吉林省白城市第一中学高考数学压轴专题《平面向量及其应用》难题汇编百度文库

一、多选题
1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 2．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()
0a b c -⋅=
B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知
cos cos 2B b
C a c
=-，
ABC S =
△b = ）
A ．1cos 2
B =
B ．cos 2
B =
C ．a c +=
D ．a c +=
4．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6
A a c π
===则角C 的大小
是( ) A ．
6
π B ．
3
π C ．
56
π D ．
23
π 5．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<
7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C =
B ．AB
C ∆是钝角三角形
C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ∆外接圆半径为
7
8．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
9．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）
A ．
B ．
23
C ．23
-
D 10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
B ．若PA PB PB P
C PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=
11．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
12．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()
m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-
C ．若ma mb =，则a b =
D ．若()0ma na a =≠，则m n =
13．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3
B a c π
=+=,则
a
c
=( ) A ．2
B ．3
C ．
12 D ．
13
14．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ== 15．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A 62
B ．
1
(62)2
C 62
D ．
1
(62)2
17．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
18．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④
B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
19．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosC
a b c
==，则
∠B 的大小是（ ） A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 21．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D ．
41
41
22．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B >
B ．cos cos A B <
C ．sin2sin2A B >
D ．cos2cos2A B <
23．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则
（ ）
A ．33A
B A
C HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+
D ．24AB AC HM MO +=-
24．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，
()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01
05
t <<
时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2,23ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．20,
3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
25．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．123
B ．63
C ．12
D ．183
26．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）
A ．1233
AB AC -+ B ．2133AB AC -
C ．1233AB AC -
D ．2133
AB AC -+
27．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A ．4
B ．
72
C ．
258
D ．
259
28．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ） A ．
35 B ．
107
C ．
57
D ．
52
14
29．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．
23
30．已知向量(2
2cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 31．在ABC 中，()
2
BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
32．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1
2
BD DC =
，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）
A ．m n +是定值，定值为2
B ．2m n +是定值，定值为3
C ．
11
m n +是定值，定值为2 D ．
21
m n
+是定值，定值为3 33．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且
•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心 D ．外心重心内心
34．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1
sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+
，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +>C ．612abc ≤≤
D ．1224abc ≤≤
35．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
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一、多选题 1．BD
【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ⋅=，则()
2
2
2
2
2
2a b a b a b a b a b
+=+=++⋅=
+，
(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b -=
-=+-⋅=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
2．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解
解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
3．AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，
整理可得：， 可得，
∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确
解析：AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简
cos cos 2B b
C a c
=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2
B =
，结合范围()0,B π∈，可求3B π
=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理
可得a c 32+=
【详解】 ∵
cos sin cos 22sin sin B b B
C a c A C
==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，
可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1
cos 2
B =
，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3
B π
=
，
∵ABC S =△3b =，
11sin 22ac B a c ==⨯⨯=， 解得3ac =，
由余弦定理得()()2
2
22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，
解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．BD 【分析】
由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握
解析：BD 【分析】
由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2
c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得
sin sin a c
A C
=,
∴ sin sin 2
c C A a ==,而a c <,
∴ A C <, ∴
566
C π
π<<, 故3C π
=
或
23
π. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
5．AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，
解析：AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
ABC 中，A B a b >⇔>，由
sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；
ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =
11
sin 3sin 603322
S bc A c ==⨯︒=，4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
13a =，
∴132392sin a R A =
==
，39
R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
6．ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图
解析：ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得2
24sin sin30AB R ACB =
==∠︒
，故A 正确；
对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当
1
22
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即1
22
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．
故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
7．ACD
【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.
【详解】
因为
所以可设：（其中），解得：
所以，所以A 正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大，
又 ，所以角为
解析：ACD
【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.
