陕西省安康市高考数学三模试卷 理(含解析)

2016年陕西省安康市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）
A．{x|0＜x＜l} B．{x|﹣l＜x＜l} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|l＜x＜4}
2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）
A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1+3i D．1﹣3i
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且=x+y，则（）
A．x=﹣1，y=﹣B．x=1，y=C．x=﹣1，y=D．x=1，y=﹣
4．若x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，则a n等于（）
A．2n﹣1B．3n﹣1C．2n D．3n
5．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g（x）=cos
（ωx+）的图象的一条对称轴方程为（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
6．已知a=dx，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为（）
A．160 B．80 C．﹣80 D．﹣160
7．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=﹣1的一个交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（）
A．（1，）B．（1，）C．（，+∞）D．（，+∞）
8．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）
A．B．C．D．
9．设命题p：∃x0∈（0，+∞），e+x0=e，命题q：，若圆C1：x2+y2=a2与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2相切，则b2+c2=2a2．那么下列命题为假命题的是（）
A．￢q B．￢p C．（￢p）∨（￢q）D．p∧（￢q）
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．72 B．80 C．86 D．92
11．设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g （x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（3，+∞）D．[3，+∞）
12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）
A．3 B．2 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最小值为．
14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m= ．
15．若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是．
16．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则
a﹣b= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2．
（1）求sin∠BCA；
（2）求BB′及AC′的长．
18．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，
M，N分别为PD，CD，AD的中点， =3．
（1）证明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．
（1）求μ，σ；
（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．
20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；
（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．
21．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0 （1）判断函数f（x）的单调性；
（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．
四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．
（l）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；
（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．
（1）求集合A；
（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．
2016年陕西省安康市高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）
A．{x|0＜x＜l} B．{x|﹣l＜x＜l} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|l＜x＜4}
【考点】并集及其运算．
【分析】根据并集的运算性质计算即可．
【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x丨0＜x＜4}，
∴A∪B={x|﹣1＜x＜4}，
故选：C．
2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）
A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1+3i D．1﹣3i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把z=2+i代入z（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z（1﹣z）的共轭复数．
【解答】解：∵z=2+i，∴z（1﹣z）=（2+i）（﹣1﹣i）=﹣1﹣3i，
∴复数z（1﹣z）的共轭复数为﹣1+3i．
故选：B．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且=x+y，则（）
A．x=﹣1，y=﹣B．x=1，y=C．x=﹣1，y=D．x=1，y=﹣
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】利用平面向量的三角形法则用表示出．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，
∵E是BC中点，∴=﹣=﹣．
∴==．∴x=1，y=﹣．
故选D：．
4．若x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，则a n等于（）
A．2n﹣1B．3n﹣1C．2n D．3n
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，可得（2x+1）2=x（4x+5），解得x即可得出．
【解答】解：∵x ，2x+1，4x+5是等比数列{a n }的前三项，
∴（2x+1）2=x （4x+5），解得x=1．
∴公比q=
=3． 则a n =3n ﹣1．
故选：B ．
5．已知函数f （x ）=
sin （ωx ﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g （x ）=cos
（ωx+）的图象的一条对称轴方程为（ ）
A ．x=
B ．x=
C ．x=
D ．x=
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由周期求出ω，可得g （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性求得g （x ）的图象的对称轴方程．
【解答】解：根据函数f （x ）=
sin （ωx ﹣）（ω＞0）的部分图象，可得=
﹣，∴ω=2，
则函数g （x ）=cos （ωx+
）=cos （2x+），令2x+=k π，求得x=﹣，k ∈Z ，
故函数g （x ）的图象的对称轴方程为x=
﹣，k ∈Z ，当k=1时，x=， 故选：B ．
6．已知a=dx ，则二项式（1﹣）5的展开式中x ﹣3的系数为（ ）
A ．160
B ．80
C ．﹣80
D ．﹣160
【考点】二项式定理的应用．
【分析】求定积分可得a 的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中x ﹣3的系数．
【解答】解：a=
dx=2，则二项式（1﹣）5=（1﹣）5 的展开式的通项公式为 T r+1=
•（﹣2）r •x ﹣r ，
令﹣r=﹣3，求得r=3，可得展开式中x ﹣3的系数为•（﹣2）3=﹣80，
故选：C．
7．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=﹣1的一个交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（）
A．（1，）B．（1，）C．（，+∞）D．（，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出直线和渐近线的交点的纵坐标，根据不等式关系求出a，b的范围，进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，
∴当x=﹣1时，y=±，
∵交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，
∴||＜2，
则离心率e=====，
∵e＞1，
∴1＜e＜，
故选：B
