云南省曲靖市高三数学上学期期中考试试题 理 新人教A版

会泽县茚旺高级中学秋季学期高三年级期中考试试卷
理 科 数 学
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合2
{|0,}A x x x x R =-≤∈，集合2{|log 0}B x x =≤，则A 、B 满足 （ ）
A ．A
B ⊆
B ．A B =
C ．B A ⊆
D ．A B ⊆/且B A ⊆/
2．i 是虚数单位，若
17(,)2i
a bi a
b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－3 B ．－15
C ．3
D ．15
3. 在等差数列{}n a 中，若1a ，2011a 为方程016102
=+-x x 的两根，则=++201010062a a a ( )
A ．10
B ．15
C ．20
D ．40
4. 已知,m n 为直线，,αβ为平面，给出下列命题：（ ）
① //m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ②////m n m n α
βαβ⊂⎧⎪
⊂⇒⎨⎪⎩ ③//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ④//m m n
n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩
其中的正确命题序号是
A ．②③
B ．③④
C ．①④ D．①②③④
5. 已知()()
2
0,
()22
0,x
x f x x x ⎧≤⎪=⎨
->⎪⎩若()0f x ≥，则x 的取值范围是
（ ）
A. ),0[+∞ B ．[1,)+∞ C ．{}[1,)0+∞⋃ D ．(,0][1,)-∞⋃+∞ 6. 已知tan(α+β)=
34,tan(α-β)= 12,那么tan(2)4
πβ+ 的值是（ ） A.
139 B.1011 C.211 D.2
5
7．某同学设计右面的程序框图用以计算和式2
2
2
2
12320++++
的值，则在判断框中应填写( )
A ．19i ≤
B ．19i ≥
C ．20i ≤
D ．21i ≤
8．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场
比赛，他们在这11场比赛的得分用下面的茎叶图表示， 设甲运动员得分的中位数为M 1，乙运动员得分的中位数
为M 2，则在下列选项中，正确的是（ ）
A ．M 1=18，M 2=12
B ．M 1=81，M 2=12
C ．M 1=8，M 2=2
D ．M 1=3，M 2=1 9. 函数x
y a =（a ＞1）的图象是（ ）
10．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长
的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2
B. 3 C ．2
D ．3
11. 若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．2
D ．1
12.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为 （ ） A ．
1
2
a B ．
66a C ．22a D ． 63
a 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.123
)1
(x
x -
展开式中的常数项为 。

14．某中学计算机教室的使用年限x 所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
根据上表数据得到回归直线方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb =1.25，据此模型估计使用年限为10年时的维修费用是
万元.
15. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3
的几何体的三视图，则h ＝________cm.
O
E
D
B
16. ①函数()x x
x f lg 1
+-
=的零点所在的区间是(2,3) ； ② 曲线3
4y x x =-在点()1,3--处的切线方程是2y x =-； ③将函数21x
y =+的图象按向量(11)=-，a 平移后得到函数1
2
x y +=的图象；④函数y=)1(log 2
2
1-x 的
定义域是（-2，-1）∪（1，2）⑤a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件；以上命题正确的是 。

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．（本题满分12分）
已知2
()2cos 32f x x x a =++（a ∈R ，a 为常数）. （Ⅰ）若x ∈R ，求()x f 的最小正周期； （Ⅱ）若()x f 在[,]66
ππ
-上最大值与最小值之和为3，求a 的值；
18．（本小题满分12分）
如下图，在直三棱柱ABC －111A B C 中，AB=2， AC=1AA 3ABC ∠=
3
π。

（Ⅰ）证明：AB 1A C ⊥；
（Ⅱ） 求二面角1A A C B --的正弦值. 19．（本小题满分12分）
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：
1()f x x =，22()f x x =，3
3()f x x =，4()sin f x x =，5()cos f x x =，6()2f x =．
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； （Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽
取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
20.（本小题共12分）
已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线2
8y x =的焦点，M 的离心率
1
2
e =
，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点。

（Ⅰ）求椭圆M 的标准方程；
（Ⅱ）设点N （t ，0）是一个动点，且()NA NB AB +⊥，求实数t 的取值范围。

21.（本小题满分12分）
设函数,)(x
xe x f =.)(2
x ax x g +=
（Ⅰ）若)(x f 与)(x g 具有完全相同的单调区间，求a 的值； （Ⅱ）若当0≥x 时恒有),()(x g x f ≥求a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲
如图，直线AB 经过⊙O 上一点C ，且OA=OB ，CA=CB ， ⊙O 交直线OB 于E 、D 。

（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若1
tan ,2
CED ∠=⊙O 的半径为3，求OA 的长。

