2023年山西考研数学三试题及答案-完整版

且喜平常度，切忌神慌乱。

畅游题海后，金榜题君名。

考试在即，祝你成功。

2023年山西考研数学三试题及答案
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. 已知函数(,)ln(|sin |)f x y y x y =+，则（ ）.
A.
(0,1)f x ∂∂不存在，(0,1)
f
y
∂∂存在
B.
(0,1)f x ∂∂存在，(0,1)
f
y
∂∂不存在
C. (0,1)f x ∂∂存在，
(0,1)
f
y
∂∂存在
D. (0,1)f x ∂∂不存在，
(0,1)
f
y
∂∂不存在
【答案】A.
【解析】由已知(,)ln(|sin |)f x y y x y =+，则
(,1)ln(1|sin1|)f x x =+，(0,)ln f y y =.
当0x >时，(,1)ln(1sin1)f x x =+，
(0,1)0(,)d (,1)
sin1d x f x y f x x x =∂==∂；
当0x <时，(,1)ln(1sin1)f x x =-，
(0,1)0
(,)d (,1)
sin1d x f x y f x x x =∂==-∂；
所以
(0,1)
(,)
f x y x ∂∂不存在.
又
(0,1)1
(,)d (0,)
1d y f x y f y y y
=∂=
=∂，存在.
故选A.
2.
函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩
的一个原函数为（ ）.
A
．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪+->⎩
B
．)
ln 1,0()(1)cos sin ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪+->⎩
C
．)
ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪++>⎩
D
．)
ln 1,0()(1)sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪++>⎩
【答案】D.
【解析】由已知0
lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-
→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.
又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.
故选D.
3. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，则（ ）.
A.0,0a b <>
B.0,0a b >>
C.0,0a b =<
D.0,0a b =>
【答案】D.
【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为2
0r ar b ++=.
①若2
40a b -<
，则通解为2
12()e
(cos sin )22
a x y x C x C x -=+；
②若2
40a b ->
，则通解为2212()e
e
a a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝
⎭
⎝⎭
=+；
③若2
40a b -=，则通解为2
12()()e a x y x C C x -=+.
由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a -
>，则①②③中x →+∞时通解无界，若02
a
-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.
0a =时，若0b > ，
则1,2r =，
通解为12()()y x C C =+，在(,)
-∞+∞上有界.
0a =时，若0b <
，则1,2r =
12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.
综上可得0a =，0b >.
4. 设n n a b <，且
1
n
n a
∞
=∑与
1
n
n b
∞
=∑收敛，1
n
n a
∞
=∑绝对收敛是
1
n
n b
∞
=∑绝对收敛的（ ）.
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既非充分又非必要条件
【解析】由已知条件可知
1
()n
n n b
a ∞
=-∑为收敛的正项级数，进而1
()n n n b a ∞
=-∑绝对收敛.
设
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛，则由n n n n n n n b b a a b a a =-+≤-+与比较判别法,得
1
n
n b
∞
=∑
绝对收玫;
设
n
b
∞
∑绝对收敛，则由n n n n n n n a a b b b a b =-+≤-+与比较判别法，得
1
n
n a
∞
=∑绝
对收敛.故选A.
5.,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*
M 为M 的伴随矩阵，则*
⎛⎫= ⎪⎝⎭
A E O B
A.****||||⎛⎫
- ⎪⎝⎭A B B A O B A
B.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B
C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O
A B
D.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O
B |A 【答案】B. 【解析】由于
*
||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O A B O O B O B O B O E O
A B ，
故
*1
||||
||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A E A E A
B O O B O B O A B 1111
||||
||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111
||||||||||||----⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭A A B A A B B O B A B ****
||||⎛⎫
-= ⎪⎝⎭A B A B O
B A .
故选B.. 6.
222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为
A.2
212y y +
B.2
2
1
2y y -
C.2
22
1
234y y y +-
D.2
22
1
23y y y +-
【答案】B 【解析】
222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--
222
123121323233228x x x x x x x x x =--+++，
二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
A ，
211210||134(7)1
311431
4
1
λ
λλλλλλ
---=
--=+-----A E
210
(7)
2
10(7)(3)01
41
λ
λλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为22
12y y -，故选B.
