高中数学人教A版必修四模块综合检测(B) Word版含答案

模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知sin α＝3
5
，则cos 2α的值为( )
A ．－2425
B ．－725 C.725 D.2425
2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b 等于( ) A ．－10 B ．－6 C ．0 D ．6
3．设cos(α＋π)＝32(π<α<3π
2
)，那么sin(2π－α)的值为( )
A.12
B.32 C ．－32 D ．－12
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( )
A ．－47 B.47 C.18 D ．－18
5．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π
3
对称的是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3
D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π
4
)等于( )
A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210
7．若向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )互相垂直，其中x ∈R ，则|a －b |等于( ) A ．－2或0 B ．25 C ．2或2 5 D ．2或10
8．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭
⎫x －π
4是( ) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为2π的偶函数 D ．周期为2π的奇函数
9．把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的图象向右平移π
3
个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4等于( )
A ．－32 B.3
2
C ．－1
D ．1
10．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－π2，π
2
]，则|a ＋b |的取值范围是( )
A ．[0，2]
B ．[0，2)
C ．[1,2]
D ．[2，2]
11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤0，π6
B.⎣⎡⎦⎤π
3，π C.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 D.⎣⎡⎦
⎤π
6，π 12．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于( )
A.
33 B ．－3
3 C. 3 D ．－3 题号 1 2 3
4
5
6
7
8
9 10 11
12 答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.
14．已知α为第二象限的角，sin α＝3
5，则tan 2α＝________.
15．当0≤x ≤1时，不等式sin πx
2
≥kx 成立，则实数k 的取值范围是________．
16. 如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
①AC →＋AF →＝2BC →； ②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →； ④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)．
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知0<x <π2，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2)＋lg [2cos(x －π
4
)]－lg(1＋sin 2x )．
18．(12分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；
(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．
19．(12分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P ，Q
两点，已知点P 点的坐标为(－35，4
5
)．
(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；
(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．
20．(12分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32
. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x ≤π
2
时，求函数f (x )的值域．
21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π
12
时取得最大
值4.
(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；
(3)若f (23α＋π12)＝12
5
，求sin α.
22．(12分)已知a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(2cos ωx ＋sin ωx ，cos ωx )，x ∈R ，ω>0，记f (x )
＝a ·b ，且该函数的最小正周期是π
4
.
(1)求ω的值；
(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．
模块综合检测(B)
答案
1．C [cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝7
25
.]
2．A [∵a ∥b ，∴1×(－4)－2x ＝0，x ＝－2.∴a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)， ∴a ·b ＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.]
3．A [∵cos(α＋π)＝－cos α＝
32，∴cos α＝－32，∵π<α<3π2，∴α＝7π6， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sin 76π＝1
2.]
4．A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5
＝－4
7.]
5．B [∵T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，排除C 、D.把x ＝π
3
分别代入A 、B ，知B 选项函数y ＝sin(2x
－π
6
)取到最大值1，故选B.] 6．A [∵cos α＝－45，α是第三象限角．∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)＝－72
10.]
7．D [∵a ·b ＝2x ＋3－x 2＝0.∴x 1＝－1或x 2＝3.a －b ＝(－2x －2,2x )．当x ＝－1时，a －b ＝(0，－2)，|a －b |＝2；当x ＝3时，a －b ＝(－8,6)，则|a －b |＝10.] 8．B [f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin 2(x ＋π4)－cos 2(π
4＋x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin 2x . ∴T ＝π，且f (－x )＝－f (x )，奇函数．]
9．D [f (x )＝sin(－2x ＋π3)向右平移π3个单位后，图象对应函数解析式为f (x －π
3
)＝sin[－2(x －
π3)＋π3]＝sin(－2x ＋π)＝sin 2x .∴g (x )＝sin 2x ，g (π4)＝sin π
2＝1.] 10．D [|a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋(sin θ)2＝2＋2cos θ.
∵θ∈[－π2，π
2
]，∴cos θ∈[0,1]．∴|a ＋b |∈[2，2]．]
11．B [Δ＝|a |2－4a·b ＝|a |2－4|a||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉≥0.
