高三数学总复习 (回顾+突破+巩固+提升作业) 第五章 第二节 等差数列课件 文

a2=1,a4=5，则S5等于( )
(A)7
(B)15
(C)30 (D)31
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（3）（2013·皖北模拟）已知公差不为0的等差数列{an}满足
a1,a3,a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则 _______．
S3的值S2为 S5 S3
【思路点拨】（1）根据已知和等差数列的通项公式(gōngshì)得关于
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【互动探究】本例题（2）中条件不变，则Sn=______.
【解析(jiě 所以 Sn na1
xīn)】n 在1本d 例（2）n 的n 方1法 一中已经求ad1解2出,1,
n
2
2
2
=n2-2n.
答案：n2-2n
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【拓展提升】 1.等差数列运算(yùn suàn)问题的通性通法 等差数列运算(yùn suàn)问题的一般求法是设出首项a1和公差d， 然后由 通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解. 2.等差数列前n项和公式的应用方法
【解析(jiě2 xī1)】
与
2 1
答案：
2
的等差中( 项2 为1) ( 2 1) 2.
2
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4．在等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式
(gōngshì)为______.
【解析】∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,
∴
aa11
4d 10，解得
an+1=an+1-an，即2an+1=an+an+2；反之，若对任意n∈N+，
都有2an+1=an+an+2，则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1＝…
＝a2-a1，根据定义数列{an}为等差数列．
（3）正确.当d>0时为递增数列；d=0时为常数(chángshù)列；
d<0时为递减数列.
前n项和公式
n a1 an
Sn=_____2_____
n n 1
Sn=_n_a_1 _____2___d
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5.等差数列的性质
（1）在公差(gōngchā)不等于零的等差数列{an}中，m+n=p+q⇔
_a_m_+_a_n=_a__p+_a_q(m,n,p,q∈N+);
__m_+n_=_2_p_⇔am+an=2ap(m,n,p∈N+).
a1
1 2
n
1
d,
bn1
a1
1 2
nd，bn2
a1
1 2
n
1 d,
=2ban12+nbdn =2ab1 n+121n.因此1dbn+a12-b12nn+11=bdn+1-bn=bn-bn-1=…＝b2-
b1,
∴数列{bn}是等差数列.
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【拓展提升】等差数列的四个判定方法 （1）定义法：证明对任意(rènyì)正整数都有an+1-an等于同一 个常数. （2）等差中项法：证明对任意(rènyì)正整数都有 2an+1=an+an+2后，可递推得出an+2-an+1=an+1-an=anan-1=an-1-an-2=…＝a2-a1，根据定义得出数列{an}为等差数 列. （3）通项公式法：得出an=pn+q后，得an+1-an=p对任意 (rènyì)正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列.
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考向 3 等差数列的性质及最值的应用
【典例3】（1）（2012·辽宁高考）在等差数列{an}中，已知
a4+a8=16，则该数列前11项和S11=( )
(A)58
(B)88
(C)143
(D)176
（2）在等差数列{an}中, a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=_____.
11d 31,
ad13, 2，
∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×3=3n-5.
答案：an=3n-5
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5．在等差数列(děnɡ chā shù liè){an}中，d=2，a15=-10，则 S15=_____. 【解析】由an=a1+(n-1)d，得
-∴10S=15a1+n(1a51-21)a×n 2，15解得a3218=-1308， 360.
答案：-360
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考向 1 等差数列的基本运算
【典例1】（1）（2013·江西(jiānɡ xī)师大附中模拟）已知{an}
为等差
数列，且a7－2a4＝－－11,a3＝0,则公1差d＝( )
(A)－2
(B) 2 (C) 2 (D)2
（2）（2013·宁德模拟）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若
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【变式训练】设Sn为数列(shùliè){an}的前n项和， Sn=pnan(n∈N+)，a1≠0. (1)求常数p的值. (2)求证：数列(shùliè){an}是等差数列(shùliè).
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【解析( jiě xī)】(1)∵Sn=pnan,a1≠0， ∴a1=pa1⇒p=1. (2)由(1)知：Sn=nan， 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1, 整理可得(n-1)(an-an-1)=0, an-an-1=0(n≥2)，∴数列{an}是等差数列.
（3）（2013·天津(tiān jīn)模拟）已知在等差数列{an}中，
a1=31，Sn是它的前n项的和，S10=S22.
①求Sn；
②这个数列前多少项的和最大？求出这个最大值.
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【思路(sīlù)点拨】（1）利用等差数列的性质及Sn
n a1 求a解n .
2
（2）根据等差数列性质整体求解.
2.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=
_________.
a1+(n-1)d
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3.等差中项 如果(rúguǒ)在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么__A叫 作a与b的等差中项. 4.等差数列的前n项和公式
已知条件 a1,an，n a1,d,n
差d是( )
(A)4
(B) 1 (C)-4
(D)-14
【解析(jiě xī)】4 选A.因为a3+a9=4a5，所以根据等差数列的性质可得：
a6=2a5，所以a1+5d=2a1+8d.又因为a2=-8，即a1+d=-8，所以可
得公差d=4．故选A．
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3． 2 1与 2 1的等差中项是_____.
