《》2013-2014学年高中数学人教B版选修1-2配套备课资源第一章统计案例章末复习课

本 课 时 栏 目 开
画一画·知识网络、结构更完善
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研一研·题型解法、解题更高效
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本 题型一 假设检验思想
课 时
独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于
栏 目
数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成
开 立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分
所以 c、d 的估计值分别为 49.675，0.801.
(2)当 x＝10 时，由(1)所得公式可得 y≈5.4(mg)．
故化学反应进行到 10 min 时未转化物质的质量为 5.4 mg.
每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B.下
本
表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的试验结果．(疱
课
时
疹面积单位：mm2)
栏 目
表 1：注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表
开
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80)
频数
30
40
20
所以我们没有把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”．
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题型二 数形结合思想
在回归分析中，我们可以使用散点图观察两个变量间的相
本 课
关关系，也可以大致分析回归方程是否有实际意义，这就
时 栏
体现出我们数学中常用的数形结合思想．
目
开
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b＝c2)．
列表如下：
本
课
x 19 23 27 31 35
时
栏
z 1.386 2.398 3.178 4.691 5.784
目
开 作散点图，如图．
从图中可以看出 x 与 z 有很强的线性相关性．
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由上表中的数据得到回归直线方程z^＝0.277x－3.998.
所以，变量 y 关于 x 的回归方程为y^＝e0.277x－3.998.
例 2 某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人
均收入的相关关系，随机抽取 10 户进行调查，其结果如下：
月人均收入 x(元) 300 390 420 520 570
本
月人均生活费 y(元) 255 324 335 360 450
课 时
月人均收入 x(元) 700 760 800 850 1 080
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∴回归直线方程为y^ ＝0.659 9x＋58.723 9. (3)由以上分析可知，我们可以利用回归直线方程y^ ＝0.659 9x
本 ＋58.723 9 来计算月人均生活费的预报值．
课 时
将 x＝1 100 代入，得 y≈784.61，
栏 将 x＝1 200 代入，得 y≈850.60.
其中 x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)
表示未转化物质的质量.
本 课
x/min 1 2 3 4 5 6
时 栏
y/mg 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3
目 开
(1)设 y 与 x 之间具有关系 y＝cdx，试根据测量数据估计 c 和
d 的值(精确到 0.001)；
10
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表 2：注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85)
频数
10
25
20
30
15
本 完成下面 2×2 列联表，试问能否在犯错误概率不超过 0.01
课 时
的前提下，认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后
目 开
故预测月人均收入分别为 1 100 元和 1 200 元的两个家庭的月
人均生活费分别为 784.61 元和 850.60 元．
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跟踪训练 2 对变量 x，y 有观测数据(xi，yi) (i＝1,2，…，10)，
得散点图 1；对变量 u，v 有观测数据(ui，vi) (i＝1,2，…，10)，
本 课 时 栏 目
开 (2)通过计算可知 x ＝639， y ＝480.4，
10
10
∑x2i ＝4 610 300，∑xiyi＝3 417 560，
i＝1
i＝1
10
∴b^
∑xiyi－10 x ＝i＝110
y ≈0.659 9，a^ ＝ y －b^
x ＝58.723 9，
∑i＝1x2i －10 x 2
得散点图 2.其相关系数分别为 r1，r2，由这两个散点图可以判
本断
课 时 栏 目 开
( C)
A．r1>0，r2>0 C．r1<0，r2>0
B．r1>0，r2<0 D．r1<0，r2<0
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题型三 转化与化归思想在回归分析中的应用
回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关
课
时
z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588
栏 目 开
由公式得a^ ≈3.905 5，b^ ≈－0.221 9，则回归直线方程为z^ ＝
3.905 5－0.221 9x.而 ln c＝3.905 5，ln d＝－0.221 9，
故 c≈49.675，d≈0.801，
本 试求 y 与 x 之间的回归方程，当 x＝40 时，预测 y 的值．
课
时 解 作散点图，如图．
栏 目 开
从图中可以看出，这些点分布在某条指数函数 y＝c1ec2x 的 周围．
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现在，问题变为如何估计待定参数 c1，c2，可通过对数变换把
指数关系变为线性关系，那么令 z＝ln y，则 z＝bx＋a(a＝ln c1，
确地判断两个分类变量是否有关系．
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跟踪训练 1 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关
系，得到下面的数据表，试问婴儿的性别与出生的时间是否有关
系？
本 课 时 栏 目 开
出生时间
性别
晚上 白天 合计
男婴
15 31 46
女婴
8 26 34
合计
23 57 80
解 χ2＝80×46×153×4×262－3×315×782≈0.787<3.841.
类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量
χ2 应该很小，如果由观测数据计算得到的 χ2 的值很大，则
在一定程度上说明假设不合理．
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例 1 为了比较注射 A，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，
选 200 只家兔做试验，将这 200 只家兔随机地分成两组，
栏 目
月人均生活费 y(元) 520 580 600 630 750
开
(1)作出散点图；
(2)求出回归直线方程；
(3)试预测月人均收入为 1 100 元和月人均收入为 1 200 元的
两个家庭的月人均生活费．
研一研·题型解法、散点图如图所示，由图可知月人均生活费与月人 均收入之间具有较强的线性相关关系．
栏 目
的疱疹面积有差异”．
开 表3
疱疹面积小于 70 mm2
疱疹面积不 小于 70 mm2
合计
注射药物 A
a＝
b＝
注射药物 B
c＝
d＝
合计
n＝
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解 列出 2×2 列联表
疱疹面积 小于 70 mm2
疱疹面积不 小于 70 mm2
合计
注射药物 A
a＝70
b＝30
本
课
本 课
即当 x＝40 时，y 的值约为 1 190.
时 栏
小结 若两个变量非线性相关，可以通过散点图观察确定用幂
目 开
函数、指数函数、对数函数、二次函数模型来拟合两个变量间
的关系，然后通过变换转化为线性相关问题．
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跟踪训练 3 在某化学实验中，测得如下表所示的 6 对数据，
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关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如
时 栏
果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，
目 开
转化为线性相关问题．
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例 3 在试验中得到变量 y 与 x 的数据如下表： x 19 23 27 31 35 y 4 11 24 109 325
注射药物 B
c＝35
d＝65
时
栏
合计
105
95
目 开
χ2＝20100×0×701×006×5－10355××93502≈24.56，
100 100 n＝200
由于 χ2>6.635，所以有 99%的把握认为两者有关系，或者说在
犯错误概率不超过 0.01 的前提下，认为“注射药物 A 后的疱
疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”． 小结 利用假设检验的思想，计算随机变量 χ2 的值，可以更精
(2)估计化学反应进行到 10 min 时未转化物质的质量(精确到
0.1)．
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解 (1)在 y＝cdx 两边取自然对数，令 ln y＝z，ln c＝a，ln d ＝b，则 z＝a＋bx.由已知数据，得
x1 2 3 4 5 6
本
y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3