人教版八年级数学第二学期5月份月考测试卷含解析

一、选择题
1．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F
点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=2OE；③OF=1
2 CG,
其中正确的结论只有()
A．①②③B．②③C．①③D．①②
2．在正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，BE PD
⊥的延长线于点E ，连接AE 、BE ，FA AE
⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC ，下列结论：①ABE ADF
≅；②FB =AB ；③CF PD
⊥；④FC =EF . 其中正确的是（）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
3．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且
CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝1
2
AB；②与
△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（）
A．①④B．①③④C．①②③D．②③④
4．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E。

若AB=12，BC=20，则线段EF的长为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ，一共走了312m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）
A ．36m
B ．48m
C ．96m
D ．60m
6．如图，在矩形ABCD 中，25,4,BC AB O ==为边AB 的中点，P 为矩形ABCD 外一动点，且90APC ∠=，则线段OP 的最大值为（ ）
A ．53+
B ．35
C ．452-
D ．231
7．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（ ）
①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．
A ．①⑥
B ．①②④⑥
C ．①②③④
D ．①②④⑤⑥
8．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ，又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形
2222A B C D ，……，以此类推，则第六个正方形6666A B C D 的面积是（ ）
A ．164
B ．116
C ．132
D ．18
9．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝
12
AC ，M 、N 、P 分别是OA 、OB 、CD 的中点，下列结论：
①CN ⊥BD ；
②MN ＝NP ；
③四边形MNCP 是菱形；
④ND 平分∠PNM ．
其中正确的有（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
10．如图，在ABCD 中，2,AB AD F =是CD 的中点，作BE AD ⊥于点E ，连接EF BF 、，下列结论:①CBF ABF ∠=∠；②FE FB =；③2EFB S S ∆=四边形DEBC ；④3BFE DEF ∠=∠；其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．
12．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则
2020C =______．
13．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．
14．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．
15．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =3E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
16．如图，在正方形ABCD中，AC=62，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是_________．
17．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．
18．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_____．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，且DE＝DC，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则CF的最小值为___________
20．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC
=，EC m BC
=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．
三、解答题
21．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．
（1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
23．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．
（1）求证：AF ∥CE ；
（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为32
cm 2； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．
24．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．
25．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．
（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．
简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC
的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点
A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．
26．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．
（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；
（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，
①求证：四边形AFEP 是平行四边形；
②求PE 的长．
27．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．
（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522
CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =
； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最
小值．
28．如图①，已知正方形ABCD 的边长为3，点Q 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BQ 的对称点是点P ，连接QP 、DP 、CP 、BP ，设AQ =x ．
（1）BP ＋DP 的最小值是_______，此时x 的值是_______；
（2）如图②，若QP 的延长线交CD 边于点M ，并且∠CPD =90°．
①求证：点M 是CD 的中点；②求x 的值．
（3）若点Q 是射线AD 上的一个动点，请直接写出当△CDP 为等腰三角形时x 的值．
29．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ．
（1）求证：△ACN ≌△CBM ；
（2）∠CPN = °；（给出求解过程）
（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）
（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）
（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．
30．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；
（2）求证：CP AE =；
（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证
△ECG≌△BCG，可得OE；根据直角三角形性质得OF=1
2
BE=
1
2
CG.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，∵BE平分∠ABO，
∴∠OBE=1
2
∠ABO=22.5°，
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，
在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB；
故①正确；
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴OE，
∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，
∴△ECG≌△BCG，
∴BG=EG，
∴OE；
故②正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF，
∵BE=CG，
∴OF=1
2
BE=
1
2
CG．
故③正确．
故正确的结论有①②③．故选A．
【点睛】
运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，
AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
【详解】
解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
∵BM=BM，AM=MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB=BF，∴②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
∵BE=DF，BF=CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴③正确；④正确；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG=DG ，证出OG 是△ACD 的中位线，得出OG=12CD=12
AB ，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB=BD=AD ，因此OD=AG ，得出四边形ABDE 是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，由SAS 证明△ABG ≌△DCO ，得出
△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，得出②不正确；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG ∥AB ，OG=12
AB ，得出△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形ODGF =S △ABF ；③不正确；即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，
∴∠BAG ＝∠EDG ，△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ，
∵CD ＝DE ，
∴AB ＝DE ，
在△ABG 和△DEG 中，
BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABG ≌△DEG （AAS ），
∴AG ＝DG ，
∴OG 是△ACD 的中位线，
∴OG ＝12CD ＝12
AB ， ∴①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，
④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，
OD AG
ODC BAG60 AB DC ︒
=
⎧
⎪
∠=∠=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，∴②不正确；
∵OB＝OD，AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG＝1
2 AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积＝1
4
△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，
∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，
∴S四边形ODGF＝S△ABF；
③不正确；
正确的是①④．
故选A．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握性质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
由直角三角形的性质可求得DF=BD=1
2
AB，由角平分线的定义可证得DE∥BC，利用三
角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长．
解:∵AF⊥BF，D为AB的中点，
∴DF=DB=1
2
AB=6，
∴∠DBF=∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴∠DFB=∠CBF，
∴DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=1
2
BC=10，
∴EF=DE−DF=10−6=4，
故选：C.
