河南省商丘市2019-2020学年高二下学期期末2份数学检测试题

基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 满足1
()1(1)
f x f x +=
+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-上方程
()0f x mx m --=有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )
A ．1[0,)2
B ．1[,)2
+∞
C ．1[0,)3
D ．1(0,]2
2．函数y ＝﹣ln （﹣x ）的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点” D ．“第二次的点数是奇数”
4．从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．函数ln ()x
f x x
=的单调递减区间是（ ） A ．(0,1)
B ．(0,)e
C ．(1,)+∞
D ．(,)e +∞
7．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2sin sin sin B A C =+，
3
cos 5
B =，且6AB
C S ∆=，则b =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．某物体的位移s （米）与时间t （秒）的关系为2s t t =-，则该物体在2t =时的瞬时速度是（ ） A ．2米/秒
B ．3米/秒
C ．5米/秒
D ．6米/秒
9．如图所示，阴影部分的面积为（ ）
A ．
12
B ．1
C ．
23
D ．
76
10．设x ，y 满足约束条件1
101
x y x x y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数2y z x =-的取值范围为( )
A ．22,33⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．[]22-,
D ．[]3,3-
11．点M 的极坐标为（1，π），则它的直角坐标为（ ） A ．（1，0）
B ．（1-，0）
C ．（0，1）
D ．（0，1-）
12．若直线l 经过点(1,2)--，且原点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为 A ．3450x y --=
B ．1x =-
C ．3450x y --=或1y =-
D ．3450x y --=或1x =-
二、填空题：本题共4小题
13．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2
2
21x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
cos 4sin ρθθ=，l 与C 交于,A B 两点，则
AB =_______.
14．若()(),22a R i a i R ∈-+∈，则a =____
15．已知函数,0
()(1),0
x x
e x
f x a x e x -⎧<=⎨--≥⎩()a R ∈，若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得
312123
()
()()f x f x f x e x x x ===-成立，则实数a 的取值范围是__________． 16．请列举用0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，11a =，()
*21n n S n N =-∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21log n n b a +=，数列21n n b b +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求使1
2n T >时n 的最小值.
18．直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P(2,1)，直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，且线段AB 被直线OP 平分. ①求直线l 的斜率；②若0PA PB ⋅=，求直线l 的方程.
19．（6分）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线221
2y x -=的焦点重合，过点P （4，0）且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB ⋅的取值范围.
20．（6分） “蛟龙号”从海底中带回某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为
13，乙组能使生物成活的概率为1
2
，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． (1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
(2)若甲乙两小组各进行2次试验，求两个小组试验成功至少3次的概率． 21．（6分）已知函数()2
()x
f x e ax a R =-∈．
（1）若()
()1
f x
g x x =
+有三个极值点123,,x x x ，求a 的取值范围； （2）若3
()1f x ax ≥-+对任意[]0,1x ∈都恒成立的a 的最大值为μ，证明：2655
μ<<
． 22．（8分）已知复数()3z bi b R =+∈，且()13i z +⋅为纯虚数，求
1z
i
+.（其中i 为虚数单位）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
分析：首先根据题意，求得函数()f x 在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数
(),y f x y mx m ==+的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到
结果.
详解：当(1,0]x ∈-时，1(0,1]x +∈，1()1(1)f x f x =
-+1
11x =-+1
x x =-+，
在同一坐标系内画出(),y f x y mx m ==+的图像，
动直线y mx m =+过定点(1,0)-，当再过(1,1)时，斜率1
2
m =， 由图象可知当1
02
m <≤
时，两图象有两个不同的交点， 从而()()g x f x mx m =--有两个不同的零点，故选D.
点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素. 2．C 【解析】 【分析】
分析函数的定义域，利用排除法，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，函数ln()y x =--的定义域为(,0)-∞，所以可排除A 、B 、D ， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理使用函数的性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了判断与识别能力，属于基础题．
3．A
【解析】
【分析】
利用独立事件的概念即可判断．
【详解】
“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，
而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立，
故选D．
【点睛】
本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题．
4．D
【解析】
【分析】
从a、b、c中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果.
【详解】
A .
由排列数的定义可知，从a、b、c中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为236
故选：D.