【详解】
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；
由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又222222(4)(5)(6)1cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小， 又222222(6)(5)(4)3cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯， 所以21cos22cos 18
A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,
2C π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又sin 8
C ==
所以62378R = ，解得：877R =，所以D 正确. 故选:ACD.
【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
8．ABCD
【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形
【详解】
根据正弦定理
,
即.
,
或.
即或
解析：ABCD
【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=
，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形
【详解】 根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =,
即sin 2sin 2A B =.
2,2(0,2)A B π∈, 22A B =或22A B π+=.
即A B =或2A B π
+=,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.
故选：ABCD
【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
9．AD
【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.
【详解】
由正弦定理，可得，
，则，所以，为锐角或钝角.
因此，.
故选：AD.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD
【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值.
【详解】 由正弦定理sin sin b a B A =，可得120sin 22sin 153
b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos B ==. 故选：AD.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 10．AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量
解析：AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥，
同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD
【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
11．CD
【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
分析知，，与的夹角是.
由，故B 错误，D 正确；
由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确.
故选：CD 【点睛】 解析：CD
【分析】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.
由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；
由()()2
144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD
【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
12．ABD
【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.
【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等， 解析：ABD
【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.
【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.
13．AC
【分析】
将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.
【详解】
∵，
∴①，
由余弦定理可得，②，
联立①②，可得，
即，
解得或.
故选：AC.
【点睛】
本题考查余弦定理的应
解析：AC
【分析】
将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.
【详解】
∵,3B a c π
=+=，
∴2222()23a c a c ac b +=++=①，
由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π
+-=②，
联立①②，可得222520a ac c -+=，
即2
2520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得
2a c =或12
a c =. 故选：AC.
【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.
14．AD
【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.
【详解】
由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.
对于B,由平面向量基本
解析：AD
【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.
【详解】
由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,
那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；
对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,
这样的λ有无数个，所以不正确.
故选:AD .
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.
15．ABD
【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．
对
解析：ABD
【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．
故选：ABD ．
【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
二、平面向量及其应用选择题
16．A
【分析】
由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理
sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得
AE =-． 【详解】
由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝
DA =
BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．
再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45
°=
， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒
，
∴
12AE =，∴
AE =）， 故选:A ．
【点睛】
本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．
17．A
【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.
【详解】
ABC ∆中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+， 整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<<
90A ∴=︒，
则此三角形形状为直角三角形．
故选：A
【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
18．A
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
19．B
【分析】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅=
=时，222min
244()()14a b a b f t a -⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，
所以当2cos b a b t a a
θ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a
-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=
，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B
【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.
20．D
【分析】
根据正弦定理，可得111tan tan tan 235
A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.
【详解】
解：∵
2cosA 3cosB 5cosC a b c ==， ∴
sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==， 即111tan tan tan 235
A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+
=-， ∴273101k
k k =-，解得3
k =， ∴tan 3B k ==B ＝3
π． 故选：D .
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，
tan 3B k =，tan 5
C k =是本题关键
21．B
【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦
定理
sin sin b c B C
=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =
，c =45B =︒，
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C
=，
所以2sin 42sin 55
c B C b ===，
故选：B
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．C
【分析】
由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．
【详解】
设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，
由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；
由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；
sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =，
当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；
2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
23．D
【分析】
构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．
【详解】
解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，
O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，
又
M 为BC 中点，∴2AH OM =，
M 为BC 中点，
∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．
4224OM HM HM MO =+=-
故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力． 24．C 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，
()()2
2
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+，再由01
05t <<，可求得夹角θ的取值范围.
【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，
()()22
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，
∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ
+=
+，又01
05t <<，则
12cos 1054cos 5
θθ+<
<+，得1
cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，
所以223ππθ<<，
故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 25．A
【分析】
由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值 【详解】
由题意，可得如下示意图
令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33
b CM CB =
= ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠
2221216()332333
a a
b ab ab ab
b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立
∴有48ab ≤
∴113sin 48123222
ABC S ab C ∆=≤⨯⨯= 故选：A 【点睛】
本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 26．A 【分析】
作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出
OC AC AO =-可得出结果.