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（4）前n项和公式法：得出Sn=An2+Bn后，根据Sn,an的关系， 得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列(děnɡ chā shù liè)． 【提醒】等差数列(děnɡ chā shù liè)主要的判定方法是定义法和等 差中项法，而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题 中简单判断．
a1=-7，所以
S11
11
7
1110 2
2
33.
答案：33
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考向 2 等差数列的判定
【典例2】（1）若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n-1+2a2n}
是( )
(A)公差为3的等差数列
(B)公差为4的等差数列
(C)公差为6的等差数列
(D)公差为9的等差数列
（2）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，
∵a1=2,∴d=3，
a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=3×2+12×3=42.
方法二：a1+a2+a3=3a2=15，
∴a2=5，d=3,a5=a1+4d=14，
∴a4+a5+a6=3a5=3×14=42. 第九页，共49页。
2.已知{an}是等差数列，且a3+a9=4a5，a2=-8，则该数列的公
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（4）错误(cuòwù)．根据等差数列的通项公式，an=a1+(n-
1)d=dn+(a1-
d)，只有当d≠0时，等差数列的通项公式才是n的一次函数，
否则不是．
n n 1
Sn na1 2 d
（ 5d2）n2错 误(a1(cud2ò)nw，ù)．根据等差数列的前n项和公式，
显然只有公差d≠0时才是n的常数项为0的二
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（2）设等差数列{an}的公差为d，
Sn
na1
1 nn
2
1 d，
bn
Sn n
a1
1 n 1d,
2
方法一：
bn1
bn
a1
1 2
nd
a1
1 n
2
1 d
d（常数(chángshù)）,
2
∴数列{bn}是等差数列.
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方法(fāngbfnǎ)二Snn：
a1,d的方程组，解方程组即得.（2）根据a2=1,a4=5，求出a1,d,
再使用求和公式(gōngshì)，或者直接使用等差数列性质.（3）根据
a1,a3,a4成等比数列可得关于a1,d的方程，根据这个方程确定
a1,d的关系即可确定所求的比值．
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【规范解答】（1）选B．由a7－2a4＝－1, a3＝0,得 （aa211） 62选dd B2．0(,a方1 得法3d一) ：1由, 等差数ad1列1(,12d.ěnɡ chā shù liè)通项公式
次函数，否则不是（甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0时）．
答案：（1）× （2）√ （3）√ （4）× （知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于
(děngyú)
()
(A)40 (B)42
(C)43 (D)45
【解析】选B.方法一：a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=13,又
（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数
(chángshù)，则这个数列是等差数列.( )
（2）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+，都有
2an+1=an+an+2．( )
（3）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
（4）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函
第二节 等 差 数 列
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常数
1.等差数列的概念(gàiniàn)
(c公há差ng
从第2项起，每一项与前一项的差是同一个____s_h(，ùg)ō我ng们c 称这样
的数列为等差数列，这个常数为等差数列的____h_ā，) 通常用字
母d表示；定义的表达式为：____a_n+_1_-_a_n=__d_(_n_∈_.N+)
数．( )
（5）等差数列的前n项和公式是常数(chángshù)项为0的二次函
数．( )
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【解析】（1）错误.若这些常数(chángshù)都相等，则这个数列是
等差数列；若这些常数(chángshù)不全相等，这个数列就不是等差
数列.
（2）正确．如果数列{an}为等差数列，根据定义an+2-
根用Sn据公 不式n 同aS1n2的a已nn a．知1 选n若用n2已两1知个 d通，求项和公公式式，，则如使已用知公首式项和公差，则使
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【变式备选(bèi xuǎn)】（2012·泉州模拟）已知等差数列
{an}中, a5=1,a3=a2+2,则S11=______.
【解析】由a3=a2+2，得公差d=a3-a2=2.由a5=a1+4×2=1，得
得：5=1+2d,d=2,a1=-1,S5=15.
方法二：
S5
5a1
2
a5
5a2
2
a4
56 2
15.
（3）设公差为d，则(a1+2d)2=a1(a1+3d)，即
a12 4a1d 4d2 解a12得 a3a11d=，-4d(舍去d=0).
S3 S2 a3
4d 2d
2.
答S5案 S：3 2 a4 a5 4d 3d 4d 4d
(2)若{an},{bn}都是等差数列，k,m∈R，数列{kan+mbn}为____
数列
等差
_____.
(shùliè)
（3）若Sm为等差数列的前m项和，则Sm,S2m-Sm，S3m-S2m为_____
数_列____.
等差
(shùliè)
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判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
求证(qiúzhèng)：数列{bn}是等差数列.
bn
Sn n
(n N ).
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【思路点拨】（1）构造新数列{cn}，使得cn=a2n-1+2a2n， 根据cn+1-cn是否对任意正整数n都等于同一个常数 (chángshù)作出判断． （2）证明bn+1-bn对任意正整数n都等于同一个常数 (chángshù)，或者利用等差中项的方法证明任意的三项都成 等差数列． 【规范解答】（1）选C.设{an}的公差为d，则d=1.设 cn=a2n-1 +2a2n，则cn+1=a2n+1+2a2n+2，∴cn+1-