这里辅助角 φ
的符号确定,φ 角的值由 tan
φ= 确定.
(6)项的分拆:如 sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x 等.
所在象限由 a,b
常用结论
1.1±sin 2α=(sin α±cos α)2.
2.cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α).
3.sin α±cos α= 2sin(α± ).
4
4.函数 y=asin ωx±bcos ωx 的最大值是 2 + 2 ,最小值是- 2 + 2 ,最小正
2
周期为 .
|ω|
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
cos(2α+3 )=(
3
A.- 2
αsin( -α)=3cos
3
αsin(α+ ),则
6
C )
解析 因为 sin
1
C.2
B.-1
π
αsin( -α)=sin
3
D.
π
π
αsin[ -(α+ )]=sin
2
6
3
2
π
α·
cos(α+ )=3cos
6
π
π
3tan+ 3
6
所以 tan α=3tan(α+ ),则 tan α=3×
4
2
5
2
5
π
π
3π
π
5π 5π
2
因为 <α< ,π≤ ≤ ,所以 <β-α< , <α+β<2π.又 cos(α+β)=- <0,
4
2
2
2
4 4
10
5π
3π
7 2
故 <α+β< ,sin(α+β)=- .
4
2
10
因为 cos(β-α)=cos[(β+α)-2α]=cos(β+α)cos 2α+sin(β+α)sin 2α
对于选项
对于选项
对于选项
对于选项
π π
π
A,当 x∈(- ,- )时,2x∈(-π,- ),f(x)单调递增,故 A 错误;
2 6
3
π π
π π
B,当 x∈(- , )时,2x∈(- , ),f(x)不单调,故 B 错误;
4 12
2 6
π
2π
C,当 x∈(0,3)时,2x∈(0, 3 ),f(x)单调递减,故 C 正确;
C. 3 或- 3
2
D. 3
解析 因为 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,
所以 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,所以
tan+tan
tan(α+β)=
1-tantan
= 3.
因为 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,
2
2
2
1
β-2cos
2
2αcos 2β.
1-cos2 1-cos2
1+cos2 1+cos2
1
解 原式=
·
+
·
− cos 2αcos 2β
2
2
2
2
2
1-cos2-cos2+cos2cos2
1+cos2+cos2+cos2cos2
1
=
+
−
cos
2α·
cos
4
4
2
1
1
1
1
= + cos 2αcos 2β- cos 2αcos 2β= .
2025
高考总复习
第1节
集合
课标解读
能运用和差倍角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化
和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
目录索引
1
2
强基础
固本增分
知识梳理
1.三角恒等变换的三个步骤
2.三角恒等变换常用方法
2
2
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如:1=sin x+cos x=tan 4 等.
270°<θ<360°,则
解析
3
θ
sin2 =__________.
3
∵270°<θ<360°,∴135°<2<180°,∴sin2
=
1-cos
2
=
3
.
3
6.(人教A版必修第一册5.5.2节例9(2))已知函数y=3sin x+4cos x,则它的最小
正周期是__________,最大值是__________.
2
8.(2022·北京,5)已知函数 f(x)=cos2x-sin2x,则( C )
A.f(x)在(-2 ,-6 )上单调递减
B.f(x)在(-4 , 12 )上单调递增
C.f(x)在(0,3 )上单调递减
7
D.f(x)在(4 , 12 )上单调递增
解析 f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,
π
π
π
π
sin( -)
4sin( -)cos( -) 2sin( -2)
π
4
4
2
4
2 ( -)
2×
·
cos
4
cos(π-)
4
考点二
三角函数式的求值(多考向探究预测)
考向1 给角求值
例2计算:(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°;
1
解 原式=2cos 20°·
所以
3
B.2
1
因为 cos α+sin α=2,所以(cos
3
3
2sin αcos α=-4,即 sin 2α=-4.
2
4
C.3
α+sin α)
D.7
1
=4,
2
π)
1-cos(22
2 (-π)
sin
π
1-sin2
2
4
2
又因为 tan (α- )= 2 π =
=
,
π
4 cos (- )
1+sin2
C.2sin 9°
D.2
2
解析
2sin18°×(3cos2 9°-sin2 9°-cos2 9°-sin2 9°)
原式=
2sin(6°+30°)
2sin18°×(2cos2 9°-2sin2 9°) 2sin18°cos18°
=
=
2sin36°
sin36°
=
sin36°
=1.
sin36°
( B )
(2)化简:sin αsin β+cos αcos
=
3cos20°-sin20° 2(sin60°cos20°-cos60°sin20°) 4sin40°
=
=
=4.
1
sin20°cos20°
sin40°
sin40°
2
考向 2 给值求值
1
2
例 3(2024·福建泉州模拟)若 cos α+sin α= ,则 tan (α- )=( D )
A.0
解析
B. 8
C. 4
解析
因为
2
D )
-1+ 5
D. 4
1-cos
1 1+ 5 3- 5
5-1 2
由 cos α=1-2sin ,得 sin =
= (1)=
=(
).