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得△DBF为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC，即DE为△ABC的中位线，从而计算出DE，继而求出EF.
5．C
解析：C
【解析】
设正方形O3KJP的边长为a，根据正方形的性质知：O3O4=
2
a，
正方形O2IHJ的边长为2a，O2O3a，
正方形O1GFH的边长为4a，O1O2a，
正方形OCDF的边长为8a，OO1a，
∵AO=2OO
1am，
∴
2
，
解得：a=2m，
∴FD=8a=16m，
∴长方形花坛ABCD的周长是2×（2FD+CD）=6FD=96m，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，正方形的
倍，熟记性质是解题的关键．
6．B
解析：B
连接AC ，取AC 的中点E ，根据矩形的性质求出AC ，OE ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12
PE AC =
，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得O 、E 、P 三点共线时OP 最大．
【详解】
解：如图，连接AC ，取AC 的中点E ，
∵矩形ABCD 中，25, 4BC AB ==，O 为AB 的中点， 2216,52
AC AB BC OE BC ∴=+==
= ∵AP ⊥CP ， 116322
PE AC ∴==⨯=， 由三角形的三边关系得，O 、E 、P 三点共线时OP 最大，
此时 53OP =最大
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理、中位线定理．能正确构造辅助线，并根据三角形三边关系确定OP 最大值是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】
先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF ，得出四边形BEDF 是平行四边形，求出BM=DM 即可判断④和⑤，最后根据AE=CF ，即可判断⑥.
【详解】
①∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥DC，AB=DC,
∴∠BAC=∠ADC,
在△ABE 和△DFC 中
BAC ADC AB A F C E D C ∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩
∴△ABE≌△DFC（SAS ）,
∴BE=DF,
故①正确.
②∵△ABE≌△DFC,
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE ，故③错误.
④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴DO=BO，OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF 是平行四边形,
故④正确.
⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,
∴∠BNO=∠DMO=90°,
在△BNO 和△DMO 中
∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩
△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）
∴BN=DM
11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯
∴△ADE △ABE S =S ,
故⑤正确.
⑥∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
8．A
解析：A
【分析】
计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.
【详解】
顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A
则正方形1111D C B A 的面积为11122⨯
= 正方形2222A B C D 的面积为
111224⨯= 正方形3333A B C D 的面积为11112228
⨯⨯= 正方形n n n n A B C D 的面积为1
1()22n n
= 根据规律可得，第六个正方形6666A B C D 的面积为661
11()2264
=
= 【点睛】 本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.
