广东省揭阳三中学高三数学上学期第四次月考试卷 理(含解析)

广东省揭阳三中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的
1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n若a2=1，a3=3，则S4=（）
A．12 B．10 C．8 D．6
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）
A．y=x3B．y=﹣x2+1 C．y=2﹣|x|D．y=|x|+1
3．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）设函数f（x）=，则f=（）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（5分）已知tanα=，则cos2α的值为（）
A．B．C．D．
6．（5分）函数y=cos2x﹣sin2x 的一条对称轴为（）
A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣
7．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈时，f（x）=4x，
则f（107.5）=（）
A．10 B．C．﹣10 D．﹣
8．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）
A．4 B．3 C．2﹣2 D．
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分
9．（5分）已知{a n}是等差数列，a1+a2=5，a9+a10=21，则该数列前10项和S10=．
10．（5分）已知集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣y=4}，那么集合A∩B为．11．（5分）已知tan（α+β）=，tanβ=，则tan（α+）的值为．
12．（5分）设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为．
13．（5分）若函数f（x）=cos（π﹣）的最大值为2，则常数a 的值为．
14．（5分）下列四种说法：
①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；
②设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q”为真命题；
③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；
④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数
（x∈R）的图象．其中所有正确说法的序号是．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=，•=3．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．
16．（12分）在数列{a n}中，已知a1=，，b n+2=3a n（n∈N*）．
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）设数列{c n}满足c n=a n•b n，求{c n}的前n项和S n．
17．（14分）已知向量=（sinx，cisx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=•．
（Ⅰ）求函数f（x）单调增区间；
（Ⅱ）若x∈，求函数f（x）的最值，并指出f（x）取得最值时x的取值．
18．（14分）已知a＞0，且a≠1，f（log a x）=（x﹣）．
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）求f（x2﹣3x+2）＜0的解集．
19．（14分）已知数列{a n}中，a1=3，前n项的和是S n满足：∀n∈N*都有：S n=（n++b n）
3﹣1，其中数列{b
n}是公差为1的等差数列；
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求T n=c1+c2+…+c n．
20．（14分）设k∈R，函数，F（x）=f（x）+kx，x∈R．
（1）当k=1时，求函数F（x）的值域；
（2）试讨论函数F（x）的单调性．
广东省揭阳三中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的
1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n若a2=1，a3=3，则S4=（）
A．12 B．10 C．8 D．6
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：由等差数列的前n项和得到，求前四项的和要用第一项和第四项的和，根据等差数列的性质第一项和第四项的和等于第二项与第三项的和，得到结果．
解答：解：由等差数列的性质可得：a1+a4=a2+a3，
∵a2=1，a3=3，
∴s4=2（1+3）=8
故选C．
点评：若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）
A．y=x3B．y=﹣x2+1 C．y=2﹣|x|D．y=|x|+1
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．
解答：解：y=x3在（0，+∞）上单调递增，但为奇函数；
y=﹣x2+1为偶函数，但在（0，+∞）上单调递减；
y=2﹣|x|为偶函数，但在（0，+∞）上单调递减；
y=|x|+1为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；
故选D
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．
3．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：由向量的坐标加法运算求得+的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值．
解答：解：∵=（1，k），=（2，2），
∴+=（3，k+2），
又+与共线，
∴1×（k+2）﹣3k=0，
解得：k=1．
故选：A．
点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则
⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．
4．（5分）设函数f（x）=，则f=（）
A．2 B．4 C．8 D．16
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题可以根据不同的条件选择不同的解析式进行求值，得到本题结论．
解答：解：∵函数f（x）=，
∴f（4）=1﹣log24=1﹣2=﹣1，
f=f（﹣1）=21﹣（﹣1）=22=4．
故选B．
点评：本题考查的是分段函数的函数值求法，本题难度不大，属于基础题．
5．（5分）已知tanα=，则cos2α的值为（）
A．B．C．D．
考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：利用余弦的二倍角公式可求得cos2α=cos2α﹣sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．
解答：解：cos2α=cos2α﹣sin2α====．
故选：D．
点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．
6．（5分）函数y=cos2x﹣sin2x 的一条对称轴为（）
A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：化简可得y=cos（2x+）令2x+=kπ可得x=﹣，k∈Z，结合选项给k
取值可得答案．
解答：解：化简可得y=cos2x﹣sin2x
=（cos2x﹣sin2x ）