【点睛】
本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积.
【详解】
由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几
何体的表面积为
【点睛】
本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力. 6．D 【解析】
分析：对()ln x f x x =
求导，令()0f x '< ，即可求出函数()ln x
f x x =的单调递减区间. 详解：函数()ln x f x x =的定义域为() 0,+∞，()2
1ln ,x
f x x
-'= ()0f x '<得到 1ln 0,x x e -∴.
故选D
点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题. 7．C 【解析】
利用正弦定理可得:2b a c =+， ① 由余弦定理可得：()2
2
2
2
316255b a c ac a c ac =+-⨯=+-， ② 由cos 45B =
，得4
14
sin ,65
25
ABC B S ac ∆=∴=⨯=， ③ 由① ② ③得，4b =，故选C. 8．B 【解析】 【分析】
根据导数的物理意义，求导后代入2t =即可. 【详解】
由2s t t =-得：21s t '=- ∴当2t =时，3s '= 即该物体在2t =时的瞬时速度为：3米/秒 本题正确结果：B 【点睛】
本题考查导数的物理意义，属于基础题. 9．B 【解析】
如图所示x 轴与函数2y
x x 围成的面积为12S S S =+
1
1
2
232110
002
2322
21
1
1
1111
[0()]()()3232611
11115()()
843232326
S x x dx x x dx x x S x x dx x x =--=-+=-+=-+==-=-=⨯-⨯-+=⎰⎰⎰
,因此1215
1,66
S S S =+=+=故选B. 10．A 【解析】 【分析】
作出可行域,将问题转化为可行域中的点与点(2,0)D 的斜率问题,结合图形可得答案. 【详解】
画出满足条件得平面区域,如图所示:
目标函数2
y
z x =
-的几何意义为区域内的点与(2,0)D 的斜率，过(1,2)-与(2,0)时斜率最小,过(1,2)--与(2,0)时斜率最大，
min max 2222
,.123123
z z -∴=
=-==---- 故选:A.
【点睛】
本题考查了利用线性规划求分式型目标函数取值范围问题,解题关键是转化为斜率,难度较易. 11．B 【解析】 【分析】
将极坐标代入极坐标与直角坐标之间的互化公式，即可得到直角坐标方程. 【详解】
将极坐标代入互化公式得：cos 1cos 1x ρθπ==⨯=-，
sin 1sin 0y ρθπ==⨯=，所以直角坐标为：
1,0.
故选B. 【点睛】
本题考查极坐标化为直角坐标的公式，注意特殊角三角函数值不要出错. 12．D 【解析】 【分析】
当直线斜率不存在时，满足题意；当直线斜率存在时，假设直线方程，利用点到直线距离公式构造方程解得结果. 【详解】
当直线l 斜率不存在时，方程为：1x =-，满足题意；
当直线l 斜率存在时，设直线方程为：()21y k x +=+，即：20kx y k -+-=
∴原点到直线l
距离：1d ==，解得：34
k =
∴直线l 为：
35
044
x y --=，即：3450x y --= 综上所述：直线l 的方程为：1x =-或3450x y --= 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查点到直线距离公式的应用，易错点是忽略直线斜率不存在的情况，导致求解错误. 二、填空题：本题共4小题 13．8 【解析】 【分析】
将曲线C 极坐标方程化为化为直角坐标方程，将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到韦达定理的形式；利用12AB t t =-可求得结果. 【详解】
曲线2
:cos 4sin C ρθθ=的直角坐标方程为：2
4x y =，
把直线,:1x l y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入2
4x y =
得：280t --=，
12t t ∴+=128t t =-，则
128AB t t =-=
==.
故答案为：8. 【点睛】
本题考查极坐标与参数方程中的弦长问题的求解，涉及到极坐标化直角坐标，直线参数方程中参数的几何意义等知识的应用；关键是明确直线参数方程标准方程中参数t 的几何意义，利用几何意义知所求弦长为
12AB t t =-.
14．4 【解析】 【分析】
去括号化简，令虚部为0，可得答案. 【详解】
(2)(2)22(4)i a i a a i R -+=++-∈
∴-==40,4a a ，故答案为4.