9．C
解析：C
【分析】
证出OC ＝BC ，由等腰三角形的性质得CN ⊥BD ，①正确；证出MN 是△AOB 的中位线，得MN ∥AB ，MN ＝12AB ，由直角三角形的性质得NP ＝12
CD ，则MN ＝NP ，②正确；周长四边形MNCP 是平行四边形，无法证明四边形MNCP 是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND ＝∠PND ，则ND 平分∠PNM ，④正确；即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，BC ＝AD ，OA ＝OC ＝
12AC ， ∵AD ＝12
AC ， ∴OC ＝BC ，
∵N 是OB 的中点，
∴CN ⊥BD ，①正确；
∵M 、N 分别是OA 、OB 的中点，
∴MN 是△AOB 的中位线，
∴MN ∥AB ，MN ＝
12AB ， ∵CN ⊥BD ，
∴∠CND ＝90°，
∵P 是CD 的中点，
∴NP ＝12
CD ＝PD ＝PC ， ∴MN ＝NP ，②正确；
∵MN ∥AB ，AB ∥CD ，
∴MN ∥CD ，
又∵NP ＝PC ，MN ＝NP ，
∴MN ＝PC ，
∴四边形MNCP 是平行四边形，无法证明四边形MNCP 是菱形；③错误；
∵MN ∥CD ，
∴∠PDN ＝∠MND ，
∵NP ＝PD ，
∴∠PDN ＝∠PND ，
∴∠MND ＝∠PND ，
∴ND 平分∠PNM ，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质结合AB=2AD ，CD=2CF 可得CF=CB ，从而可得∠CBF=∠CFB ，再根据CD ∥AB ，得∠CFB=∠ABF ，继而可得CBF ABF ∠=∠，可以判断①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，证明△DFE 与△CFM(AAS)，继而得EF=FM=12
EM ，证明∠CBE=∠AEB=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得S △BEF =S △BMF ，S △DFE =S △CFM ，继而可得S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，继而可得
2EFB S S ∆=四边形DEBC ，可判断③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，则可得AD//FN ，则有∠DEF=∠EFN ，根据等腰三角形的性质可得∠BFE=2∠EFN ，继而得
∠BFE=2∠DEF ，判断④错误.
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC ，AB=CD ，AD//BC ，
∵AB=2AD ，CD=2CF ，
∴CF=CB ，
∴∠CBF=∠CFB ，
∵CD ∥AB ，
∴∠CFB=∠ABF ，
∴CBF ABF ∠=∠，故①正确； 延长EF 交BC 的延长线与M ，
∵AD//BC ，
∴∠DEF=∠M ，
又∵∠DFE=∠CFM ，DF=CF ，
∴△DFE 与△CFM(AAS)，
∴EF=FM=12
EM ， ∵BF ⊥AD ，
∴∠AEB=90°，
∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠CBE=∠AEB=90°，
∴BF=12
EM ， ∴BF=EF ，故②正确；
∵EF=FM ，
∴S △BEF =S △BMF ，
∵△DFE ≌△CFM ，
∴S △DFE =S △CFM ，
∴S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，
∴2EFB S S ∆=四边形DEBC ，故③正确；
过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°， ∴∠AEB=∠FEN ，
∴AD//EF ，
∴∠DEF=∠EFN ，
又∵EF=FB ，
∴∠BFE=2∠EFN ，
∴∠BFE=2∠DEF ，故④错误，
所以正确的有3个，
故选C.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
二、填空题
11．222
+
【分析】
由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=1
2
PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+
1
2
（CP+PD）
=1
2
（CD+PC+PD）=
1
2
C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值
最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．
【详解】
解：∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF=1
2 PD，
∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+1
2
（CP+PD）=
1
2
（CD+PC+PD）=
1
2
C△CDP
∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；
即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；
如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，
∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，
∴2222
4442
CT CD DT
++=
∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，
∵PT+PC ≥CT ，
∴PT+PC ≥
∴PT+PC 的最小值为，
∴△PDC 的最小值为4+
∴C △CEF =12
C △CDP =2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
12．20181
2
【分析】
根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．
【详解】
∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC
∴DE 、EF 是△ABC 的中位线
∵等边△ABC 的边长为1
∴AD=DE=EF=AF =
12 则1C =1422
⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12
发现规律：规律为依次缩小为原来的
12 ∴2020C =20181
2 故答案为：
201812．
【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．
13．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA 证明△AEF ≌△DMF ，得出EF=MF ，∠AEF=∠M ，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=12
EM=EF ，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF ，得出(2)正确；
证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．
【详解】
(1)∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD=AB ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=1
2∠BCD ， ∴∠DCF+12
∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DMF 中，
A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴CF=12
EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC ＞BE ，
∴S △BEC ＜2S △EFC ，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=12
∠BCD=50°， ∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
△AEF ≌△DMF 是解题关键．
14．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52
EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠
AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
BE DE ∴=
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5． 【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．
15．42a - 23 【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB =2，AC =4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90°，
∵∠ACB =30°，BC =23，
∴AB =2，AC =4，
∵AG =a ，
∴CG =4a -，
如图1，过G 作MH ⊥BC 于H ，交AD 于M ，
Rt △CGH 中，∠ACB =30°，
∴GH =12
CG =42a -， 则点G 到BC 边的距离为
42a -， ∵HM ⊥BC ，AD ∥BC ，
∴HM ⊥AD ，
∴∠AMG =90°，
∵∠B =∠BHM =90°，
∴四边形ABHM 是矩形，
∴HM =AB =2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
2222
a a
AD MG
=⋅=⨯⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG的面积的最小值为
3423 233
⨯=，
故答案为：4
2
a
-23
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
16．32
【详解】
解析：∵在正方形ABCD中，AC=62
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF与AD交点为O，O是AD的中点,
∴AO=3
以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，
即△AOE是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，232
2
，
∴EF=2OE=32 17．65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE 中，∠AEB=65°
在△ABE 与△ADE 中
45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.
