理科数学高考真题分类汇编专题5 向量的应用答案

即 3 = 2, = 2 ，选 B. 3
15．A【解析】 【方法一】设 OP = (10 cos ,10sin ) cos = 3, sin = 4
5
5
则 OQ = (10 cos( + 3 ),10sin( + 3 )) = (−7 2, − 2)．
4
4
【方法二】将向量OP = (6,8) 按逆时针旋转 3 后，可知Q 点落在第三象限，则可排 2
2，3，4，5， 取遍1，
可得 1 − 3 + 5 − 6 = 0， 2 − 4 + 5 + 6 = 0 ，
可取 5 = 6 =1, 1 = 3 =1, 2 = −1, 4 =1 ，可得所求最小值为 0；
由 1 − 3 + 5 − 6 = 4， 2 − 4 + 5 + 6 = 4 ，
可取 2 = 1, 4 = −1, 5 = 6 = 1, 1 = 1,3 = −1, 可得所求最大值为 2 5 ．
所以 AE BE = (x, y) (x −1, y) = x2 − x + y2 = ( 3x − 2)2 − 3y + 2 + y2
= 4y2 −5 3y + 6 ，令 f ( y) = 4y2 −5 3y + 6 ， y [ 3 , 3]． 2
因为函数 f ( y) = 4y2 −5 3y + 6 在[ 3 , 5 3] 上单调递减，在[ 5 3 , 3] 上单调递
AC
+
3
2
AC
，
2
2
因为
AB
AC
=
−
1
2
AB
+
AB AC
+
3
2
AC
，所以 1
2
AB
=
3
2
AC
，
2
2
2
2
2
所以
AB
2
AC
=
3 ，所以
AB AC
=
3.
2.解析：正方形ABCD的边长为1，
可得 AB + AD = AC ， BD = AD − AB ， AB AD = 0 ，
| 1 AB+ 2 BC + 3 CD+ 4 DA+ 5 AC+ 6 BD |
专题五 平面向量
第十四讲 向量的应用
答案部分
2019 年
1.解析 设 AO = AD = ( AB + AC) ， 2
AO = AE + EO = AE + EC = AE + (AC − AE) = (1− )AE + AC = 1− AB + AC 3
，
所以
2
2
= =
1− 3
所以点 P(1, 4) ， B(1 , 0)，C(0,t) ， t
所以 PB PC = (1 −1, −4)(−1,t − 4) = (1 − 1) (−1) − 4 (t − 4)
t
t
=17 − 1 −4t ≤17− 2 1 4t = 13 （当且仅当1 = 4t ，即t = 1 时取等号），
t
A
B
O
E
C
F
设 a = OA，作射线OA ，使得AOE = ，所以| a − b |=| (a − 2e) + (2e − b) |≥ 3
| (a − 2e) | − | (2e − b) |=| CA| − | BC |≥ 3 −1．故选 A．
3．A【解析】如图建立直角坐标系，
y A
B
D P
C
x
3.解析 因为 AB = BE ，AD//BC ，A = 30 ，所以在等腰三角形 ABE 中，BEA = 120 ， 又 AB = 2 3，所以 AE = 2 ，所以 BE = − 2 AD .
5 因为 AE = AB + BE ，所以 AE = AB − 2 AD .