【点睛】
本题主要考查了复数的乘法运算以及复数z a bi =+为实数的等价条件. 15．(,1]e -- 【解析】
分析：若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得
()()()1231
2
3
f x f x f x e x x x =
=
=-成立，等价为方程
()f x ex =-存在三个不相等的实根，由于当0x <时，()x f x e -=，只有一个根，则当0x ≥时，方程()f x ex =-存在两个不相等的实根，构造函数，求函数的导数，研究函数的最值，即可得到结论.
详解：若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得()()()1231
2
3
f x f x f x e x x x =
=
=-成立，
等价为方程()f x ex =-存在三个不相等的实根， 当0x <时，()x
f x e -=，
x e ex -∴=-，解得1x =-，
∴当0x <时，()x f x e -=，只有一个根.
∴当0x ≥时，方程()f x ex =-存在两个不相等的实根，
即()1x
a x e ex =--.
设()()1,0x
g x x e ex x =--≥，
()()1x x x g x e x e e xe e ∴=+--=-'，
令()'
0g x =，解得1x =，
当()'
0g x >，解得1x >，()g x 在()1,+∞上单调递增；
当()'
0g x <，解得01x <<，()g x 在()0,1上单调递减；
又()01g =-，()1g e =-， 存在两个不相等的实根，
1e a ∴-<≤-.
故答案为(]
,1e --.
点睛：本题考查导数的综合应用，根据条件转化为方程()f x ex =-存在三个不相等的实根，构造函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大. 16．310，302，320，312 【解析】 【分析】
根据题意，分别讨论个位数字是0和个数数字是2两种情况，即可得出结果. 【详解】
由0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数有： （1）当个位数字是0时，数字可以是：310，320； （2）当个数数字是2时，数字可以是：302，312. 故答案为：310，302，320，312. 【点睛】
本题主要考查简单的排列问题，只需按要求列举即可，属于基础题型. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）()1
21n n a n -=≥；
（2）3 【解析】 【分析】
（1）根据1111n n
n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩结合n S 的递推关系可求解.
（2）由（1）可得21log n n b a n +==，则()211111222n n b b n n n n +⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
，用裂项相消可求和，从而解决问题.
【详解】
解：（1）由两式112121,2
n n n n S S n --⎧=-⎨=-≥⎩相减得到，11222n n n n a ---==，2n ≥； 当1n =，也符合12n n a ， 综上，()12
1n n a n -=≥. （2）由12n n a 得，21log n n b a n +==， ∴()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， ∴1111111112324352n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭
111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭
31114212n n ⎛⎫=
-+ ⎪++⎝⎭， 易证明n T 在n *∈N 时单调递增，且231112124240
T T =
<<=， 故n 的最小值为3.
【点睛】 本题考查根据n S 的递推关系求数列的通项公式和用裂项相消法求和，属于中档题.
18． (1) 2
214
x y +=. (2) ①直线的斜率为除
12以外的任意实数. ②112
y x =-+. 【解析】
分析：（1）由离心率条件得，然后将点31,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.代入原式得到第二个方程，联立求解即可；（2）①先得出OP 的方程
，然后根据点差法研究即可；②先表示出PA PB ⋅，然后联立直线和椭圆根据韦达定理代入等式求解即可.
详解：
（1）由可得，
设椭圆方程为，代入点，得， 故椭圆方程为：.
（2）①由条件知， 设，则满足，， 两式作差得：， 化简得， 因为被平分，故，
当120x x +≠即直线l 不过原点时，120y y +≠，所以；
当120x x +=即直线l 过原点时，120y y +=，1212y y x x --为任意实数,但121212y y x x -=-时l 与OP 重合； 综上即直线的斜率为除12
以外的任意实数. ②当120x x +=时，120y y +=，故()()()()12122211PA PB x x y y ⋅=--+-- 221150x y =--=，
得22115x y +=，联立，得21103
y =-<，舍去； 当120x x +≠时，设直线为
，代入椭圆方程可得，（＃） 所以122x x t +=，()
21221x x t =-， ()1212121112222y y x t x t x x t t ⎛⎫⎛⎫+=-++-+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ()()
22121212121111122422t y y x t x t x x x x t t ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故()()()()12122211PA PB x x y y ⋅=--+--
()()()
21212121252412102x x x x y y y y t t =-+++-++=
-+= 解得，此时方程（＃）中，
故所求直线方程为.
