广西桂林市高一数学下学期期中试题(含解析)

2016—2017学年度下学期期中质量检测
高一年级数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则θ是
A. 第一象限的角
B. 第二象限的角
C. 第三象限的角
D. 第四象限的角
【答案】B
【解析】∵cosθ<0，在二，三象限，且tanθ<0，在二，四象限，
综合可得：θ在第二象限的角。

故选：B.
2. 空间的点M(1，0，2)与点N(﹣1，2，0)的距离为（）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】解答：
∵M(1,0,2)与点N(−1,2,0)，
∴|MN|=
故选C.
3. 圆C1：x2+( y﹣1)2 =1和圆C2：(x－3)2+(y－4)2 =25的位置关系为
A. 相交
B. 内切
C. 外切
D. 内含
【答案】A
【解析】解答：
圆C1：x2+( y﹣1)2 =1和圆C2：(x－3)2+(y－4)2 =25的圆心坐标分别为(0,1)和(3,4)，半径分别为r=1和R=5，
∵圆心之间的距离d==，R+r=6，R−r=4，
∴R−r<d<R+r，则两圆的位置关系是相交。

故选：A.
4. 函数在一个周期内的图象是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，=0，排除C，D；
当时，，无意义，故排除B；
故选A.
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象
A. 向左平移单位
B. 向右平移单位
C. 向左平移单位
D. 向右平移单位
【答案】D
【解析】因为：y=sin(2x+)=sin2(x+).
根据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2(x+)相右平移个单位得到函数y=sin2x 的图象。

故选：D.
点睛：图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换
6. 在△ABC中，∠C=90°，0°＜A＜45°，则下列各式中，正确的是
A. sin A＞sin B
B. tan A＞tan B
C. cos A＜sin A
D. cos B＜sin B 【答案】D
【解析】∵△ABC中,∠C=90∘,∴A=90∘−B，
∵0∘<A<45∘，
∴0∘<A<B<90∘
∴sin B>sin A，故A错误，tan B>tan A，故B错误，
∴sin B>sin(90∘−B)，sin B>cos B，故D正确，
∴sin(90∘−A)>sin A，cos A>sin A，故C错误，
故选：D.
7. 过点(1，﹣1)的圆的最大弦长与最小弦长的和为
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
【答案】B
【解析】解答：
圆的圆心C(1,2),半径r=5，
设点A(1,−1),|AC|=3<r，
∴点A在圆内，∴最大弦长为2r=10，
最小弦长为：2 =8.
∴过点(1,−1)的圆的最大弦长与最小弦长的和为：10+8=18.
故选：B.
8. 已知，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解答：
由，
可得：2cos2α=cos(α+)
得：4cos22α=cos2(α+)
∵cos2(α+)=2cos2(α+)−1,即1−sin2α=2cos2(α+)
∴8cos22α=1−sin2α
由cos22α+sin22α=1.
∴8(1−sin22α)=1−sin2α
解得：sin2α=.
故选：B.
9. 以圆C1：与圆C2：的公共弦为直径的圆的方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解答：
∵圆C1：与圆C2：，
∴两圆相减可得公共弦方程为l:2x−2y=0，即x−y=0
又∵圆C1：的圆心坐标为(−2,0),半径为；
圆C2：的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，
∴C1C2的方程为x+y+2=0
∴联立可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为(−1,−1)，
∵(−2,0)到公共弦的距离为：，
∴公共弦为直径的圆的半径为：1，
∴公共弦为直径的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1
故选：C.
10. 已知函数（x∈R），则下列结论正确的是（）
A. 函数是最小正周期为的奇函数
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上是减函数
D. 函数的图象关于点对称
【答案】D
【解析】函数f(x)==−cos2(x−)=−cos(2x−)
最小正周期T=π,f(−x)=−cos(−2x−)=−cos(2x+)≠−f(x)，不是奇函数，A不对。