∴cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．∴π
3≤〈a ，b 〉≤π.]
12．D [f (x )＝2[32cos(3x －θ)－12sin(3x －θ)]＝2cos(3x －θ＋π
6
)．
若f (x )为奇函数，则－θ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴θ＝－k π－π3，k ∈Z .∴tan θ＝－tan(k π＋π
3
)＝－ 3.]
13．0
解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,2)＝(3－k ，－1)，(a －c )⊥b ，b ＝(1,3)，∴(3－k )×1－3＝0，∴k ＝0.
14．－247
解析 由于α为第二象限的角，且sin α＝3
5
，
∴cos α＝－4
5.
∴tan α＝－3
4
，
∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)
1－(－34)2
＝－321－
916
＝－24
7.
15．k ≤1
解析 设t ＝πx
2
，0≤x ≤1，
则x ＝2t π，0≤t ≤π2，
则sin t ≥2k πt 在0≤t ≤π
2
上恒成立．
设y ＝sin t ，y ＝2k
πt ，图象如图所示．
需y ＝sin t 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象在函数y ＝2k πt 的图象的上方，∴2k π·π
2
≤1，∴k ≤1. 16．①②④
解析 在正六边形ABCDEF 中，AC →＋AF →＝AC →＋CD →＝AD →＝2BC →
，①正确；
设正六边形的中心为O ，则2AB →＋2AF →＝2(AB →＋AF →)＝2AO →＝AD →
，②正确；
易知向量AC →和AB →在AD →
上的投影不相等，即AC →·AD →|AD →|≠AB →·AD →|AD →|
.∴AC →·AD →≠AD →·AB →，③不正确；
∵AD →＝－2EF →，
∴(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)⇔(AD →·AF →)EF →＝－2EF →(AF →·EF →)⇔AD →·AF →＝－2AF →·EF → ⇔AF →·(AD →＋2EF →)＝0.∵AD →＋2EF →＝AD →－AD →＝0，∴AF →·(AD →＋2EF →)＝0成立． 从而④正确．
17．解 ∴0<x <π2，∴原式＝lg(cos x ·sin x cos x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x )
＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x )
＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(1＋sin 2x )－lg(1＋sin 2x )＝0.
18．解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝1
4.
(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π
4.因此θ＝π2，或θ＝3π4
. 19．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝4
5，
∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋
sin αcos α
＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α
＝2cos 2α＝2·(－35)2＝18
25.
(2)∵OP →·OQ →
＝0，∴α－β＝π2
，
∴β＝α－π
2
，
∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝3
5，
cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝4
5
.
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝7
25
.
20．解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋3
2
＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin(2x －π3
)． 所以f (x )的最小正周期为π.
令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π
6
，k ∈Z .
故所求对称中心的坐标为(k π2＋π
6
，0)，(k ∈Z )．
(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－3
2
，1]．
21．解 (1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π
3
，
即f (x )的最小正周期为2π
3
.
(2)∵当x ＝π
12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.
∴4＝4sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π
4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π
4
(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π
4
.
∴f (x )＝4sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫23α＋π12＋π
4＝4sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝4cos 2α. 由f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35， ∴sin 2α＝12(1－cos 2α)＝1
5，
∴sin α＝±5
5.
22．解 (1)f (x )＝a ·b ＝cos ωx ·(2cos ωx ＋sin ωx )＋sin ωx ·cos ωx ＝2cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＝2·
1＋cos 2ωx
2
＋sin 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1
＝2sin(2ωx ＋π
4
)＋1.
∴f (x )＝2sin(2ωx ＋π
4
)＋1，其中x ∈R ，ω>0.
∵函数f (x )的最小正周期是π4，可得2π2ω＝π
4，
∴ω＝4.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin(8x ＋π
4
)＋1.
当8x ＋π4＝π
2＋2k π，
即x ＝π32＋k π4(k ∈Z )时，sin(8x ＋π
4
)取得最大值1，
∴函数f (x )的最大值是1＋2，此时x 的集合为{x |x ＝π32＋k π
4
，k ∈Z }．。