2
2
2
2
4
8
4
π
π
-1+ 5
0<α<2,所以 0<2 < 4,所以 sin2>0,所以 sin2 = 4 .
故选 D.
2
sin =(
2π
5
解析 y=3sin x+4cos
3
x=5(5sin
4
x+5cos
x)=5sin(x+φ),其中 cos
(3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值.
[对点训练
1
A.2
110° 250°
2](1)(2024·广东茂名模拟) 2
的值为(
2
25°- 155°
1
3
3
B.
C.
D.2
2
2
A )
1sin140° 1sin40°
-sin70°cos70°
6
6
6
cos2 (+ )-sin2 (+ )
π
αsin(α+ ),
6
考向 3
给值求角
3
4(2024·湖北襄阳模拟)已知 ≤α≤π,π≤β≤ ,sin
4
2
例
β-α=( C )
3
A. 或
4
4
B.
4
3
C.
4
4
2
2α= ,cos(α+β)=- ,则
5
10
5
D.
4
π
π
4
π
3
解析 因为 ≤ ≤π,所以 ≤2α≤2π.又 sin 2α= >0,则 <2α<π,故 cos 2α=- .
1+cos(2- )
4
2
2
3
1+
π
2
所以 tan (α-4)= 34=7.
14
规律方法
三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
[对点训练 3](2024·四川绵阳诊断测试)已知 sin
2
2
2
2
2β
[对点训练
1
2
1
cos
2x
1]化简:
=__________.
2
2 ( -) 2 ( +)
2 4 -2 2 +
4
4
1(4cos4 -4cos2 +1)
2 -1)2
(2cos
cos2 2
cos2 2
1
2
解析 原式=
=
=
= 2cos2 = 2cos 2x.
所以 tan α<0,tan β<0.又
所以
2π
α+β=- 3 .
π π
α,β∈(- , ),所以
2 2
π
α,β∈(- ,0),所以
2
α+β∈(-π,0),
考点三
三角恒等变换的综合应用
例 5(2023·北京,17)设函数 f(x)=sin ωx·cos φ+cos ωxsin
(1)若
3
f(0)=- ,求
3
2 4
7 2
2
=- ×(- )+ ×(- )=- ,故
5
10 5
10
2
3π
β-α= .
4
[对点训练 4](2024·河南许济洛平四市联考)设 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0
的两根,且 α,β∈(-2 , 2 ),则 α+β=( B )
A. 3
2
B.- 3
2
=
,
π
6
3
1-tantan
1- tan
6
3
tan+tan
所以 tan α+2 3tan α+3=0,则 tan α=- 3,故
2
π
3
tan(α+6)=- 3 ,
π
π
2 (+π)
1-tan
π
1
6
6
6
所以 cos(2α+ )= 2 π
=
= .
π
π
2
2
3 cos (+ )+sin (+ )
2
1+tan (+ )
=2.
2sin10°cos10°
sin20°
sin20°
10°(1+ 3 10°)-2 50°
(3)
.
1-10°
cos10°+ 3sin10°-2sin50° 2sin40°-2sin50°
解 原式=
=
2sin5°
2sin5°
2sin40°-2cos40° 2 2sin(40°-45°) -2 2sin5°
cos
sin160°
1
=
= .
16sin20°
16
40°·
cos
sin20°·cos20°·cos40°·cos80°
80°=
2sin20°
1
3
(2)
−
;
2 10°
210°
1
解
3
cos10°- 3sin10° 2(2cos10°- 2 sin10°) 2sin(30°-10°)
原式=
=
=
1
2
2
解析 原式= 2
===- .
2
cos 25°-sin 25°
cos50°
sin40°
2
(2)(2024·陕西西安模拟)若 λsin 160°+tan 20°= 3,则实数 λ 的值为( A )
B.4 3
A.4
4 3
D. 3
C.2 3
解析 由题可得,
3-tan20°
λ=
sin(180°-20°)
2
(2)已知
φ(ω>0,|φ|< ).
2
φ 的值.
2
2
f(x)在区间[-3 , 3 ]上单调递增,f( 3 )=1,再从条件①、条件②、条件③这
三个条件中选择一个作为已知,使函数 f(x)存在,求 ω,φ 的值.
条件①:f( )= 2;条件②:f(- )=-1;
3
3
=
=
=
=-2.
2sin5°
2sin5°
2sin5°
规律方法
给角求值问题的求解策略
给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角,求解时,需要观察分析所给角
与特殊角的关系、分析函数名称的关系,通过公式的正用、逆用、变形用,
使得式子中的角以及式子的结构发生变换,从而达到化简计算的目的,通常
有以下三种思路:
(1)通过变换,化为特殊角的三角函数值;
(5)引入辅助角:asin θ+bcos θ= 2 + 2 sin(θ+φ),这里辅助角 φ
的符号确定,φ 角的值由 tan
φ= 确定.
(6)项的分拆:如 sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x 等.
所在象限由 a,b
常用结论
1.1±sin 2α=(sin α±cos α)2.
2.cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α).
3.sin α±cos α= 2sin(α± ).