5 又 BD = BA+ AD = −AB + AD ，
，所以
+
=
x 2
−
y
+
1，
设 z = x − y + 1，即 x − y +1− z = 0 ，
2
2
点 P(x, y) 在圆上，所以圆心到直线 x − y + 1− z = 0 的距离小于半径， 2
所以 | 2 − z| ≤ 2 ，解得 1≤ z ≤3 ，所以z 的最大值为 3， 1 +1 5 4
取 AC 的中点E ，因为M
是PC
的中点，所以EM
=
1 AP =
1
，
2
2
所以 | BM
|max =| BE
|+
1= 2
7 ，则 | BM 2
|2
max
=
49 ．故选 B． 4
7．D【解析】由菱形 ABCD的边长为a ，ABC = 60 可知BAD = 180 − 60 = 120 ，
2
BDCD = ( AD − AB) (−AB) = −AB AD + AB
= −a a cos120
+a2 =
3a2 ．
2
8．A【解析】由题意得 AD = AC + CD = AC + 1BC = AC + 1 AC − 1 AB
3
33
= − 1 AB + 4 AC ． 33
9．A 【解析】以题意，以点 A为坐标原点，以 AB 所在的直线为x 轴， AC 所在的直线为
y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 A(0,1) ， B(0,0) ， D(2,1) ， P(x, y) ，由等面积法可得圆的半径为 2 ， 5
所以圆的方程为(x − 2)2 + y 2 = 4 ， 5
所以 AP = (x, y −1) ， AB = (0,−1) ， AD = (2,0) ，
由
AP
=
AB+
AD，得
x y
= 2 − 1= −
14．B【解析】如图，设 AB = b, AC = c ，则 b = 1, c = 2,b • c = 0 ，
A
Q C
P B
又 BQ = BA+ AQ = −b+ (1− )c，
CP = CA + AP = −c + b ，由 BQ• CP = −2得
2
2
[−b + (1− )c]• (−c + b) = ( −1) c − b = 4( −1) − = −2 ，
除 B、D，代入 A，由向量的夹角公式可得 cosQOP = − 2 ，∴ QOP = 3 ．
2
4
16．C【解析】首先观察集合{n 2
PA(PB + PC) = 2x2 − 2y( 3 − y) = 2x2 + 2(y − 3 )2 − 3 ≥ − 3 ， 222
当 P(0, 3 ) 时，所求的最小值为 − 3 ，故选 B．
2
2
5．C【解析】如图所示，四边形 ABCE 是正方形， F 为正方形的对角线的交点，易得
AO AF ，而 AFB = 90 ，∴AOB 与 COD 为钝角， AOD 与 BOC 为锐
y
C
E
D
x
A
B
因为在平面四边形 ABCD中， AB = AD =1， BAD =120 ，
所以 A(0,0) ，B(1,0) ， D(− 1 , 3) ，设C(1, m) ,E(x, y) ， 22
所以 DC = ( 3, m − 3) ， AD = (− 1 , 3 ) ，
22
22
因为 AD ⊥ CD ，所以( 3 , m − 3) (− 1 , 3) = 0 ， 2 2 22
∴ OA OB OC OD ，即 I1 I3 ， ∴ I 3 I1 I 2，选 C．
D
A
E
G O
F
B
C
6．B【解析】由 DA = DB = DC = 2 知, D为 ABC 的外心．由 DA DB = DB DC
= DC DA 知D 为 ABC的内心，所以 ABC 为正三角形，易知其边长为 2 3 ，
48
48
11．B【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设 A(m, n) ， C(−m,−n)， B(x, y) ，
∴ PA+ PB + PC = (x − 6, y) ，而 (x − 6)2 + y 2 = 37 − 12x 49 ， ∴ PA + PB + PC 的最大值为 7 ，故选 B．
以 C(2, 0) 为圆心，l 为 = 3x ( x 0 )上，如图，
y y= 3x
A B
O
C
x
数形结合可知| a − b |min =| CA| − | CB |= 3 −1．故选 A． 解法二 由b2 − 4e b + 3 = 0 得b2 − 4e b + 3e 2 = (b − e) (b − 3e) = 0 ． 设 b = OB， e = OE ， 3e = OF ，所以b − e = EB ， b − 3e = FB ， 所以 EB FB = 0 ，取EF 的中点为 C ．则 B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．
即 + 的最大值为 3，选 A． 4．B【解析】如图，以BC 为 x 轴， BC 的垂直平分线DA 为 y 轴，D 为坐标原点建立平
面直角坐标系，
y A
B
P D
Cx
则 A(0, 3) ，B(−1, 0) ， C(1,0) ，设P(x, y) ，
所以 PA = (−x, 3 − y)， PB = (−1− x,−y) ， PC = (1− x, −y)， 所以 PB + PC = (−2x,−2y)，
( ) 所以BD AE =
−AB + AD
AB
−
2 5
AD
=
2
−AB
+
7 5
AB
AD
−
2 5
2
AD
=
−
2
AB
+
7
AB
AD
cos
A−
2
2
AD
=
−12
+
752
3
3 − 2 25 = −1.
