湖北名校高三数学第一轮复习平面向量训练题(每题精析)

2009届高三第一轮复习平面向量训练题
一、选择题：(带☆的为近年高考题)
1． 2007—2008学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷
过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若A
D x A B =，A
E yAC =，
0xy ≠，则
11
x y
+的值为（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
2．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =， （2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =
（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A ．00a b =
B ．00
1a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b +=
4．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）
A ．0,24
B ．24,4
C ．16,0
D ．4,0
☆5．设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，则必有 （ ）
A ．⊥a b
B ．∥a b
C ．||||=a b
D ．||||≠a b
6．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ）
A ．(3,1)
B ．(1,1)-
C ．(3,1)或(1,1)-
D ．无数多个
7．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB 、BC 分别为a 、b ，则AH =（ ）A ．52a -54b B ．52a +54
b C ．-
52a +54b D ．-52a -5
4
b
☆8．设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为（ ）
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2,－6)
D ．(－2,－6)
9．若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是o
180，且53||=，则=( )
A ．)6,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,6(-
D ．)3,6(-
10．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于
A ．2-
B ．2
C ．
2
1
D ．12-
A
B C E F
D
H
11．设3(,sin )2a α=，1
(cos ,)3
b α=，且//a b ，则锐角α为（ ）
A ．0
30 B ．0
60 C ．0
75 D ．0
45
12．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，
()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A.2 B.3 C.23 D.32
13．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( )
A ．)2,4(
B ．)2,4(--
C ．)3,6(-
D ．)2,4(或)2,4(--
☆14．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P 的坐标为（ ）
A （-2，4）
B （-30，25）
C （10，-5）
D （5，-10）
☆15．设(43)=，a ,a 在b b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ） A ．(214)，
B ．227⎛
⎫-
⎪⎝⎭， C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
D ．(28)，
☆16．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c =b b a a a a ⎪⎭
⎫
⎝⎛∙∙-，则向量a 与c 的夹角为 ( )
A. 0
B.
6π C. 3π D. 2
π ☆17．平面向量a =(x ，y )，b =(x 2，y 2)，c =(1，1)，d =(2，2)，若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a
有 ( )
A. 1个
B. 2个
C. 多于2个
D. 不存在 ☆18．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
☆19．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
OP =OA +λ(
AB AC
|AB ||AC |
+
)，),[∞+∈λ0，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 二、填空题：
20．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-，b =1，且5a b ⋅=，则向量=____。

21．若3a =,2b =，且a 与b 的夹角为0
60，则a b -= 。

22．把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是_____。

23．已知)1,2(=a
与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。

24．已知向量(1,2)a →
=，(2,3)b →
=-，(4,1)c →
=，若用→
a 和→
b 表示→
c ，则→
c =____。

25．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ． 26．若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+=__________。

27．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += 。

☆28．在A B C ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最小值是
____ _.
☆29.设向量b ,满足()
⊥⊥-=++,,
b,若1=
,
则++
的值是
☆30．如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM ,
线段OB 及AB 的延长线围成的区域内
(不含边界)运动, 且y x +=, 则x 的取值范围是__________;
当2
1
-=x 时, y 的取值范围是__________.
三、解答题:
31．求与向量(1,2)a =，(2,1)b =夹角相等的单位向量c 的坐标．
32．（1）已知||=4，||=3，（2－3）·（2+）=61，求与的夹角θ； （2）设=（2，5），=（3，1），=（6，3），在上是否存在点M ，使 MB MA ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.
图2
O A
B
P
M
33．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈(
2
3,2π
π)。

(1)若||||AC CB =，求角α的值； (2)若AC CB ⋅=1，求a
a a tan 12sin sin 22++的值.
34. 2008年成都名校联盟高考数学冲刺预测卷二
已知a ＝（αcos ，αsin ），b ＝（βcos ，βsin ），a 与b 之间有关系式|k a +b |=3|a -k b |，其中k ＞0．
（1）用k 表示a 、b ；
（2）求a ·b 的最小值，并求此时，a 与b 的夹角θ的大小．
2009届高三第一轮复习 平面向量训练题参考答案
一、选择题：(带☆的为近年高考题) 1．解析：取△ABC 为正三角形易得
11
x y
+＝3．选B ． 评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．
2．C （1）是对的；（2）仅得a b ⊥；（3）2
2
22
()()0a b a b a b a b +⋅-=-=-= （4）平行时分0
0和0
180两种，cos a b a b a b θ=⋅=±⋅ 3．C 因为是单位向量，00||1,||1a b ==
4．D 2(2cos 3,2sin 1),|2|(2cos a b a b θθθ-=-+-=-
==，最大值为4，最小值为0
☆5．A f (x )的图象是一直线，则f (x )是x 的一次式.而f (x )展开后有x 的二次-x 2a·b ，故
-a·b=0⇒a ⊥b ， 6．C 设(,)P x y ，由AB =2AP 得2AB AP =，或2AB AP =-，
(2,2),(2,)AB AP x y ==-，即(2,2)2(2,),3,1,x y x y =-==(3,1)P ； (2,2)2(2,),1,1,x y x y =--==-(1,1)P -
7．B 过E 作EG ∥BA 交AF 于G ，EG=
23CF=23DF ，=5
4
☆8．D 解：设d ＝（x ，y ），因为4a ＝（4，－12），4b －2c ＝（－6，20），2(a －c )
＝
（4，－2），依题意，有4a ＋（4b －2c ）＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，
9．A
设(,2),0b ka k k k ==-<，而53||=3,(3,6)k b ==-=- 10．D (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+
2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=-，则121128,2
m m m -+=+=-
11．D 00
31sin cos ,sin 21,290,4523
ααααα⨯====
12．C 12
(2sin cos ,2cos
sin ),PP θθ
θθ=+--- 122(2PP =
=
=13
．D 设(2,),b ka k k ==，而||25b =，则,(4,2),(4,2)k b ==±=--或 ☆14．C 设5秒后点P 运动到点A,则5
PA PO OA V =+=∴(20,15)(10,10)OA =-+-=(10,-5).
☆15．B 由题意可知a 与b 的夹角为4
π
，且b 的终点在直线 又因为||14≤b 。