当x=时,即f()=−cos(2×−)=−，不是最值，B不对。

由f(x)在−⩽2x−⩽是单调递减,可得：−⩽x⩽.∴函数f(x)在区间[,]上是减函数，C不对。

当x=−时,即f(−)=−cos(−2×−)=−cos=0.函数f(x)的图象关于点(−,0)对称.D对。

故选：D.
11. 若实数，满足，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解答：
由题意可得,表示右半个圆x2+y2=1上的点(x,y)与原点(0,−2)连线的斜率，
设k=，故此圆的切线方程为y=kx−2，
再根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径,可得r==1，
平方得k2=3
求得k=±,故的取值范围是，
故选：D.
12. 过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线 l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
【答案】C
【解析】
连接PM、AM,可得当切线l1，l2关于直线l对称时，
直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，
∵圆M的方程为，
∴点M坐标为(3,2),半径r=，
点M到直线l:2x−y=0的距离为PM==，
由PA切圆M于A,得Rt△PAM中,sin∠APM==，
得∠APM=30∘，
∴∠APB=2∠APM=60∘.
故选：C.
点睛：点关于直线对称
几何条件：，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 化简：=__________．
【答案】
【解析】原式=
14. 点是﹣60°角终边与单位圆的交点，则的值为___________．
【答案】
【解析】解答：
角−60∘的终边为点P(x,y)，
可得：tan(−60∘)= =.
故答案为：.
15. 已知圆O：上到直线l：的距离等于1的点恰有3个，则正实数的值为_________
【答案】
【解析】因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，
所以圆心到直线l的距离d=1，
即d==1,解得a=±.(−舍去).
故答案为：.
【答案】4
【解析】解答：
直线x=m与和f(x)=2sin x,，的图象分别交于M，N两点，
设M(m,2sin m),N(m,cos m)，
则|MN|=|2sin m−cos m|=4|sin(m−)|
当且仅当m=+2kπ，k∈z时，等号成立，则|MN|的最大值4，
故答案为：4.
点睛：的长度就是两点纵坐标之差的绝对值，从而问题转化为三角函数的最值问题，逆用两角差正弦公式，求正弦函数的最值即可.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 化简下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0（2）
【解析】试题分析：（1）利用诱导公式化简；（2）巧用“1”，逆用两角差正切公式化简. 试题解析：
解：（1）原式=
=
=0
（2）原式=
=tan30°
=
18. 已知圆心在直线上，且与直线相切于点，求此圆的标准方程．
【答案】（x﹣1）2+（y+2）2=2
【解析】试题分析：根据题意布列关于圆心的方程组，解之即可.
试题解析：
解：设圆心坐标为（a，b），半径为r，依题意得则
，
解得a=1，b=﹣2，
∴r=，
∴要求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2
19. 已知均为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：(1)通过配凑角，结合两角差正弦公式求的值;(2)通过配凑角，结合两角和正切公式求值.
试题解析：
解：（1）∵α均为锐角，sinα=，得cosα=，
又∵α+β∈（0，π），cos（α+β）=，可得：sin（α+β）=，
∴sinβ=sin（α+β﹣α）
=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
=﹣=.
（2）∵tanα=，tan（α+β）=，
∴tan（2α+β）=…
==
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
20. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大、最小值及相应的的值；
【答案】（1）（2），
.....................
试题解析：
解：（1）由图象可知，,
周期,
∴,则，
从而，代入点，得
，则,
即，
又，则，∴
（2）∵，则，
∴
21. 已知.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于直线对称，求的最小值；
（3）当时，若方程有4个不同的实数解，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）
【解析】试题分析：（1）原函数经过降幂，化“一”化简为=, 由
，得单调递减区间是;(2)方程根的个数问题往往转化为两个函数的交点个数问题.
试题解析：
解：（1）∵
=
=
由，得
∴函数f（x）在R上的单调递减区间是
（2）
∵是对称轴
∴ ,即
∴
（3）在上的图象如下：
当直线与函数的图象有3个不同交点时，就是方程
有三个不同的实数根，右图，m的取值范围是
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
22. 已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知m≠0，设直线：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线：mx+y﹣m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为﹣1时，求直线CD的方程．
【答案】（1）（x﹣2）2+y2=3．（2）y=﹣x，或y=﹣x+3．
【解析】试题分析：（1）根据已知条件布列（x，y）的方程，化简得：（x﹣2）2+y2=3；（2）由题易知：l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），结合圆的几何性质求得直线CD的方程. 试题解析：
解：（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），
由题意，，
整理得x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，
∴曲线E的方程为（x﹣2）2+y2=3．
（2）由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），
设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，
则直线EP：y=x﹣2，设直线CD：y=﹣x+t，
由，解得点，
由圆的几何性质，，
而，|ED|2=3，，
解之得t=0，或t=3，
∴直线CD的方程为y=﹣x，或y=﹣x+3．。