5
5
5
25
2010-2018 年
1．A【解析】以 A 为坐标原点， AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，
即 3(− 1) + 3 (m − 3) = 0 ，解得 m = 3 ，即C(1, 3) ，
2 22
2
因为 E 在 CD上，所以 3 ≤ y ≤ 2
3 ，由 kCE = kCD ，
得 3− y= 1− x
3− 3
2 1+ 1
，即 x =
2
3y −2 ，
因为 AE = (x, y) ， BE = (x −1, y) ，
12．A【解析】设a = (1, 0), b = (0,1) ，则OP = (cos ,sin ) ， OQ = ( 2, 2) ， 所以曲线 C 是单位元，区域 为圆环（如图）
∵ | OQ |= 2，∴1 r R 3． 13．C【解析】 因为? BAD 120 ，所以 AB?AD AB 鬃AD cos120 = - 2 .
因为 BE = l BC ，所以 AE = AB + l AD ， AF = mAB + AD .
( ) ( ) 因为 AE ?AF 1，所以 AB + l AD ? mAB AD = 1，
即 2l + 2m- l m= 3 ① 2
同理可得l m- l - m= - 2 3
②，①+②得l + m = 5 . 6
角．根据题意 I1 − I2 = OAOB −OBOC = OB (OA −OC) = OBCA = | OB || CA| cosAOB 0 ，∴ I1 I2 ，同理 I2 I3 ． 做 AG ⊥ BD于 G ，又 AB = AD ． ∴ OB BG = GD OD ，而 OA AF = FC OC， ∴ | OA | | OB || OC | | OD |，而 cosAOB = cos COD 0，
=| 1 AB + 2 AD −3 AB −4 AD + 5 AB + 5 AD +6 AD −6 AB |
=| (1 − 3 + 5 − 6 )AB + (2 − 4 + 5 + 6 )AD |
= (1 − 3 + 5 − 6 )2 + (2 − 4 + 5 + 6 )2 ,
由于 i(i =1, 2,3, 4,5, 6)
t
t
2
所以 PB PC 的最大值为 13．故选 A．
10．C【解析】 AM = AB + 3 AD, NM = CM − CN = − 1 AD + 1 AB ，所以
4
4
3
AM NM = 1 (4 AB +3 AD) 1 (4 AB −3 AD)
4
12
=
1
2
(16 AB
−
9
2
AD
)
=
1 (16 36 − 916) = 9 ，选 C．
28
8
增，所以
f ( y)min
= 4( 5 3)2 8
−5
3 5 3 + 6 = 21 ．
8
16
所以
uuur AE
uur BE
的最小值为
21
，故选
A．
16
2．A【解析】解法一 设 O 为坐标原点， a = OA， b = OB = (x, y)， e = (1, 0) ，
由 b2 − 4e b + 3 = 0 得 x2 + y2 − 4x + 3 = 0 ，即 (x − 2)2 + y2 = 1，所以点 B 的轨迹是
，解得
= =
1 2 1 4
，
所以 AO = 1 AD = 1 (AB + AC) ， EC = AC − AE = − 1 AB + AC ，
2
4
3
6AO EC
=
6
1 (AB +
AC )
(−
1 AB +
AC ) =
3 (−
1 AB2
+
2 AB AC +
2
AC ) =
4
3
23
3
−
1
2
AB
+
AB