7.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，
又可由12,ββ线性表示，则=γ( )
A.33,4k k R ⎛⎫
⎪
∈ ⎪ ⎪
⎝⎭ B. 35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭
C. 11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭
D. 15,8k k R ⎛⎫
⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】D.
【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于
1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，
121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
A ααββ，
解得T T T T 1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故
=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
αααα.
8.设X 服从参数为1的泊松分布，则(|()|)E X E X -=（ ）.
A.
1
e
B.
12
C.
2e
D.1
【答案】C.
【解析】方法一：由已知可得，1
e {}(0,1,2,)!
P X k k k -===L ,()1E X =，故
1111
00
|1|(1)(|()|)(|1|)e e e e
!!k k k k E X E X E X k k ∞
∞----==---=-==++∑∑12
=2e (1)e
E X -+-=
. 故选C.
方法二：由于0e !
k x
k x k ∞
==∑，于是1111e 1
(1)!(1)!k k x k k x x x k x k x +∞
∞==--==
++∑∑于是 1
12
1111e 1(1)e 1(1)!(1)!(1)!k k k x x k k k kx x x x x k k x k x x -+∞
∞∞==='''⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+==== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑. 由已知可得，1
e {}(0,1,2,)!
P X k k k -===L ,()1E X =，故 1
1
1(1)(|()|)(|1|)e e !k k E X E X E X k ∞
--=--=-=+∑11
1
=e e (1)!k k k ∞
--=++∑
1
1
2
1
(1)e 1=e e x x x x --=-++112e e e --=+=. 111(|()|)(||)[e ()]e ()1e E X E X E Y E Y E X ----==+=+-=.
故选C.
9.设12,,,n X X X L 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y L 为来自总体
2
2(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记1
1n
i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，
22
1
11()1n i i S X X n ==--∑，2221
1()1m i i S Y Y m ==--∑，则( ) A. 2
12
2(,)S F n m S : B. 2122(1,1)S F n m S --: C. 2
12
2
2(,)S F n m S : D. 21222(1,1)S F n m S --: 【答案】D.
【解析】由两样本相互独立可得
2
12
(1)n S σ-与222
(1)2m S σ
-相互独立，且 2
2
12
(1)(1)n S n χσ--:，2
222
(1)(1)2m S m χσ
--:， 因此
2
12
2
12
222
2
(1)(1)
2(1,1)(1)(1)
2n S n S F n m m S S m σ
σ--=----:，故选D.
10. 已知总体X 服从正态分布2(,)N μσ，其中0σ>为未知参数，1X ，2X 为来自总体X
的简单随机样本，记12ˆ||a X X σ
=-，若µ()E σσ=，则a =( ).
A.
2
B.2
【答案】A.
【解析】由与1X ，2X 为来自总体X 的简单随机样本，1X ，2X 相互独立，且
21(,)X N μσ:，22(,)X N μσ:，
因而2
12~(0,2)X X N σ-，令12Y X X =-，所以Y 的概率密度为
22
22()e
y Y f y σ-
⋅=
，
所以
222
2
2240
(||)|e
d 2e
d y y E Y y y y σσ-
-
+∞
+∞
⋅-∞
===
⎰⎰
，
由12ˆ()(||)E aE X X σ
σ=-=，即
(||)aE Y a σ==，
解得a =
A.
二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11．求极限211lim 2sin
cos x x x x x →∞
⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
____________. 【答案】
2
3
. 【解析】1
2
20
sin 2cos 11lim 2sin
cos lim
x t
x t t
t t x x x x t
=→∞
→--⎛⎫-- ⎪⎝⎭
2
2223
0000sin 111cos sin 2lim
lim
lim lim t t t t t t
t
t t t t t t t →→→→-
--=+=+
1126=+ 23=. 12．已知函数(,)f x y 满足22
d d d (,)x y y x
f x y x y -=+，且(1,1)4f π=
，则f =
____________.
【答案】
3
π
. 【解析】由已知
22
(,)f x y y x x y ∂-=∂+，22(,)f x y x
y x y ∂=
∂+，则 22
(,)d arctan ()y x f x y x y x y y
ϕ-==-++⎰
， 所以
22
(,)()f x y x
y y x y
ϕ∂'=+∂+，即()0y ϕ'=，()y C ϕ=， 从而(,)arctan
x
f x y C y
=-+，又(1,1)4f π=，解得2C π=，故
(,)arctan
2
x f x y y
π
=
-
，arctan 233f ππ=-=.