4
4.函数 y=asin ωx±bcos ωx 的最大值是 2 + 2 ,最小值是- 2 + 2 ,最小正
2
周期为 .
|ω|
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
cos(2α+3 )=(
3
A.- 2
αsin( -α)=3cos
3
αsin(α+ ),则
6
C )
解析 因为 sin
1
C.2
B.-1
π
αsin( -α)=sin
3
D.
π
π
αsin[ -(α+ )]=sin
2
6
3
2
π
α·
cos(α+ )=3cos
6
π
π
3tan+ 3
6
所以 tan α=3tan(α+ ),则 tan α=3×
4
2
5
2
5
π
π
3π
π
5π 5π
2
因为 <α< ,π≤ ≤ ,所以 <β-α< , <α+β<2π.又 cos(α+β)=- <0,
4
2
2
2
4 4
10
5π
3π
7 2
故 <α+β< ,sin(α+β)=- .
4
2
10
因为 cos(β-α)=cos[(β+α)-2α]=cos(β+α)cos 2α+sin(β+α)sin 2α
对于选项
对于选项
对于选项
对于选项
π π
π
A,当 x∈(- ,- )时,2x∈(-π,- ),f(x)单调递增,故 A 错误;
2 6
3
π π
π π
B,当 x∈(- , )时,2x∈(- , ),f(x)不单调,故 B 错误;
4 12
2 6
π
2π
C,当 x∈(0,3)时,2x∈(0, 3 ),f(x)单调递减,故 C 正确;
C. 3 或- 3
2
D. 3
解析 因为 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,
所以 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,所以
tan+tan
tan(α+β)=
1-tantan
= 3.
因为 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,
2
2
2
1
β-2cos
2
2αcos 2β.
1-cos2 1-cos2
1+cos2 1+cos2
1
解 原式=
·
+
·
− cos 2αcos 2β
2
2
2
2
2
1-cos2-cos2+cos2cos2
1+cos2+cos2+cos2cos2
1
=
+
−
cos
2α·
cos
4
4
2
1
1
1
1
= + cos 2αcos 2β- cos 2αcos 2β= .
2025
高考总复习
第1节
集合
课标解读
能运用和差倍角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化
和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
目录索引
1
2
强基础
固本增分
知识梳理
1.三角恒等变换的三个步骤
2.三角恒等变换常用方法
2
2
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如:1=sin x+cos x=tan 4 等.
270°<θ<360°,则
解析
3
θ
sin2 =__________.
3
∵270°<θ<360°,∴135°<2<180°,∴sin2
=
1-cos
2
=
3
.
3
6.(人教A版必修第一册5.5.2节例9(2))已知函数y=3sin x+4cos x,则它的最小
正周期是__________,最大值是__________.
2
8.(2022·北京,5)已知函数 f(x)=cos2x-sin2x,则( C )
A.f(x)在(-2 ,-6 )上单调递减
B.f(x)在(-4 , 12 )上单调递增
C.f(x)在(0,3 )上单调递减
7
D.f(x)在(4 , 12 )上单调递增
解析 f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,
π
π
π
π
sin( -)
4sin( -)cos( -) 2sin( -2)
π
4
4
2
4
2 ( -)
2×
·
cos
4
cos(π-)
4
考点二
三角函数式的求值(多考向探究预测)
考向1 给角求值
例2计算:(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°;
1
解 原式=2cos 20°·
所以
3
B.2
1
因为 cos α+sin α=2,所以(cos
3
3
2sin αcos α=-4,即 sin 2α=-4.
2
4
C.3
α+sin α)
D.7
1
=4,
2
π)
1-cos(22
2 (-π)
sin
π
1-sin2
2
4
2
又因为 tan (α- )= 2 π =
=
,
π
4 cos (- )
1+sin2
C.2sin 9°
D.2
2
解析
2sin18°×(3cos2 9°-sin2 9°-cos2 9°-sin2 9°)
原式=
2sin(6°+30°)
2sin18°×(2cos2 9°-2sin2 9°) 2sin18°cos18°
=
=
2sin36°
sin36°
=
sin36°
=1.
sin36°
( B )
(2)化简:sin αsin β+cos αcos
=
3cos20°-sin20° 2(sin60°cos20°-cos60°sin20°) 4sin40°
=
=
=4.
1
sin20°cos20°
sin40°
sin40°
2
考向 2 给值求值
1
2
例 3(2024·福建泉州模拟)若 cos α+sin α= ,则 tan (α- )=( D )
A.0
解析
B. 8
C. 4
解析
因为
2
D )
-1+ 5
D. 4
1-cos
1 1+ 5 3- 5
5-1 2
由 cos α=1-2sin ,得 sin =
= (1)=
=(
).
2
2
2
2
4
8
4
π
π
-1+ 5
0<α<2,所以 0<2 < 4,所以 sin2>0,所以 sin2 = 4 .
故选 D.
2
sin =(
2π
5
解析 y=3sin x+4cos
3
x=5(5sin
4
x+5cos
x)=5sin(x+φ),其中 cos