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．
已知直线l 的参数方程为21222
x y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）
，曲线C 的极坐标方程是2
sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,2)M ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．
（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）线段MA ，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求||||MA MB ⋅的值． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设()a x x x f -+=2()0>a ． （Ⅰ）当1=a 时，解不等式()f x ≤4；
（Ⅱ）若()f x ≥4恒成立，求实数a 的取值范围。

会泽县茚旺高级中学 A
C
1
A 1
B 1
C （第15题图）
秋季学期高三年级期中考试试卷 数 学 答 案
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1----5 CABCD 6----10 ACABB DD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. （文）若等比数列{n a }满足n
n n a a 161=+，则公比=q .
答案：4 （理）123
)1
(x
x -
展开式中的常数项为 。

答案： 提示：
()220
9
,03
4
12,1103
41212
1-=∴==--=-+T r r x
C T r
r
r
r 14、某中学计算机教室的使用年限x 所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
根据上表数据得到回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb =1.25，据此模型估计使用年限为10年时的维修费用是
万元.11.1
15. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3
的几何体的三视图，则h ＝________cm.
解析：由20＝13×1
2×5×6×h，得h ＝4.
答案：4 16. ①函数()x x
x f lg 1
+-
=的零点所在的区间是(2,3) ；② 曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是2y x =-；③将函数21x y =+的图象按向量(11)=-，
a 平移后得到函数12x y +=的图象；④函数y=)1(log 2
2
1-x 的定义域是（-2，-1）∪（1，2）
⑤a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件；以上命题正确的是 。

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①②
三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．（本题满分12分）
已知2
()2cos 3sin 2f x x x a =++（a ∈R ，a 为常数）.
（Ⅰ）若x ∈R ，求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）若f(x)在[,]66
ππ
-
上最大值与最小值之和为3，求a 的值； 解：2()2cos 3sin 22sin(2) 1.6
f x x x a x a π
=++=+++
（Ⅰ）最小正周期2.2
T π
π== （Ⅱ）[,]2[,]2[,],6633662
x x x ππ
πππππ
∈-
⇒∈-⇒+∈- 所以1sin(2) 1.26
x π
-
≤+≤ 即max min
()21,
()11,f x a f x a =++⎧⎨=-++⎩所以2330.a a +=⇒=
18．（本小题满分12分）
如下图，在直三棱柱ABC －111A B C 中，AB=2，AC=1AA =23，ABC ∠=3
π。

（Ⅰ）证明：AB 1A C ⊥；
（Ⅱ） 求二面角1A A C B --的正弦值. （Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理可求得
6
21sin π=∠⇒=
∠ACB ACB ∴AC AB ⊥
以A 为原点，分别以AB 、AC 、AA 1 为 x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图 则)0,0,0(A )32,0,0(1A
)0,0,2(B )0,32,0(C
)0,0,2(=AB )32,32,0(1-=C A C A AB C A AB 110⊥⇒=⋅
即C A AB 1⊥ 6分 （Ⅱ）解：由（1）知
)32,0,2(1-=B A
A
B
C
1A 1B 1
C
)32,32,0(1-=C A
设二面角1A A C B --的平面角为α，
||||,cos cos m n m n m n
⋅>=<=α 515
5232=
⨯=
∴5
10
cos 1sin 2
=-=αα 12分
19．（本小题满分12分）
（文）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜
色完全相同，并且其中的3杯为A 饮料，另外的2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料。

若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格。

假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力 （1）求此人被评为优秀的概率。

（2）求此人被评为良好及以上的概率。

解：将5不饮料编号为：1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A 饮料，编号4，5表示B 饮料，则从5杯饮
料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（1，2，5），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）可见共有10种
令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评人良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件。

则
（1）1
P(D)10=
（2）37
P(E),P(F)P(D)P(E)510
==+=
（理）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：
1()f x x =，22()f x x =，33()f x x =，4()sin f x x =，5()cos f x x =，6()2f x =．
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽
取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
由题意知.51
)(26
23==
C
C A P （Ⅱ）ξ可取1,2,3,4．11133311166513
(1) , (2)210
C C C P P C C C ξξ=====⋅=，
1111111333322111111116546543
31
(3) , (4)2020
C C C C C C C P P C C C C C C C ξξ==⋅⋅===⋅⋅⋅=
； 故ξ的分布列为
ξ 1
2
3
4
P
2
1 10
3 20
3 20
1 .4
7201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 答：ξ的数学期望为.4
7
20.（本小题共12分）
已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线2
8y x =的焦点，M 的离心率
1
2
e =
，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点。

