浙江省中考数学总复习专题3开放与探索型问题课件
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①CE＝BE；②DE＝BE；
③DE＝CE；④DE∥AB； ⑤CB是⊙O的切线；⑥DE＝12AB； ⑦∠A＝∠CDE＝45°；⑧∠C＝∠CDE＝45°；
⑨CB2＝CD·CA；⑩CCDA＝CCEB＝DABE； ⑪AB2＋BC2＝AC2；⑫CDDA＝CEBE.
答案
考查角度三 存在开放与探索型问题
例3 已知点A(1,2)和B(－2,5)，试求出两个二次函数，使它们的图 象都经过A、B两点.
分析
答案
规律方法
规律方法
本题考查了对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着 另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值， 函数值有且只有一个值.
练习2
如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E. (1)由这些条件，你能推出“哪些正确结论”？[要求：不再 标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结 论中，不写推理过程，写出4个结论即可.]
答案
规律方法
解 解法一： 设抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1,2)，B(－2,5)， 则25＝＝a4＋a－b＋2bc＋，c，①② ②－①，得3a－3b＝3，即a＝b＋1. 设a＝2，则b＝1，将a＝2，b＝1代入①，得c＝－1， 故所求的二次函数为y＝2x2＋x－1. 又设a＝1，则b＝0，将a＝1，b＝0代入①，得c＝1， 故所求的另一个二次函数为y＝x2＋1.
分析
答案
答案
规律方法
解法二：因为不在同一条直线上的三点确定一条抛物线，因此要确
定一条抛物线，可以另外再取一点，
2＝a＋b＋c， 不妨取 C(0,0)，则5＝4a－2b＋c，
c＝0，
∴a4＋ a－b＝ 2b2＝，5，
a＝32， 解得b＝12，
c＝0，
故所求的二次函数为 y＝32x2＋12x.
用同样的方法可以求出另一个二次函数.
规律方法
规律方法
本题是一道开放型试题，解题入口宽，但如何用简洁的方法来做，这就 体现了不同学生的思维层次，这是一道既考查基本方法又体现灵活性的 题目.
练习3
(2016·南开一模)若二次函数的图象开口向下，且经过点(2，－3)，符 合条件的一个二次函数的解析式为__y_＝__－__x_2_－__2_x_－__5_(答__案__不__唯__一___) _. 分析 由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而 图象还经过点(2，－3)，由此可以确定这样的函数解析式不唯一.如： y＝－x2－2x－5.
(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的 点，根据描出的点，画出该函数的图象；
分析
分析 如下图：
(2)根据画出的函数图象，写出： ①x＝4对应的函数值y约为____2____； 分析 2(2.1到1.8之间都正确) ②该函数的一条性质：_该__函__数__有__最__大__值_____. 分析 该函数有最大值(其他正确性质都可以)
解 ①DE是⊙O的切线；②AB＝BC；③∠A＝∠C； ④DE2＝BE·CE；⑤CD2＝CE·CB；⑥∠C＋∠CDE ＝90°；⑦CE2＋DE2＝CD2.
答案
(2)若∠ABC是直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些别
的正确结论，并画出图形.[要求：写出6个结论即可，其他要求同(1).] 解 若∠ABC为直角时，
分析
答案
规律方法
分析 根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解 答，由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论： ①∵△AEF∽△ABC， ∴AE∶AB＝AF∶AC，即1∶2＝AF∶AC， ∴AF＝12AC； ②∵△AEF∽△ACB，∴∠AFE＝∠ABC. 综上可知，要使以 A、E、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 AF＝12AC 或∠AFE＝∠ABC.
规律方法
规律方法
本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边.
练习1
(2015·黔西南)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD 相交于点O，添加一个条件：__A_B_＝__B_C__或__A_C_⊥__B_D__等__， 可使它成为菱形. 分析 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形.
专题3 开放与探索型问题
中考 导航
开放型问题的内涵：所谓开放型问题是指已知条件、解题依据、解 题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者 条件、结论有待探求、补充等.
常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放型问题的结论是不确 定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔 空间.
分析
答案
考查角度二 结论开放与探索型问题
例2 (2016·北京)已知y是x的函数，自变量x的取值范围x>0，下表是y与x 的几组对应值：
x… 1
2
3
5
7
9…
yБайду номын сангаас… 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 …
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规 律，对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充 完整：
解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有 时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等.
对于开放型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发 散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联 想等推理的手段，得出正确的结论.
解答开放型问题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打 破原有的思维模式，从多个不同的角度思考问题，有时发现一个新的解答 需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域.