13.20(2)!n
n x n ∞
==∑____________.
【答案】e e 2
x x
-+.
【解析】令20()(2)!
n
n x S x n ∞
==∑，则(0)1S =，且
21
1()(21)!
n n x S x n -∞
='=-∑
，(0)0S '=， 22210()()(22)!(2)!
n n
n n x x S x S x n n -∞
∞
==''===-∑∑，
从而可得微分方程()()0S x S x ''-=，解得12()e e x x
S x C C -=+，
又(0)1S =，(0)0S '=，解得121
2
C C ==
，故 20
e e ()(2)!2n x x
n x S x n -∞
=+==
∑. 14.某公司在t 时刻的资产为()f t ，则从0时刻到t 时刻的平均资产等于
()
f t t t
-，假设()f t 连续且(0)0f =，则()f t =____________.
【答案】2(e 1)t t --.
【解析】由已知可得
()d ()
t
f t t f t t t
t
=
-⎰，整理变形20()d ()t f t t f t t =-⎰，
等式两边求导()()2f t f t t '=-，即()()2f t f t t '-=，解得一阶线性微分方程通解为
()2(1)e t f t t C =-++，
又(0)0f =，解得2C =，故()2(e 1)t
f t t =--.
15. 13123
1
23121,
0,
20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a
= ，则
11
120
a a a
b =________. 【答案】8
【解析】方程组有解，则011
1101
110
||122110120
01202
a a a a a a a a
b a
a b ==-+=A ，故
111280
a a a
b =.
16. 设随机变量X 与Y 相互独立，且()1,X B p :，()2,Y B p :，(0,1)p ∈则X Y
+与X
Y -的相关系数为____________.
【答案】1
3
-
【解析】由题意可得，()(1)D X p p =-，()2(1)D Y p p =-，又由X 与Y 相互独立可知，()()()D X Y D X D Y ±=+，故
(,)X Y X Y ρ+-=
=
()()(1)2(1)1
()()(1)2(1)3
D X D Y p p p p D X D Y p p p p ----=
==-+-+-
三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）
已知函数()y y x =满足2
e ln(1)cos 0x
a y y x y
b ++-++=，且(0)0,(0)0y y '==.
（1）求,a b 的值;
（2）判断0x =是否为函数()y y x =的极值点.
【解】（1）将(0)0y =代入2e ln(1)cos 0x a y y x y b ++-++=得0a b +=. 方程2e ln(1)cos 0x a y y x y b ++-++=两边对x 求导得
1
e 2cos ln(1)sin 01x a yy y y x y y x
'''++-
++⋅=+， 将(0)0y '=代入上式得10a -=，解得1,1a b ==-.
(2)由（1）知1
e 2cos ln(1)sin 01x
yy y y x y y x
'''++-
++⋅=+，上式两边再对x 求导得 22111e 2()2cos sin sin ln(1)cos ln(1)sin (1)11x y yy y y y y y x y y y x y y x x x ⎡⎤''''''''++++
+⋅+++⋅++⋅⎢⎥+++⎣⎦
将
(0)0,(0)0y y '==代入上式得(0)2y ''=-，所以0x =是函数()y y x =的极大值点.
18.（本题满分12分）
已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭
， （1）求平面区域D 的面积S .
(2)求平面区域D 绕x 一周所形成得旋转体的体积 【解】
(1)22
21
4
4sec 1
d d tan sec sin t S x t t t t t
π
π
ππ+∞
=
==⎰
⎰⎰
2
2
224
4sin 1d d cos sin 1cos t t t t
t π
π
π
π==--⎰⎰
2
4
1cos 1
1ln
2cos 1
2t t π
π-==
+. (2) 22221
1111d d 1(1)14V x x x x x x ππ
ππ+∞
+∞⎛⎫⎛⎫
==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝
⎭⎰
⎰. 19.（本题满分12分）
已知2
2
{(,)|(1)1}D x y x y =-+≤
，求
1|d d D
x y -⎰⎰.