8．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件
S＜1，退出循环，输出S的值为．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=600，i=1
执行循环体，S=600，i=2
不满足条件S＜1，执行循环体，S=300，i=3
不满足条件S＜1，执行循环体，S=100，i=4
不满足条件S＜1，执行循环体，S=25，i=5
不满足条件S＜1，执行循环体，S=5，i=6
不满足条件S＜1，执行循环体，S=，i=7
满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．
故选：C．
9．设命题p：∃x0∈（0，+∞），e+x0=e，命题q：，若圆C1：x2+y2=a2与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2相切，则b2+c2=2a2．那么下列命题为假命题的是（）
A．￢q B．￢p C．（￢p）∨（￢q）D．p∧（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】对于命题p：由于函数y=e x与函数y=e﹣x的图象在第一象限有一个交点，因此∃x0∈（0，+∞），使得e+x0=e，即可判断出真假．对于命题q：由于两圆的圆心距离d=，
两圆的半径均为|a|，可知两圆必然外切，进而判断出真假．
【解答】解：对于命题p：∵函数y=e x与函数y=e﹣x的图象在第一象限有一个交点，∴：
∃x0∈（0，+∞），e+x0=e，是真命题．
对于命题q∵两圆的圆心距离d=，两圆的半径均为|a|，因此两圆必然外切，∴=2|a|，∴b2+c2=4a2．故命题q为假命题．
只有￢q为真命题．
故选：B．
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．72 B．80 C．86 D．92
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】利用三视图复原的几何体，画出图形，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】解：如图：三视图复原的几何体是五棱柱ABCEF﹣A1B1C1E1F1，
其中底面面积S==14，
底面周长C=1+4+5+1+5=16，高为h=4，
表面积为：2S+Ch=28+64=92．
故选：D．
11．设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g （x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（3，+∞）D．[3，+∞）
【考点】函数恒成立问题．
【分析】由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，即有a＞2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|的最大值，由二次函数和指数函数的最值的求法，可得x=1时，右边取得最大值，即可得到a 的范围．
【解答】解：由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，
即有a＞2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|的最大值，
由h（x）=2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|=3﹣（x﹣1）2﹣3|x﹣1|，
当x=1∈（0，3）时，h（x）取得最大值，且为3﹣0﹣1=2，
即有a＞2．
故选A．
12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）
A．3 B．2 C．2 D．3
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．
【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，
∵V棱锥S﹣ABCD=•a2•h=9，
∴a2=，
∵正四棱锥内接于球O，
∴O在直线SM上，设球O半径为R，
（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，
（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，
∵SM⊥平面ABCD，
∴△OMB是直角三角形，
∴OM2+MB2=OB2，
∵OB=R，MB=BD=a，
∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2
∴2hR=h2+，
即R=+=+=≥3=．
当且仅当=取等号，
即h=3时R取得最小值．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最小值为 2 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得B（1，1），
由z=x+y得：y=﹣x+z，
显然直线过B时z最小，
z的最小值是2，
故答案为：2．
14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m= 2 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，将椭圆mx2+y2=1的方程变形为标准方程可得+=1，比较与1的
大小可得该椭圆的焦点在y轴上，且b=，进而依据题意可得m=2，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆mx2+y2=1的方程可以变形为+=1，
又由m＞1，则＜1，
故该椭圆的焦点在y轴上，则b=，
又由该椭圆的短轴长为m，则有m=2，
解可得m=2；
故答案为：2．
15．若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是[，+∞）．【考点】函数单调性的性质．
【分析】若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则f′（x）=≥0在（2，3）上恒成立，进而得到答案．
【解答】解：若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，
则f′（x）=≥0在（2，3）上恒成立，
则9a+1≥0，解得：a∈[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
16．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则
a﹣b= 5 ．
【考点】数列的求和．
【分析】通过计算得出数列{a n}前8项的值，进而联立S4=a+b、S8﹣S4=3a+b，进而解方程组，计算即得结论．
【解答】解：①当n=4k﹣3时，a n（2+1）=n（2﹣1），a n=；
②当n=4k﹣2时，a n（2+0）=n（2+1），a n=n；
③当n=4k﹣1时，a n（2﹣1）=n（2﹣1），a n=n；
④当n=4k时，a n（2+0）=n（2+1），a n=n；
∵S4n=an2+bn，
∴S4=a+b
=+•2+3+•4
=+12，
S8﹣S4=（4a+2b）﹣（a+b）
=3a+b
=•5+•6+7+•8
=+28，
∴（3a+b）﹣（a+b）=（+28）﹣（+12），解得：a=+8，
b=+12﹣a=（+12）﹣（+8）=﹣+4，
∴a﹣b=（+8）﹣（﹣+4）=5，
故答案为：5．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2．
（1）求sin∠BCA；
（2）求BB′及AC′的长．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】（1）利用△ABC≌△AB′C，可得∠BCA=∠B′CA，利用cos∠BCB′=，即可求sin
∠BCA；
（2）利用余弦定理求出BB′，利用正弦定理求出BB′，即可求出AC′的长．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△AB′C，
∴∠BCA=∠B′CA，
∴cos∠BCB′=2cos2∠BCA﹣1，
∵cos∠BCB′=，
∴cos2∠BCA=，
∴sin2∠BCA=，
∴sin∠BCA=；
（2）∵BC=2，
∴BB′2=8+8﹣2×=4，
∴BB′=2
∵，∴AB=，
设BB′与AC交于O，则AO=1，CO==，∴AC=+1．
18．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，
M，N分别为PD，CD，AD的中点， =3．
（1）证明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，
∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，
又=3，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD的中点，
∴FG∥EO，∴PB∥FG，
∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，
∴PB∥平面FMN．
解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD，
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），
则=（2，2，0），=（0，1，1），
平面ABCD的一个向向量=（0，0，1），
设平面AEC的法向量为=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，﹣1，1），
∴cos＜＞==，
由图知二面角E﹣AC﹣B为钝角，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为﹣．
19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．