=（cos cos2x﹣sin sin2x ）
=cos（2x+）
令2x+=kπ可得x=﹣，k∈Z，
结合选项可知当k=0时，函数的一条对称轴为x=﹣
故选：C
点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的对称性，属基础题．
7．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）
A．10 B．C．﹣10 D．﹣
考点：函数的周期性．
专题：计算题．
分析：先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈时，f（x）=4x即可求得f（107.5）的值．
解答：解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函
数f（x）是以6为周期的函数．
f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B
点评：本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中有f（x+3）=﹣的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=﹣通常是告诉我们函数的周期为2a．
8．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}
前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）
A．4 B．3 C．2﹣2 D．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，
从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
解答：解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，
∴（1+2d）2=1+12d．
得d=2或d=0（舍去），
∴a n =2n﹣1，
∴S n==n2，
∴=．
令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4
当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．
故选：A．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分
9．（5分）已知{a n}是等差数列，a1+a2=5，a9+a10=21，则该数列前10项和S10=65．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意易得数列的首项和公差，代入求和公式计算可得．
解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，
则16d=（a9+a10）﹣（a1+a2）=21﹣5=16，
解得d=1，∴a1+a2=2a1+d=2a1+1=5，解得a1=2，
∴S10=10a1+d=20+45=65
故答案为：65
点评：本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
10．（5分）已知集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣y=4}，那么集合A∩B为{（3，﹣1）}．
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：联立A与B中的方程组成方程组，求出方程组的解集即可确定出A与B的交集．
解答：解：联立得：，
解得：，
则A∩B={（3，﹣1）}．
故答案为：{（3，﹣1）}
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
11．（5分）已知tan（α+β）=，tanβ=，则tan（α+）的值为．
考点：两角和与差的正切函数．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：利用tanα=tan，求出tanα，再利用和角的正切公式，求tan（α+）的值
解答：解：∵tan（α+β）=，tanβ=，
∴tanα=tan==，
∴tan（α+）==．
故答案为：．
点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查学生的计算能力，利用tanα=tan，求出tanα是关键．
12．（5分）设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为．
考点：数量积表示两个向量的夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：直接利用向量的模的平方，化简求解即可．
解答：解：向量，均为单位向量，且|+|=1，
所以．
可得cos=．
∴与夹角为．
故答案为：．
点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，向量的夹角的求法，考查计算能力．
13．（5分）若函数f（x）=cos（π﹣）的最大值为2，则常数a 的值为±．
考点：运用诱导公式化简求值；正弦函数的定义域和值域．
专题：三角函数的求值．
分析：f（x）解析式第一项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用诱导公式化简，第二项利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域以及最大值为2，即可求出a的值．
解答：解：f（x）=+asinx=cosx+asinx=（cosx+asinx）=sin（x+θ）（sinθ=，cosθ=），
∵f（x）最大值为2，∴=2，
解得：a=±．
故答案为：±
点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
14．（5分）下列四种说法：
①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；
②设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q”为真命题；
③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；
④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数
（x∈R）的图象．其中所有正确说法的序号是①②③④．
考点：命题的真假判断与应用；特称命题．
专题：简易逻辑．
分析：利用命题的否定判断①的正误；复合命题的真假判断②的正误；充要条件判断③的正误；三角函数图象的平移判断④的正误；
解答：解：对于①，命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；满足命题的否定形式，所以①正确．
对于②，设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，说明两个命题都是假命题，命题的否定是真命题，则“¬p∧¬q”为真命题；所以②正确．
对于③，若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；满足充要条件的关系，所以③正确；
对于④，把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数
（x∈R）的图象．符号平移原则，所以④正确；
故答案为：①②③④．
点评：本题考查命题的子啊的判断，特称命题与全称命题的否定关系，充要条件以及复合命题的真假，三角函数图象的平移，基本知识的考查．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=，•=3．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．
考点：二倍角的余弦；平面向量数量积的运算；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式利用=求得cosA，进而求得sinA，进而根据求得bc的值，进而根据三角形面积公式求得答案．