点睛：考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，期中点差法的应用是必须要熟悉掌握的，当出现弦的中点问题时通常都会想到的点差法的应用同时对计算的准确性也提出了较高要求，属于较难题型. 19．（1）
；（2） 【解析】
试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出
的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式
：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解
问题中结论. 试题解析：解：（1）由题意知22222211,24
c c a b e e a a a -==∴===， 2243
a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,3),3b =224,3a b ∴==， ∴椭圆的方程为22143
x y +=. （2）若直线l 的倾斜角为0，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-，
当直线l 的倾斜角不为0时，直线l 可设为4x my =+，
22224{(34)243603412
x my m y my x y =+⇒+++=+=，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>
设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212222436,3434
m y y y y m m +=-=++， 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++
2116434m =-+，2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-，综上所述：范围为13[4,)4
-. 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题. 20．（1）
727；（2）736 【解析】
【分析】
（1）“三次试验中至少两次试验成功”是指三次试验中，有2次试验成功或3次试验全部成功，先计算
出2次与3次成功的概率，相加即可得到所要求的概率．（2）分成功3次，4次两种情况求其概率相加即可
【详解】
(1)设“甲小组做了三次实验，至少两次试验成功”为事件A ，则其概率为
()23
23331117133327
P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝. (2)设“甲乙两小组试验成功3次”为事件B ，则 ()2021122112222212112113323326
P B C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝， 设“甲乙两小组试验成功4次”为事件C ，则()2022222121133236
P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝， 故两个小组试验成功至少3次的概率为()()11763636P B P C +=
+=. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验某事件恰好发生k 次的概率、相互独立事件的概率乘法公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
21．（1）111,
,22e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）若()()
1f x g x x =+有三个极值点123,,x x x ，只需()20x
h x e ax a =--=应有两个既不等于0也不等于1-的根；（2）()31f x ax ≥-+恒成立即()231x e a x x -≥-.变量分离，转化为函数最值问题.
（1）()2
1
x e ax g x x -=+，定义域为()(),11,-∞-⋃-+∞， ()()()(
)()
22211x x e ax x e ax g x x --'-+=+ ()()221x x e ax a x --=+，∵()00g '=， 只需()20x h x e ax a =--=应有两个既不等于0也不等于1-的根，()x h x e a '=-，
①当0a ≤时，()0h x '>，∴()h x 单增，()0h x =最多只有一个实根，不满足；
②当0a >时，()0x
h x e a =-='⇒ 0ln x e a x a =⇒=， 当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单增；
∴()0h x 是()h x 的极小值，
而x →+∞时，()2x h x e ax a =--→+∞，x →-∞时，()2x
h x e ax a =--→+∞，
要()0h x =有两根，只需()00h x <，由()00020x
h x e ax a =--< ln ln 20a e a a a ⇒--< ln 0ln 10a a a a ⇒--<⇒--< 1ln 1a a e ⇒>-⇒>，又由()1001202
h a a ≠⇒-≠⇒≠， 反之，若1a e >且12a ≠时，则()110h a e
-=-<，()0h x =的两根中，一个大于1-，另一个小于1-. 在定义域中，连同0x =，()0g x '=共有三个相异实根，且在三根的左右，()g x '正负异号，它们是()g x 的三个极值点.