（1）求μ，σ；
（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）由茎叶图得这20个数据的平均数，再由这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），结合题意能求出μ和σ．
（2）（i）∵由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，能求出该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率．
（3）由从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185，能求出这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的数学期望．
【解答】解：（1）由茎叶图得这20个数据的平均数：
=（79+80+81+82+87+87+88+88+89+90×4+91+92+93+93+100+101+109）=90，
∵这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9，
英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），
∴μ=90﹣0.9=89.1，σ==7．
（2）（i）∵英语成绩服从正态分布N（89.1，49），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，
∴P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，
由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，如图，
依题意P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，
即曲边梯形ABCD的面积为0.9544，曲边梯形EFGH的面积为0.6826，
其中A、E、F、B的横坐标分别是75.1、82.1、96.1、103.1，
由曲线关于直线x=89.1对称，可知曲边梯形EBCH的面积为0.9544﹣
=0.8185，
即该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．
（3）∵从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．∴从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，
X的数学期望E（X）=0.8185×10000=8185．
20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；
（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF⊥x轴，即有p=3，进而得到抛物线的方程；
（2）设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得x的方程，运用判别式大
于0和求根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x2﹣x1，解方程即可得到所求定值．
【解答】解：（1）抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，
则|AF|=y1，可得AF⊥x轴，
则x1=，即有d=+=3，即p=3，
则抛物线的方程为y2=6x；
（2）证明：设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得
k2x2+p（k2﹣2）x+=0，
由△=p2（k2﹣2）2﹣k4p2＞0，即为k2＜1，
x1=，x2=，
由d=2λp，可得x1+=2λp，
由+λ=，M（﹣，0），
可得x1+=λ（x2﹣x1），
即有2p=x2﹣x1=，
解得k2=．
故直线AB的斜率的平方为定值．
21．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0 （1）判断函数f（x）的单调性；
（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥
t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；
（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈
[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；
【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=﹣+，
∴f′（1）=﹣+n=﹣1，
把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，
∴m=2，n=﹣，
∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，
∵x＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．
（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，
∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，
∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，
即2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，
令g（t）=t2﹣t+，则g′（t）=，
令g′（t）=0，解得：t=1，而2t2+t+1＞0恒成立，
∴≤t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，1＜t≤2时，g′（t）＞0，g（t）递增，
∴g（t）的最大值是max{g（），g（2）}，
而g（）=＜g（2）=，
∴g（t）在[，2]的最大值是g（2）=，
又t2﹣t∈[﹣，2]，
∴2a≥或2a≤﹣，解得：a≥或a≤﹣，
故a的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．
（l）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．
【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．
【分析】（1）连结OC，OC⊥AB，推导出OA=OB，OC⊥AB，由此能证明直线AB与⊙O相切．
（2）延长DO交⊙O于点F，连结FC，由弦切角定理得△ACD∽△AFC，从而=，由此能求出AO的长．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴，又OD=OE，∴OA=OB，
如图，连结OC，∵AC=CB，∴OC⊥AB，
又点C在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切．
解：（2）如图，延长DO交⊙O于点F，连结FC，
由（1）知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD=∠F，
∴△ACD∽△AFC，∴tan∠ACD=tan∠F=，
又∠DCF=90°，∴=，
∵AD=2，∴AC=6，
又AC2=AD•AF，∴2（2+2r）=62，∴r=8，
∴AO=2+8=10．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；
（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．
（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的
圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，
∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，
∴3ρ=2，
∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．
（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，
曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，
∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，
∴．
∴实数m的取值范围是（，）．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．
（1）求集合A；
（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范
围．
【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；
（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．
【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，
或或，
解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）；
（2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R+，
∴﹣10＜a+b＜10，
∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+36
=37﹣（+9x）≤37﹣2=25，
∵不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，
∴m+25≤﹣10，解得m≤﹣35。