江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

总分值：150分 考试时间：120分钟
温馨提示：此次考试卷面分为5分
说明：1. 书写整齐无大面积涂改且主观题基本完成的得5分
2. 书写有涂改或主观题未完成的，根据情况扣（1—5） 分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B. 命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题
C. 命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D. 命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题
2. 若复数11ai
z i
+=
+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.1
B.0
C.1
2
-
D.1-
3. 已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0
＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1
b
，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p ∧q B. p ∧(q ) C. (p )∧q D. (p )∧(q )
4. 若抛物线C ：2
2y px =（0p >）的焦点在直线022=-+y x 上，则p 等于（ ） A.4 B.3 C. 2
D. 1
5. 若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2
＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为（ ）
A. 2
B. 2
C. 1
D. 4 6. “a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线
E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝5
2，则双曲线E 的离心率
为（ ）
A. 2
2C.5
2
D. 5
8. 若函数f (x )＝-kx 2)2ln(x 在区间[1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是（ ）
A. ),41[+∞
B.)
,4
1(+∞
C. ),2
1[+∞
D.),2
1
(+∞
9. 若函数m xe x f x
+=)(，]0,2[-∈x 最小值为0，则)(x f 的最大值为( ) A.0
B. 2
2
e -
C.
2
2
e e - D.
e
1 10. 已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y
＝f (x )的图象大致是（ ）
11. 由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2(t 为常数且t ∈(0，1))所围成的图形(阴影部分)的
面积的最小值为（ ）
A. 1
4
3C. 1
2 D. 23
12. 定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f ′(x )＜1
2
，则不等式f (lg x )＞
lg x ＋1
2
的解集为（ ） A.)10,(-∞ B.)10,0(
C. )1,(-∞
D.
)1,0(
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
=⎰__________.
14. 已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在
点(2，g (2))处的切线方程为_______________.
15. 设21,F F 分别是椭圆
116
252
2=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为（6，4），则1PF PM +的最大值为___________.
16. 关于x 的方程ln 10x x kx -+=在区间1[,]e e
上有两个零点，则实数k 的取值范围
是 .
三、解答题：（共6小题；共65分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

） 17.（10分）求下列函数的导数. （1）y ＝2ln x x x +； （2）1
1
11--+=
x x y .
18.（11分）已知:p 指数函数x
a x f )12()(-=在R 上单调递减，:q 关于x 的方程
012322=++-a ax x 的两个实根均大于0.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.
19.（11分）已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，
建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝1－255
t ，
y ＝1＋5
5
t
(t
为参数).
（1）求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
（2）若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α
(α为参数)，曲线C 1上点P 的极角为π
4，Q 为曲线
C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值.
20.（11分）设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6). （1）确定a 的值；
（2）求函数f (x )的单调区间.
21.（11分）已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）过点⎛ ⎝⎭，短轴一个端点到右焦点
的距离为2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过定点()02,
M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，若坐标原点O 在以线段AB 为直径的圆上，求直线l 的斜率k .
22.（11分）已知函数f (x )＝ln x ＋x ＋1，g (x )＝x 2＋2x . （1）求函数φ(x )＝f (x )－g (x )的极值；
（2）若m 为整数，对任意的x ＞0都有f (x )－mg (x )≤0成立，求实数m 的最小值.
数学（理）参考答案
1-12 ADBC ACBC DCAB
13.π 14. 6x －y －5＝0 15. 15 16.1(1,1]e
+
17.解（1）y ′＝)ln (2'+x x x )()ln (2
'+'=x x x x x 21ln ++= （2
）2
1
y x -=
-，所以220(2)(1)2(1)(1)y x x --⋅'=
=--. 18.解：若p 真，则x
a x f )12()(-=在R 上单调递减.所以1120<-<a ，即
.12
1
<<a 若q 真，令123)(2
2++-=a ax x x g ，则应满足⎪⎩
⎪⎨⎧>>+≥+--030120)12(4)3(222a a a a 解得2≥a
因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p 真q 假或者p 假q 真.