【详解】 如下图所示：
D 为BC 的中点，则
()
1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-11
22
AB AC =+，
2AO OD =，211
333
AO AD AB AC ∴=
=+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫
∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭
，
故选：A. 【点睛】
本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题. 27．C 【分析】
在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7
cos 25
A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC
R A
=求解. 【详解】
在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，
由余弦定理得：2222225567
cos 225525
AB AC BC A AB AC +-+-===
⋅⨯⨯，
所以24sin 25
A ==
， 由正弦定理得：
625
224sin 425
BC R A =
==， 所以258
R =
， 此三角形的外接圆半径是258
故选：C 【点睛】
本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 28．C 【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出． 【详解】 解：
3
cos 5
A =，(0,180)A ∈︒︒．
∴4sin 5
A =，
34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=
．
sin C ∴= 由正弦定理可得：
sin sin b c
B C
=，
∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 29．A 【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得
()21
13
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以11
33
DF DC AB ==， 所以()21
13
m AP AB m AD +=
+-. 因为E 是BC 的中点， 所以11
22
AE AB BC AB AD =+
=+. 因为AP AE λ=， 所以
()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭
， 则213
112m m λλ
+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
解得34
λ=. 故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 30．D 【详解】
(
)22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
163x π
π
+
=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π=时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项. 31．D 【分析】
先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】
因为()()()
2
22BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以
222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.
【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．
32．D 【分析】
过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出
21312
AM n n
n AB n n ==
--+，再根据AM mAB =可得231n m n =
-，整理可得213m n
+=，最后选出正确答案即可. 【详解】
如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得
1
AC AN n
=，所以
1
1
AE AC
EM CN n
==
-
，由
1
2
BD DC
=可得
1
2
BM
ME
=，所以
2
131
2
AM n n
n
AB n
n
==
--
+，因为AM mAB
=，所以
2
31
n
m
n
=
-
，
整理可得
21
3
m n
+=.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
33．C
【详解】
试题分析：因为OA OB OC
==，所以O到定点,,
A B C的距离相等，所以O为ABC
∆
的外心，由0
NA NB NC
++=，则NA NB NC
+=-，取AB的中点E，则
2
NA NB NE CN
+=-=，所以2NE CN
=，所以N是ABC
∆的重心；由•••
PA PB PB PC PC PA
==，得()0
PA PC PB
-⋅=，即0
AC PB
⋅=，所以
AC PB
⊥，同理AB PC
⊥，所以点P为ABC
∆的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用.
34．A
【分析】
由条件()()
1
sin2sin sin
2
A A
B
C C A B
+-+=--+化简得出
1
sin sin sin
8
A B C=，设ABC
∆的外接圆半径为R，根据12
S
≤≤求得R的范围，然后利用不等式的性质判断即可.
【详解】
ABC
∆的内角A、B、C满足()()1
sin2sin sin
2
A A
B
C C A B
+-+=--+，
即()()1sin 2sin sin 2A A B C A B C +-+++-=
， 即()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦， 即()1
2sin cos 2sin cos 2
A A A
B
C +-=
， 即()()12sin cos 2sin cos 2
A B C A B C -++-=
， 即()()12sin cos cos 4sin sin sin 2
A B C B C A B C --+==
⎡⎤⎣⎦，1sin sin sin 8
A B C ∴=，
设ABC ∆的外接圆半径为R ，则
2sin sin sin a b c
R A B C
===， []2111
sin 2sin 2sin sin 1,2
224
S ab C R A R B C R ==⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤
338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；
对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；
对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但()ab a b +>成立. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 35．D 【分析】
由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状． 【详解】
由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴
2
B π
π<<．
∴ABC 是钝角三角形． 故选：D ． 【点睛】
本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念．。