考点突破
考查角度一 条件开放与探索型问题
例1 (2015·梅州)已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上， 若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件 是_A_F_＝__12_A_C__或__∠__A_F__E_＝__∠__A_B_C__(答__案__不__唯__一__)_.(写出一个即可)
③DE＝CE；④DE∥AB； ⑤CB是⊙O的切线；⑥DE＝12AB； ⑦∠A＝∠CDE＝45°；⑧∠C＝∠CDE＝45°；
⑨CB2＝CD·CA；⑩CCDA＝CCEB＝DABE； ⑪AB2＋BC2＝AC2；⑫CDDA＝CEBE.
答案
考查角度三 存在开放与探索型问题
例3 已知点A(1,2)和B(－2,5)，试求出两个二次函数，使它们的图 象都经过A、B两点.
分析
答案
规律方法
规律方法
本题考查了对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着 另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值， 函数值有且只有一个值.
练习2
如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E. (1)由这些条件，你能推出“哪些正确结论”？[要求：不再 标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结 论中，不写推理过程，写出4个结论即可.]
答案
规律方法
解 解法一： 设抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1,2)，B(－2,5)， 则25＝＝a4＋a－b＋2bc＋，c，①② ②－①，得3a－3b＝3，即a＝b＋1. 设a＝2，则b＝1，将a＝2，b＝1代入①，得c＝－1， 故所求的二次函数为y＝2x2＋x－1. 又设a＝1，则b＝0，将a＝1，b＝0代入①，得c＝1， 故所求的另一个二次函数为y＝x2＋1.
分析
答案
答案
规律方法
解法二：因为不在同一条直线上的三点确定一条抛物线，因此要确
定一条抛物线，可以另外再取一点，
2＝a＋b＋c， 不妨取 C(0,0)，则5＝4a－2b＋c，
c＝0，
∴a4＋ a－b＝ 2b2＝，5，
a＝32， 解得b＝12，
c＝0，
故所求的二次函数为 y＝32x2＋12x.
用同样的方法可以求出另一个二次函数.
规律方法
规律方法
本题是一道开放型试题，解题入口宽，但如何用简洁的方法来做，这就 体现了不同学生的思维层次，这是一道既考查基本方法又体现灵活性的 题目.
练习3
(2016·南开一模)若二次函数的图象开口向下，且经过点(2，－3)，符 合条件的一个二次函数的解析式为__y_＝__－__x_2_－__2_x_－__5_(答__案__不__唯__一___) _. 分析 由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而 图象还经过点(2，－3)，由此可以确定这样的函数解析式不唯一.如： y＝－x2－2x－5.
(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的 点，根据描出的点，画出该函数的图象；
分析
分析 如下图：
(2)根据画出的函数图象，写出： ①x＝4对应的函数值y约为____2____； 分析 2(2.1到1.8之间都正确) ②该函数的一条性质：_该__函__数__有__最__大__值_____. 分析 该函数有最大值(其他正确性质都可以)
解 ①DE是⊙O的切线；②AB＝BC；③∠A＝∠C； ④DE2＝BE·CE；⑤CD2＝CE·CB；⑥∠C＋∠CDE ＝90°；⑦CE2＋DE2＝CD2.
答案
(2)若∠ABC是直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些别
的正确结论，并画出图形.[要求：写出6个结论即可，其他要求同(1).] 解 若∠ABC为直角时，
分析
答案
规律方法
分析 根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解 答，由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论： ①∵△AEF∽△ABC， ∴AE∶AB＝AF∶AC，即1∶2＝AF∶AC， ∴AF＝12AC； ②∵△AEF∽△ACB，∴∠AFE＝∠ABC. 综上可知，要使以 A、E、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 AF＝12AC 或∠AFE＝∠ABC.
规律方法
规律方法
本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边.
练习1
(2015·黔西南)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD 相交于点O，添加一个条件：__A_B_＝__B_C__或__A_C_⊥__B_D__等__， 可使它成为菱形. 分析 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形.
专题3 开放与探索型问题
中考 导航
开放型问题的内涵：所谓开放型问题是指已知条件、解题依据、解 题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者 条件、结论有待探求、补充等.
常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放型问题的结论是不确 定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔 空间.
分析
答案
考查角度二 结论开放与探索型问题
例2 (2016·北京)已知y是x的函数，自变量x的取值范围x>0，下表是y与x 的几组对应值：
x… 1
2
3
5
7
9…
yБайду номын сангаас… 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 …
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规 律，对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充 完整：
解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有 时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等.
对于开放型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发 散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联 想等推理的手段，得出正确的结论.
解答开放型问题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打 破原有的思维模式，从多个不同的角度思考问题，有时发现一个新的解答 需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域.
考点突破
考查角度一 条件开放与探索型问题
例1 (2015·梅州)已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上， 若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件 是_A_F_＝__12_A_C__或__∠__A_F__E_＝__∠__A_B_C__(答__案__不__唯__一__)_.(写出一个即可)