①若p 真q 假，则,.21
21
⎪⎩
⎪⎨⎧<<<a a 所以121<<a .
②若p 假q 真，则⎪⎩⎪⎨⎧
≥≥≤2
1
2
1a a a 或，所以2≥a . 综上，实数a 的取值范围为),2[)1,2
1
(+∞ .
19.解析：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 即ρ2＝4ρcos θ，
可得直角坐标方程：C 1：x 2＋y 2－4x ＝0.
直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝1－255
t ，
y ＝1＋5
5
t
(t 为参数)，
消去参数t 可得普通方程：x ＋2y －3＝0.
(2))4,
22(π
P ，直角坐标为(2，2)，Q (2cos α，sin α)，)sin 2
1
1,cos 1(αα++M ， ∴M 到l 的距离为d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|
5
＝
105)4
sin(πα+≤10
5， 从而最大值为
10
5
. 20.解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，
所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6
x
.
令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，
由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝1
2.
(2)由(1)知，f (x )＝1
2
(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，
f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)
x
.
令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，
故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3).
21解：（1
）由题意可得2222
222
222211b c a b c a b
⎧+=⎪⎪⎪
⎨⎝⎭⎪+=⎪⎪=-⎩，
解得：2a =，1b =，
∴椭圆C 的方程为2214
x y +=； （2）由题意知，直线的斜率存在，设过()02,
M 的直线方程为2y kx =+， 联立22
2
14
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 、整理得：22(14)16120k x kx +++=， 因为直线2y kx =+与椭圆有两个交点，
()()2
2216412(14)16430k k k ∴∆=-⨯⨯+=->
解得2k >
2
k <-
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
则12212216141214k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
，
以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ， ∴·0OAOB =，即12120x x y y +=， ∴1212(2)(2)0kx kx x x +++=，
21212(1)2()40k x x k x x ∴++++=
222
(1)24061442111k
k k k k ∴+++=++-
∴即24k =，解得：2k =±满足条件， 故2k =±
22.解：(1)由φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x ＋1－x 2－2x ＝ln x －x 2－x ＋1(x ＞0)，
得φ′(x )＝1
x －2x －1＝－2x 2－x ＋1x
(x ＞0)，
令φ′(x )＞0，解得0＜x ＜12，令φ′(x )＜0，解得x ＞1
2
，
所以函数φ(x )的单调递增区间是)21,0(，单调递减区间是),2
1(+∞，故函数φ(x )的极大值是
=)2
1(ϕln 12－14－12＋1＝1
4－ln 2，函数φ(x )无极小值.
(2)设h (x )＝f (x )－mg (x )＝ln x －mx 2＋(1－2m )x ＋1，则h ′(x )＝1
x
－2mx ＋1－2m ＝
－2mx 2
＋(1－2m)x ＋1x ＝－(2mx －1)(x ＋1)
x
(x ＞0).
当m ≤0时，
因为x ＞0，所以2mx －1＜0，x ＋1＞0，
所以h ′(x )＞0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又因为h (1)＝ln 1－m ×12＋(1－2m )＋1＝－3m ＋2＞0，不满足题意，所以舍去.
当m ＞0时，令h ′(x )＞0，得0＜x ＜1
2m
，
令h ′(x )＜0，得x ＞1
2m
，
故h (x )在)21,
0(m 上单调递增，在),21(+∞m
上单调递减， 所以h (x )max ＝)21(m h ＝ln 12m －m ·2)21(m
＋(1－2m )·12m ＋1＝1
4m －ln(2m ). 令t (m )＝14m －ln(2m )(m ＞0)，显然t (m )在(0，＋∞)上单调递减，且)21(t ＝12
＞0，t (1)＝1
4－ln 2
＝1
4
(1－ln 16)＜0，故当m ≥1时，t (m )＜0，满足题意，故整数m 的最小值为1.。