综上，a 的取值范围为111,
,22e ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）()321x f x ax e ax ≥-+⇔- ()32311x ax e a x x ≥-+⇔-≥-对[]0,1x ∀∈恒成立，
①当0x =或1时，a R ∈均满足；
②()
231x e a x x -≥-对()0,1x ∀∈恒成立231x e a x x -⇔≤-对()0,1x ∀∈恒成立， 记()231x e u x x x -=-，()0,1x ∈，max 23min
1x e a x x μ⎛⎫-== ⎪-⎝⎭，()0,1x ∈， 欲证23min
261265555x e x x μ⎛⎫-<<⇐<< ⎪-⎝⎭， 而()23min min 1x e u x x x ⎛⎫-=< ⎪-⎝⎭
)118111248u ⎛⎫== ⎪⎝⎭-，
只需证明
)2613811520<⇐<
331089 2.722520400
e ⇐<⇐<=，显然成立. 下证：2323min
1155x x e e x x x x ⎛⎫-->⇐> ⎪--⎝⎭，()0,1x ∈，23551x e x x >-+，()0,1x ∈， 先证：2311126
x e x x x >+++，()0,1x ∈， 3211162
x e x x x ⇐--->，()0,1x ∈. 令()321162
x v x e x x x =---，()0,1x ∈， ()2112
x v x e x x '=---，()1x v x e x '=--'，()1x v x e =''-'，∴()v x ''在()0,1上单增， ∴()()00v x v ''''>=，∴()v x '在()0,1上单增，∴()()00v x v ''>=，∴()v x 在()0,1上单增， ∴()()01v x v >=，即证.
要证：23551x e x x >-+，()0,1x ∈.
只需证232311155126x x x x x +++≥-+，()323190,1062
x x x x ∈⇐-+≥ 32312760x x x ⇐-+≥ ()
2312760x x x ⇐-+≥ 2312760x x ⇐-+≥，()0,1x ∈ 而2274316150∆=-⨯⨯=-<，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.
点睛：第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点．第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a 满足的表达式，再求这个表达式的范围．
22【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义出复数z ，再代入目标式子利用复数的运算法则、模的计算公式即可得到答案．
【详解】
复数3i()z b b =+∈R ，且(1)3i z +⋅为纯虚数．
即(13)(3)33(9)i bi b b i +⋅+=-++为纯虚数，330b ∴-=，90b +≠，
解得1b =．
3z i ∴=+． ∴3(3)(1)42211(1)(1)2
z i i i i i i i i i ++--====-+++-，
|||2|1z i i
∴=-=+ 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查对概念的理解、考查基本运算求解能力，属于基础题．
同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足z?i=2+i -（i 为虚数单位）
，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．若某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60
3．在平面四边形ABCD ，(1,3)AC =，(9,3)BD =-，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．710 B ．272 C ．15 D ．9102 4．已知m 是实数，函数()()2f x x x m =-，若()11f '-=-，则函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．()4,,0,3⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a 、b ，则双曲线22221x y a b
+=的离心率5e >的概率是（ ）
A ．16
B ．14
C ．13
D ．136
6．若
展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．120
7．已知函数()1ln a f x x x =
-+，若存在00x >，使得()00f x ≤有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a <
B ．1a ≤
C ．2a >
D ．3a ≥ 8．已知()215P AB =
，()25P A =，那么()|P B A 等于（ ） A ．475 B ．13 C ．23 D ．34
9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，
()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是
A ．[–1，0）
B ．[0，+∞）
C ．[–1，+∞）
D ．[1，+∞）
10．两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中的概率()0.8P A =，乙射中的概率()0.9P B =，则目标被击中的概率为（ ）
A ．1.7
B ．1
C ．0.72
D ．0.98
11．抛物线24y x =的焦点为F ，点(5,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为
A ．6
B ．8
C ．11
D ．13
12．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为
A ．100
B ．200
C ．300
D ．400
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数22log (3),2()2,2
x x x f x x --<⎧=⎨≥⎩，则2(log 12)f =_________ 14．若(12)n x +的二项展开式中的第3项的二项式系数为15，则(12)n x +的展开式中含3x 项的系数为_______．
15．已知正数x y ，满足23x y +=，则212y x y
+的最小值____________． 16．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有3()()0f x xf x '+>，则不等式3(2019)(2019)27(3)0x f x f +++->的解集是______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知5n x
⎛ ⎝
. （1）当6n =时，求：
①展开式中的中间一项；
②展开式中常数项的值；
（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中含x 项的系数.
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==
111AA 2AC 2,AC A C O ===，点B 在平
而1ACC A 内的射影为O
(1)证明：四边形11ACC A 为矩形；
(2)E F 、分别为11A B 与BC 的中点，点D 在线段1AC 上，已知//EF 平面1A BD ，求
1
AD DC 的值. (3)求平面1OB C 与平面11ACC A 所成锐二面角的余弦值 19．（6分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3（1）求椭圆C 的方程；
（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.