【解】令2222
1{(,)|(1)1,1}D x y x y x y =-+≤+≤，则
|1|d d D
x y ⎰⎰
)(1
1
1d d 1d d D D D x y x y -=
+⎰⎰⎰⎰
)(1
1d d 21d d D
D x y x y =+⎰⎰
⎰⎰
2cos 12
223
2cos 23
4327d d 2d d 39π
π
θ
ππθππρρθπρρθ---=-+=⎰
⎰⎰⎰
20.（本题满分12分）
设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数.
（1）证明：若(0)0f =，存在(,)a a ξ∈-，使得21
()[()()]f f a f a a
ξ''=
+-； （2）若()f x 在(,)a a -上存在极值，证明：存在(,)a a η∈-，使得
2
1
|()||()()|2f f a f a a η''≥
--. 【证明】(1)将
()f x 在00x =处展开为
22
()()()(0)(0)(0)2!2!
f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+，
其中δ介于0与x 之间.
分别令x a =-和x a =，则
2
1()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+，10a ξ-<<，
2
2()()(0)()2!
f a f a f a ξ'''=+，20a ξ<<，
两式相加可得
2
12()()
()()2
f f f a f a a ξξ''''+-+=，
又函数
()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-，使得
12()()
()2
f f f ξξξ''''+=，
即2
1
()[()()]f f a f a a ξ=
-+. (2)设()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.
将
()f x 在0x 处展开为
22
000000()()()()()()()()()2!2!
f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+
， 其中δ介于0x 与x 之间.
分别令x a =-和x a =，则
2
100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+
，10a x η-<<， 2
200()()()()2!
f a x f a f x η''-=+
，02x a η<<， 两式相减可得
22
2010()()()()()()22
f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-
， 所以
22
2010()()()()|()()|22
f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-
22
1020|()|()|()|()22
f a x f a x ηη''''+-≤+
220012|()|
[()()](|()|max(|()|,|()|))2
f a x a x f f f ηηηη''''''''≤
++-= 2200|()|[()()]2|()|2
f a x a x a f ηη''''≤++-=，
即21
|()||()()|2f f a f a a
η''≥
--.
21.（本题满分12分）
设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
A . (1)求A
(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.
【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
A ，得
112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A ， 即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭
⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101
||2
11(2)20011011λ
λλλλλλλ
---=
--=+-----A E ,
(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,
特征值为1232,2,1λλλ=-==-.
3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭α;
1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭α;
211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
α,
令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα ，则1
200020001--⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭
P AP Λ.
22.（本题满分12分）
设随机变量X 的概率密度函数为2
e (),(1e )
x
x f x x =-∞<<+∞+，令e X Y =. (1)求X 的分布函数； (2)求Y 的概率密度函数； (3)判断Y 的数学期望是否存在.
【解】(1)设X 的分布函数为()X F x ，由分布函数的定义可得
2e 1
(){}()d d 1,(1e )1e
t x
x
X t t F x P X x f x x t x -∞
-∞=≤===--∞<<+∞++⎰
⎰. (2)设Y 的分布函数为()Y F y ，概率密度为()Y f y ，由分布函数的定义可得
(){}{e }X Y F y P Y y P y =≤=≤，
当0y ≤时，()0Y F y =； 当0y >时，
1(){}{ln }(ln )11Y X F y P Y y P X y F y y
=≤=≤==-
+. 综上，00,()1
10.1Y y F y y y ≤⎧⎪
=⎨->⎪+⎩
，
， 故Y 的概率密度函数
2
00,()10.(1)Y y f y y y ≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩
，
，
(3)由(2)知，
2
20
011()()d d d (1)(1)Y y
y E Y yf y y y y y y +∞
+∞
+∞-∞
+-===++⎰⎰
⎰
20
011
d d 1(1)
y y y y +∞
+∞=-++⎰
⎰ 01ln(1)=1y y +∞
⎡⎤
=+++∞⎢⎥+⎣
⎦， 故Y 的数学期望不存在.。