☆16．D 由题意得a ·c = a ·⎪⎭
⎫ ⎝⎛∙∙-
b b a a a a = a ·a - ()b a b a a a ∙⨯∙∙= a ·a - a ·a = 0， 因此a 与
c 的夹角是
2
π
. ☆17．A 依题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+21122y x y x ，2122
=
+y x
表示以原点O 为圆心，2
2为半径的圆，由
点到直线的距离公式可得圆心到直线x+y =1的距离d =2
221=
，故直线与圆相切，
只有一个交点，故x 、y 只有一组解.
☆18．D 由0=⋅-⋅⋅=⋅得.
即0,0)(=⋅=-⋅即， 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理
所以P 为ABC ∆的垂心.
☆19. B
表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
AB AC |AB ||AC |
+
在∠BAC 的平分线上，故P 点的轨迹过三角形的内心.
二、填空题：
20．43(,)55- 5,cos ,1,,a b a a b a b a b
=<>==方向相同，14
3(,)555b a ==-
21
22
2()
2927
a b a b a a b b -=-=
-+=-=22．圆 以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆 23．4
5-
22222()258a tb a tb a tab t b t t +=+=++=++45
t =-时即可 24．(2,1)- 设c xa yb →
=+，则(,2)(2,3)(2,23)(4,1)x x y y x y x y +-=-+= 24,231,2,1x y x y x y -=+===- 25．0
120
22
1
()0,0,c o s 2
a b a a b a a a b a b
a b
θ-+=+==
==-,或画图来做 26
．2 2AB CB CD AB BC CD
AC CD AD -
+=++=+== 27
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
☆28．－2 如图
,OM OA OC OB OA -=⋅⋅=+⋅2)(22⋅-≥，
=取等号.即)(+⋅的最小值为:-2.
☆29．4 作图，a b c 、
、构成等腰直角三角形 M
O
C
B
A
()
()
()(
)
⎪⎪⎨⎧===∙∙=∙⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=∙=∙-∙=-⇒⊥⊥-10000,b a b a
()
22
=--=b a
4=++
☆30．(－∞，0) (
21，2
3
) 如图, AB OM //, 点P 在由 射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内
(不含边界)运动, 且y x +=，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行
四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴ x 的取值范
围是(－∞，0)； 当2
1
-
=x 时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD=21OB ，CE=23OB ，∴ y 的取值范围是(21，2
3
).
三、解答题:31．解：设(,)c x y =，则cos ,cos ,,a c b c <>=<>
得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩
，即x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪
=⎪⎩
2(,c
=
或( 32.解：（1）∵（2a －3b ）·（2a +b ）=61，∴.613442
2
=-⋅-b b a a 又||=4，||=3，∴·=－6. ,21
cos -==
∴θ ∴θ=120°.
（2）设存在点M ，且)10)(3,6(≤<==λλλλOC OM
).31,63(),35,62(λλλλ--=--=∴,0)31)(35()63)(62(=--+--∴λλλλ
2
1112211
4548110,:,(2,1)(,).31555
OM OM λλλλ∴-+==
=∴==解得或或 ∴存在M （2，1）或)5
11
,522(
M 满足题意. 33．解：(1)∵AC =(cos α－3, sin α), BC =(cos α, sin α－3).
∴∣AC ∣=a a a sin 610sin )3(cos 2
2-=+-。

∣BC ∣=a a a sin 610)3sin (cos 2
2-=-+。

由∣AC ∣=∣BC ∣得sin α=cos α.又∵α)2
3,2(
π
π∈，∴α=
4
5π. (2)由AC ·BC =－1,得(cos α－3)cos α+sin α (sin α－3)=－1 ∵sin α+cos α=
3
2.
① 又a a a
a a a a a
a a cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 22
2=+
+=++.
由①式两边平方得1+2sin αcos α=94 , ∴2sin αcos α=95-, ∴
9
5
tan 12sin sin 22-=++a a a 34.解
由已知1||||==b a ．
∵ ||3||b a b a k k -=+，∴ 22
2
||3||b a b a k k -=+．∴ )1(41k
k +=
⋅b a ． ∵ k ＞0， ∴ 2
11241
==
⋅⋅⋅k k b a ． 此时2
1
=⋅b a ∴ 21||||2
1
cos ==⋅b a θ． ∴ θ＝60°．。