2020_2021学年高中数学第五章复数2.1复数的加法与减法课后习题含解析北师大版必修第二册202

§2复数的四则运算
2.1复数的加法与减法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()
A.-2
B.4
C.3
D.-4
1-(3-4i)=-2+4i,虚部为4,故选B.
2.(2020山东滕州第一中学新校高一月考)已知i为虚数单位,复数z1=a+4i,z2=-3+b i,若它们的和z1+z2为实数,差z1-z2为纯虚数,则a,b的值分别为()
A.-3,-4
B.-3,4
C.3,-4
D.3,4
z1=a+4i,z2=-3+b i,
所以z1+z2=(a-3)+(4+b)i,又因为和z1+z2为实数,
所以4+b=0,解得b=-4.因为z1-z2=(a+4i)-(-3+b i)=(a+3)+(4-b)i,且为纯虚数,所以a+3=0,且4-b≠0,解得a=-3,且b≠4.故a=-3,b=-4.故选A.
3.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是()
A.P0点的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z对应的点Z在一条直线上
D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√2
2
z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;
复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;
设z=x+y i(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+y i|=|x+(y-1)i|,即√(x-1)2+y2=√x2+(y-1)2,整理得,y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;
易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z两点之间距离的最小值,结合点到直线的距离公
式可知,最小值为
√2=√2
2
,故D正确.故选ACD.
4.如果一个复数与它的模的和为5+√3i,那么这个复数是.
z=x+y i(x ,y ∈R ),
所以x+y i +√x 2+y 2=5+√3i,
所以{
x +√x 2+y 2=5,y =√3,所以{x =115,y =√3,所以x+y i =115+√3i .
+√3i
能力提升练
1.在▱ABCD 中,点A ,B ,C 分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D 对应的复数是( )
A.2-3i
B.4+8i
C.4-8i
D.1+4i
⃗ 对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i =-1+3i, 设点D 对应的复数为z ,则DC
⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(3-5i)-z. 由平行四边形法则知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC
⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以-1+3i =(3-5i)-z ,
所以z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i =4-8i .故选C .
2.(多选)已知i 为虚数单位,下列说法正确的是( )
A.若复数z 满足|z-i |=√5,则复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心,√5为半径的圆上
B.若复数z 满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.非零复数z 1对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,非零复数z 2对应的向量为OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|z-i |=√5的复数z 在复平面内对应的点在以(0,1)为圆心,√5为半径的圆上,A 错误;
设z=a+b i(a ,b ∈R ),则|z|=√a 2+b 2.
由z+|z|=2+8i,得a+b i +√a 2+b 2=2+8i,
即{a +√a 2+b 2=2,b =8,
解得{a =-15,b =8, 所以z=-15+8i,B 错误;
由复数的模的定义知C 正确;
由|z 1+z 2|=|z 1-z 2|的几何意义知,以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D 正确. 故选CD .
3.如图所示,在复平面内的四个点O ,A ,B ,C 恰好构成平行四边形,其中O 为原点,A ,B ,C 所对应的复数分别是z A =4+a i,z B =6+8i,z C =a+b i(a ,b ∈R ),则z A -z C = .
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
所以4+a i +(a+b i)=6+8i .
因为a ,b ∈R ,所以{4+a =6,a +b =8,所以{a =2,b =6.
所以z A =4+2i,z C =2+6i,
所以z A -z C =(4+2i)-(2+6i)=2-4i .
-4i
素养培优练
设z=a+b i(a ,b ∈R ),且4(a+b i)+2(a-b i)=3√3+i,又ω=sin θ-icos θ,求z 的值和|z-ω|的取值范围.
4(a+b i)+2(a-b i)=3√3+i,
所以6a+2b i =3√3+i,
所以{6a =3√3,2b =1,所以{a =√32,b =12.
所以z=√32+12i,
所以z-ω=√32+12i -(sin θ-icos θ) =√32-sin θ+12+cos θi .
所以|z-ω|=(√3
2-sinθ) (12
=√2-√3sinθ+cosθ=2(√3212=√2-2sin(θ-π6
), 因为-1≤sin θ-π
6≤1,
所以0≤2-2sin θ-
π
6≤4,所以0≤|z-ω|≤2, 故求得z=
√32+12i,|z-ω|的取值范围是[0,2].。