18．10+5
5
【分析】
取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM ．根据勾股定理可得55NG =．在点M 与G 之间总有MG ≤MO+ON+NG （如图1），M 、O 、N 、G 四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG 的最大值．
【详解】
如图1，取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM ．
∵∠AOB＝90°，
∴OM＝12
AB ＝5． 同理ON ＝5．
∵正方形DGFE ，N 为DE 中点，DE ＝10，
∴222210555NG DN DG ++＝＝＝．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝1
2
∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，
M、O、N、G四点共线，此时等号成立，
∴线段MG取最大值10+55．
故答案为：10+55．
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．
19．22
【分析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最
小，此时CF=1
2
AG=22．
【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=2，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG 的中点为D ，即F 与D 重合，
当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的轨迹为DF ，
∵D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，
∴DF 是△EAG 的中位线，
∴DF ∥AG ，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，
此时CF 最小，
此时CF=12AG=
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
20．7
【分析】
①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得
11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=
+四边形即可得出答案．
【详解】 四边形ABCD 是平行四边形
//,AD BC AD BC ∴=
,,AF EC n m BC BC
m n === AF EC ∴=
AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =
∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形
//,//AE CF BF DE ∴
∴四边形EGFH 是平行四边形
综上，图中共有4个平行四边形
如图，连接EF
1,,AF EC n m BC B n C
m ==+= AF EC BC AD ∴+==
AF DF AD +=
EC DF ∴=
AF BE ∴=
∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形
11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴=
= 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形
1()4ABEF CDFE S S =+
12874
=⨯= 故答案为：4；7．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．
三、解答题
21．（1）P （
103，2）；（2）（52，2）或（﹣52，2） 【分析】
（1）根据已知条件得到C （5，3），设直线OC 的解析式为y ＝kx ，求得直线OC 的解析式为y ＝35x ，设P （m ，35m ），根据S △POB ＝13
S 矩形OBCD ，列方程即可得到结论； （2）设点P 的纵坐标为h ，得到点P 在直线y ＝2或y ＝﹣2的直线上，作B 关于直线y ＝2的对称点E ，则点E 的坐标为（5，4），连接OE 交直线y ＝2于P ，则此时PO +PB 的值最小，设直线OE 的解析式为y ＝nx ，于是得到结论．
【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝3
5
，
∴直线OC的解析式为y＝3
5 x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，3
5 m），
∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴1
2
⨯5×
3
5
m＝
1
3
⨯3×5，
∴m＝10
3
，
∴P（10
3
，2）；
（2）∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴1
2
h×5＝
1
3
3
⨯⨯5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，
作B关于直线y＝2的对称点E，
则点E的坐标为（5，4），
连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，
设直线OE的解析式为y＝nx，∴4＝5n，
∴n＝4
5
，
∴直线OE的解析式为y＝4
5 x，
当y＝2时，x＝5
2
，
∴P（5
2
，2），
同理，点P在直线y＝﹣2上，
P（5
2
，﹣2），
∴点P的坐标为（5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）．
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P在位置是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）15
2
，理由见解析；
【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．
（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．
（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形
∵∠B＝90°，∠A＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF，
又∵由题意知CD=4t，AE=2t，
∴CD=2AE
∴AE=DF．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF⊥BC，∠B＝90°
∴AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC＝60cm，DF=1
2
CD，CD=4t，
∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t为15
2
时，△DEF为直角三角形，理由如下；
由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，∴当DE∥BC时，DF⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED中，
∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t
∴AD=4t，
又∵AC＝60cm，CD=4t，
∴AD+CD=AC，8t=60，
∴t=15
2
．
即t=15
2
时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）t＝2；（3）t＝1．
【分析】
（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性质可求AN＝
cm，由三角形的面积公式可求解；
（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，∴DF＝BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，。