20．（6分）已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；
（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；
（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.
21．（6分）已知函数()3f x m x =--，不等式()2f x >的解集为{|24}x x <<. （I ）求实数m 的值；
（II ）若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.
22．（8分）设2()f x x =，()()1x
g x x e =-（e 为自然对数的底数)． （1）记()().()
g x h x f x =①讨论函数()h x 单调性；②证明当0x >时，()()h x h x >-恒成立. （2）令()()()(),F x ag x f x a R =+∈设函数()F x 有两个零点，求参数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A
【解析】
【分析】
算出z 后可得其对应的点所处的象限.
【详解】
因为2zi i =-+，故12z i =+，其对应的点为()1,2，它在第一象限，故选A.
【点睛】
本题考查复数的除法及复数的几何意义，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
【详解】
分析：根据三视图得到原图，再由椎体的体积公式得到结果.
详解：由三视图得到原图是，底面为直角三角形，高为5的直棱柱，沿面对角线切去一个三棱锥后剩下的部分．体积为：111345-345=20.232⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为B.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
3．C
【解析】
【分析】
首先根据0AC BD =得到AC BD ⊥，再求四边形ABCD 的面积即可.
【详解】
因为1(9)330AC BD =⨯-+⨯=，所以AC BD ⊥，
所以四边形ABCD 的面积111522S AC BD =
⨯==. 故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于简单题.
4．A
【解析】
分析：根据函数f （x ）=x 2（x ﹣m ），求导，把f′（﹣1）=﹣1代入导数f′（x ）求得m 的值，再令f′（x ）>0，解不等式即得函数f （x ）的单调增区间．
详解：f′（x ）=2x （x ﹣m ）+x 2
∵f′（﹣1）=﹣1
∴﹣2（﹣1﹣m ）+1=﹣1
解得m=﹣2，
∴令2x （x +2）+x 2>0，解得4x 3
<-,或x>0， ∴函数f （x ）的单调减区间是()4,,0,3⎛⎫-∞-
+∞ ⎪⎝
⎭． 故选：A ．
点睛：求函数的单调区间的方法
(1)确定函数y ＝f(x)的定义域；
(2)求导数y ′＝f ′(x)； (3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
5．A
【解析】
由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，共有6×6=36种结果
满足条件的事件是e=c a => ∴b
，符合b 的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；
当b=2时，有a=5，6两种情况，
总共有6种情况．
∴概率为
16
． 故选A
6．B
【解析】 试题分析：根据二项式的展开式的二项式系数是14，写出二项式系数的表示式，得到次数n 的值，写出通项式，当x 的指数是0时，得到结果．
解：∵C n °+C n 1+…+C n n =2n =14，
∴n=1．
T r+1=C 1r x 1﹣r x ﹣r =C 1r x 1﹣2r ，
令1﹣2r=0，∴r=3，
常数项：T 4=C 13=20，
故选B ．
考点：二项式系数的性质．
7．B
【解析】
【分析】
先将()00f x ≤化为000ln a x x x ≤-,再令()ln g x x x x =-,则问题转化为:max ()a g x ≤,然后通过导数求得()g x 的最大值代入可得.
【详解】
若存在00x >，使得()00f x ≤有解,即存在00x >,使得000ln a x x x ≤-,
令()ln g x x x x =-,则问题转化为:max ()a g x ≤,
因为()1(1ln )ln g x x x '=-+=-,
当01x << 时,()0g x '> ;当1x > 时,()0g x '< ,
所以函数()g x 在(0,1) 上递增,在(1,)+∞ 上递减,
所以max ()(1)1g x g == ,
所以1a ≤.
故选B .
【点睛】
本题考查了不等式能成立问题,属中档题.
8．B
根据条件概率公式得出()()()|P AB P B A P A =
可计算出结果. 【详解】
由条件概率公式得()()()251|1523
P AB P B A P A =
=⨯=，故选B. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.
9．C
【解析】
分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数()f x 的图像，x y e =在y 轴右侧的去掉，
再画出直线y x =-，之后上下移动，
可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程()f x x a =--有两个解，
也就是函数()g x 有两个零点，
此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
【分析】
先计算没有被击中的概率，再用1减去此概率得到答案.
