3.1 二倍角公式学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章

§3 二倍角的三角函数公式
3.1二倍角公式
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
一、阅读教材P154“二倍角公式”部分 【复习导入】 1、和角公式
思考：三个和角公式中的角α与角β能否相等？如果αβ=，你能得到什么结论？ 【抽象概括】 1、二倍角公式
思考：（1）根据公式α2C ，结合平方关系，你能得到什么结论？
（2）如何根据公式α2S 和α2C 推导公式α2T ？ 2、二倍角余弦公式的变形
例1求值：
（1）0015cos 15sin 2； （2）8
cos
8
sin
π
π
； （3）8
sin
8
cos 2
2
π
π
-；
（4）115sin 20
2
- ； （4）0
2
30cos 21-； （4）0
20
75tan 175tan -。

解：（1）原式2
1
30sin )152sin(0
==⨯=；
（2）原式4
2
4sin 21)82sin(21)8cos 8sin 2(21==⨯=⨯=ππππ；
（3）原式2
2
4cos )82cos(==⨯=ππ；
（4）原式2
3
30cos )152cos()15sin 21(0
2
-=-=⨯-=--=；
（5）原式2
1
60cos )302cos()130cos 2(000-=-=⨯-=--=；
（6）原式6
3150tan 21)752tan(2175tan 175tan 2210
00
20-==⨯=-⨯=。

点评：逆用公式，要求能熟练掌握公式，根据式子的结构特征，正确地选择公式。

特别提醒，使用公式前，要检查是否能直接利用公式，否则，要作适当的变形。

例2已知角α是第二象限角，53
cos -=α，求α2sin ，α2cos 和α2tan 的值。

解：53cos -=α ，2516cos 1sin 2
2=-=∴αα，
又α是第二象限角，54sin =
∴α，3
4
tan -=α，所以
2524
)53(542cos sin 22sin -=-⨯⨯==ααα；
25
7
1)53(21cos 22cos 22-=--⨯=-=αα；
7
24
)257()2524(2cos 2sin 2tan =-÷-==
ααα。

或7
24)3
4(1)
34
(2tan 1tan 22tan 22=---⨯=
-=ααα。

例3在ABC ∆中，已知BC AC AB 2==，求角A 的正弦值。

解：作BC AD ⊥，AC AB = ，DC BD =∴， 设θ=∠BAD ，θ2=∴A 。

在ABD Rt ∆中，设2=BC ，则4=AB ，15=AD ，
4
15
cos =
∴θ，41sin =θ，
8
15
cos sin 22sin sin =
==∴θθθA 。

思考：A sin 能否通过底角B （或C ）求出？还有其他解法吗？ 另解：BC AC AB 2== ， C B =∴，设1=BC ，则2==AC AB ，
ac b c a B 2cos 222-+= ，41122212cos 222=⨯⨯-+=∴B ，4
15
sin =
∴B ， B C B A 2180)(18000-=+-= ， 8
15
cos sin 22sin sin =
==∴B B B A 。

例4如图，要把半径为R
应怎样截取，才能使矩形面积最大？
分析：如何将矩形的长和宽与半径R 建立联系？这种关系如何表示？ 解：设α=∠AOB ，则αsin R AB =，αcos R OB =， 所以，矩形的面积
AB OB S ⋅=2ααααα2sin cos sin 2sin cos 222R R R R ==⋅=，
2
0π
α<< ，πα<<∴20，所以，当2
2π
α=
，即4
π
α=
时，2max R S =。

1、求值：
（1）02750sin 21-； （2）0
2150
tan 150
tan 1-； （3）00080cos 40cos 20cos ；（4）000070sin 50sin 30sin 10sin 。

2、已知87cos =α，παπ223<<，求α2sin ，α2cos 的值。

3、已知-=2tan α，求α2tan 的值。

4、在ABC ∆中，已知53cos =A ，31
sin =B ，求)2sin(B A +，)2tan(B A +。

（提醒：在ABC ∆中，B A B A sin sin >⇔>）
5、证明：
（1）ααα2sin 1)cos (sin 2+=+； （2）ααα2sin 1)cos (sin 2-=-。