（Ⅰ）求椭圆M 的标准方程；
（2）设点N （t ，0）是一个动点，且()NA NB AB +⊥，求实数t 的取值范围。

（Ⅰ）椭圆M
的标准方程：13
422=+y x （4分） （Ⅱ）设()11,y x A ，()22,y x B ，设1:+=my x l ()0,≠∈m R m
⎪⎩⎪⎨⎧=++=134
1
22
y x
my x ⇒()0964322=-++my y m 由韦达定理得4
362
21+-
=+m m
y y ① （6分） AB NB NA ⊥+)(⇒NB NA =⇒
()=+-2121y t x ()2222y t x +-⇒ ()()()022*******=-+-+-y y t x x x x
将111+=my x ，122+=my x 代入上式整理得：
()()()()[]022121221=-+++-t m y y m y y ，由21y y ≠知
()
()()0221212
=-+++t m y y m
，将①代入得4
312
+=
m t （10分）
所以实数t ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈41,0 （12分）
O
E
D
C
B
A
21.（本小题满分12分）
设函数,)(x
xe x f =.)(2
x ax x g +=
（Ⅰ）若)(x f 与)(x g 具有完全相同的单调区间，求a 的值； (Ⅱ)若当0≥x 时恒有),()(x g x f ≥求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）x
x
x
e x xe e x
f )1()(+=+=‘
，………2分 当1-<x 时，,0)(<x f
)(x f 在)1,(--∞内单调递减；
当1->x 时，,0)(/
>x f
)(x f 在),1(+∞-内单调递增. ………4分
又,12)(/
+=ax x g 由012)1(/
=+-=-a g 得2
1
=a .
此时2
1
)1(2121)(22-+=+=x x x x g ，
显然)(x g 在)1,(--∞内单调递减，在),1(+∞-内单调递增，故2
1
=
a .………6分 （Ⅱ）由)()(x g x f ≥，得0)1()()(≥--=-ax e x x g x f x
.………7分 令1)(--=ax e x F x
，则a e x F x
-=)(/
.………8分
0≥x ，a a e x F x
-≥-=∴1)(.
若1≤a ，则当)0(∞+∈x 时，0)(/
>x F ，)(x F 为增函数，而0)0(=F ， 从而当0)(,0≥≥x F x ，即)()(x g x f ≥；………10分
若1>a ，则当)ln ,0(a x ∈时，0)(/<x F ，)(x F 为减函数，而0)0(=F ， 从而当)ln ,0(a x ∈时0)(<x F ，即)()(x g x f <，则)()(x g x f ≥不成立. 综上，a 的取值范围为]1,(-∞.………12分
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲
如图，直线AB 经过⊙O 上一点C ，且OA=OB ，CA=CB ， ⊙O 交直线OB 于E 、D 。

（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若1
tan ,2
CED ∠=⊙O 的半径为3，求OA 的长。

（Ⅰ）如图，连接OC ，∵ OA=OB ，CA=CB ，∴ OC ⊥AB ，∴ AB 是⊙O 的切线
（Ⅱ）∵ ED 是直径， ∴ ∠ECD=90°，Rt △BCD 中，
∵ tan ∠CED=
12, ∴ CD EC =12
， ∵ AB 是⊙O 的切线， ∴ ∠BCD=∠E ，又 ∵ ∠CBD=∠EBC ，∴ △BCD ∽△BEC, ∴
BD BC =CD EC =1
2
， 设BD=x,则BC=2x ， 又BC 2
=BD ·BE ， ∴ 2
(2)x =x ·（ x ＋6），
解得：x 1=0,x 2=2, ∵ BD=x ＞0, ∴ BD=2， ∴ OA=OB=BD ＋OD=3＋2=5
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．
已知直线l 的参数方程为2
1222
x y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2
sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,2)M ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．
（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）线段MA ，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求||||MA MB ⋅的值． 解（Ⅰ）直线l 2cos()14
π
ρθ+=-， ……3分
曲线C 普通方程2x y = ……5分
（Ⅱ）将21222
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2x y =得2
3220t t -+=，……8分
2||||||21==⋅t t MB MA ……10分
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设()f x =|x|+2|x-a|（a>0）．
（Ⅰ）当a=l 时，解不等式()f x ≤4；
（Ⅱ）若()f x ≥4恒成立，求实数a 的取值范围
解：（Ⅰ）()f x ＝|x|＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x ＜0，
2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x ＞1．
2分
当x ＜0时，由2－3x ≤4，得－ 2
3≤x ＜0；当0≤x ≤1时，1≤2－x ≤2；
当x ＞1时，由3x －2≤4，得1＜x ≤2． 4分 综上，不等式()f x ≤4的解集为[－ 2
3
，2]． 5分
（Ⅱ）()f x ＝|x|＋2|x －a|＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x ＜0，
2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x ＞a ．
7分
可见，()f x 在(－∞，a]单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 当x ＝a 时，()f x 取最小值a ．9分 所以，a 取值范围为[4，＋∞) 10分。