【详解】
()()
110.20.10.98p p A p B =-=-⨯=.
故选：D .
【点睛】
本题考查了概率的计算，先计算没有被击中的概率是解题的关键.
11．C
【解析】
【分析】
【详解】
求△MAF 周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M 在准线上的射影为D ，
根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，
因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.
根据平面几何知识，可得当D ，M ，A 三点共线时|MA|+|MD|最小，
因此最小值为x A ﹣（﹣1）=5+1=6，
∵，
∴△MAF 周长的最小值为11，
故答案为：C ．
12．B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：设没有发芽的种子数为ξ，则(1000,0.1)B ξ~，2X ξ=，所以()2()210000.1200E X E ξ==⨯⨯=
考点：二项分布
【方法点睛】
一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
二、填空题：本题共4小题
13．3
【解析】
【分析】
判断2log 122≥，再代入2()2
x f x -=，利用对数恒等式，计算求得式子的值为3. 【详解】
因为2log 122≥，所以2(log 12)f =22log 12log 12222122
324-===，故填3. 【点睛】
在计算2log 1222-的值时，先进行幂运算，再进行对数运算，能使运算过程更清晰.
14．160.
【解析】
分析：先根据二项式系数求n ，再根据二项式展开式通项公式求含3x 项的系数.
详解：因为()12n x +的二项展开式中的第3项的二项式系数为15，所以2156n C n =∴=,
因为()12n
x +的展开式中162r r r r T C x +=，所以含3x 项的系数为3362=160.C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
15 【解析】
【分析】 根据条件可得
2122212663
y y x y y x x y x y x y ++=+=++，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】
23x y +=， ∴
212226y y x y x y x y ++=+ 212126363
y x y x x y x y =+++
=
，
当且仅当26y x x y =，即x y ==
∴212y x y +．
． 【点睛】
本题考查了基本不等式及其应用，关键掌握“1“的代换，属基础题．
16．(2022,2019)--
【解析】
【分析】
根据题意,构造函数3()()g x x f x =, (,0)x ∈-∞,利用导数判断()g x 的单调性,再把不等式
3(2019)(2019)27(3)0x f x f +++->化为(2019)(3)g x g +>-,利用单调性求出不等式的解集.
【详解】
解:根据题意,令3()()g x x f x =,
其导函数为232()3()()3()()g x x f x x f x x f x xf x '''⎡⎤=+=+⎣⎦
(,0)x ∈-∞时,3()()0f x xf x '+>,
()0g x ∴>,
()g x ∴在(,0)-∞上单调递增;
又不等式3
(2019)(2019)27(3)0x f x f +++->可化为 33(2019)(2019)(3)(3)x f x f ++>--,
即(2019)(3)g x g +>-,
020193x ∴>+>-;
解得20192022x ->>-,
∴该不等式的解集是为(2022,2019)--.
故答案为:(2022,2019)--.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）①3
22500x -；②375；（2）150.
【解析】
【分析】
（1）当6n =时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；
（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 项的系数．
【详解】
（1）①当6n =
时，65x ⎛- ⎝
的展开式共有7项， 展开式中的中间一项为(
)33333
322465201252500T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯=- ⎝； ②展开式的通项公式为(
)()36662166515r r r
r r r r r T C x C x ---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3602
r -=，得4r =，所求常数项的值为()442615375C ⋅-⋅=； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240，
而展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ，
则42240n n ，即()()2152160n n +-=，解得4n =.
所以，展开式通项为(
)()34442144515r r r r r r r r T C x C x ---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝
， 令3412r -=，解得2r ，因此，展开式中含x 项的系数为()2224
15150C ⋅-⨯=. 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 18．（1）详见解析（2）
12（3
）31 【解析】
【分析】
（1）根据投影分析线段,BA BC 长度关系，由此得到,OA OC 长度关系，由此去证明四边形11ACC A 为矩形；（2）通过取AC 中点，作出辅助线，利用线面平行确定点D 位置，从而完成
1AD DC 的计算；（3）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：BO 平面11ACC A ，
,OC OA 在平面11ACC A ，。