（Ⅱ）根据bc和b+c的值求得b和c，进而根据余弦定理求得a的值．
解答：解：（Ⅰ）因为，∴
，
又由，
得bccosA=3，∴bc=5，
∴
（Ⅱ）对于bc=5，又b+c=6，
∴b=5，c=1或b=1，c=5，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=20，∴
点评：本题主要考查了解三角形的问题．涉及了三角函数中的倍角公式、余弦定理和三角形面积公式等，综合性很强．
16．（12分）在数列{a n}中，已知a1=，，b n+2=3a n（n∈N*）．
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）设数列{c n}满足c n=a n•b n，求{c n}的前n项和S n．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由条件建立方程组即可求出数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）根据错位相减法即可求{c n}的前n项和S n．
解答：解：（1）∵a1=，，
∴数列{a n}是公比为的等比数列，∴，
又，故 b n=3n﹣2（n∈N*）．
（2）由（1）知，，
∴，
∴
，
于是
．
两式相减，得
=
．
∴
点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，以及利用错位相减法进行求和的内容，考查学生的计算能力．
17．（14分）已知向量=（sinx，cisx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=•．
（Ⅰ）求函数f（x）单调增区间；
（Ⅱ）若x∈，求函数f（x）的最值，并指出f（x）取得最值时x的取值．
考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析：（Ⅰ）利用向量的数量积求出f（x）的解析式，再利用三角函数的图象与性质求出单调区间；
（Ⅱ）由三角函数的图象与性质，结合区间x∈，求函数f（x）的最值以及对应x的值．
解答：解：（Ⅰ）∵
=
当，k∈Z，
即，k∈Z，
即，k∈Z时，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的单调递增区间是，（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+）+，
当时，，
∴，
∴当时，f（x）取得最小值0，此时2x+=﹣，∴，
∴当时，f（x）取得最大值，此时2x+=，∴．
点评：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．
18．（14分）已知a＞0，且a≠1，f（log a x）=（x﹣）．
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）求f（x2﹣3x+2）＜0的解集．
考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．
专题：计算题．
分析：（1）用换元法，令t=log a x （t∈R），则x=a t，可得f（t）的关系式，进而可得答案；
（2）令g（x）=a x﹣a﹣x，分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论g（x）的单调性与的符号，
由函数单调性的性质，可得答案；
（3）分析可得，f（0）=0，结合函数的单调性，可将f（x2﹣3x+2）＜0转化为x2﹣3x+2＜0，解可得答案．
解答：解：（1）令t=log a x （t∈R），则x=a t，
且f（t）=（a t﹣a﹣t）．
∴f（x）=（a x﹣a﹣x）（x∈R）．
（2）令g（x）=a x﹣a﹣x
当a＞1时，g（x）=a x﹣a﹣x为增函数，
又＞0，
∴f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，g（x）=a x﹣a﹣x为减函数，
又＜0，
∴f（x）为增函数．
∴综上讨论知，函数f（x）在R上为增函数．
（3）∵f（0）=（a0﹣a0）=0
∴f（x2﹣3x+2）＜0=f（0）．
由（2）知：x2﹣3x+2＜0
解得1＜x＜2
∴不等式的解集为{x|1＜x＜2}．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，首先要利用换元法求出函数的解析式，也是本题的关键所在．
19．（14分）已知数列{a n}中，a1=3，前n项的和是S n满足：∀n∈N*都有：S n=（n++b n）
3﹣1，其中数列{b
n}是公差为1的等差数列；
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求T n=c1+c2+…+c n．
考点：数列的求和；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）根据已知条件及a 1=S1即可求出b1=，所以，代入已知的S n即得，所以n＞1时，，并且验证
n=1时是否符合通项a n，即可得出数列{a n}的通项公式：；
（Ⅱ）根据已知的c n可先求出c1=﹣12，然后求出n＞1时的，所以求出
，并且验证n=1是否符合即可得出T n．
解答：解：（Ⅰ）由已知条件知：，
∴解得；
∵数列{b n}是公差为1的等差数列，
∴，
∴；
∴当n＞1时，=4（3n2﹣3n+1）；
n=1带入上式得a1=4不满足已知a1=3；
∴；
（Ⅱ）n=1时，，
n＞1时，=，
∴T n=c1+c2+…+c n=；
n=1带入上式T1=﹣12，即n=1符合T n；
∴．
点评：考查数列的前n项和与通项a n的关系，等差数列的通项公式，通过让前后项相互抵消的方法求数列前n项和．
20．（14分）设k∈R，函数，F（x）=f（x）+kx，x∈R．
（1）当k=1时，求函数F（x）的值域；
（2）试讨论函数F（x）的单调性．
考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）通过当x＞0，x≤0时，分段求函数F（x）的值域，最后综合即可；
（2）先求出F′（x），因为k的取值决定了F′（x）的正负，所以分四种情况讨论k的取值范围即可得到函数单调性即可．
解答：解：（1），
当x＞0时，，即x=1时，F（x）最小值为2．
当x≤0时，F（x）=e x+x，在（﹣∞，0）上单调递增，所以F（x）≤F（0）=1．
所以k=1时，F（x）的值域为（﹣∞，1]∪．
（2）依题意得
①若k=0，当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）递减，当x≤0时，F′（x）＞0，F（x）递增．
②若k＞0，当x＞0时，令F′（x）=0，解得，
当时，F′（x）＜0，F（x）递减，当时，F′（x）＞0，F（x）递增．
当x＜0时，F′（x）＞0，F（x）递增．
③若﹣1＜k＜0，当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）递减．
当x＜0时，解F′（x）=e x+k=0得x=ln（﹣k），
当ln（﹣k）＜x＜0时，F′（x）＞0，F（x）递增，
当x＜ln（﹣k）时，F′（x）＜0，F（x）递减．
④k≤﹣1，对任意x≠0，F′（x）＜0，F（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上递减．
综上所述，当k＞0时，F（x）在（﹣∞，0]或上单调递增，在上
单调递减；
当k=0时，F（x）在（﹣∞，0]上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
当﹣1＜k＜0时，F（x）在（ln（﹣k），0]上单调递增，在（﹣∞，ln（﹣k）），（0，+∞）上单调递减；
当k≤﹣1时，F（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减．
点评：本题考查函数的单调性的应用，利用导数研究函数的单调能力，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力．。