2007年珠海市斗门第一中学数学文科高考模拟试题

珠海市斗门第一中学2007年高考模拟试题
数学（文科）（5月30日）
命题者：于发智
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共50分）
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的重重信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；
如需改动先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡与试卷一并交回。

参考公式：
3
1,3
V a a V Sh S h ==正方体棱锥（其中为棱长）（其中为底面积，为棱锥的高）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．已知m +i 1n =-i ，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m n +=
（A ）-1 （B ）0
（C ）1
（D ）2
2. 已知向量a 表示“向东航行1km”，向量b 表示“向南航行1km”，则向量
a +
b 表示 ( )
（A ）向东北航行2km （B ）向东南航行2km （C ）
km （D ）
km 3. 已知函数sin()y A x k ωϕ=++的一部分
图象如下图所示，如果0,0,2
A π
ωϕ>><
，则( ) (A).4A = (B).1ω= (C).6
π
ϕ=
(D.) 4k =
4．若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，
那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为( )．
(A). 1.4 (B). 1.3 (C). 1.2 ( D). 1.5
5. 已知圆()2
24x a y -+=被直线1x y +=所截得的弦长为22，则实数a 的值
为
(A)．0或4 (B)．－1或3 (C) ．－2或6 (D)． 1或3
6．在一次国际跳水锦标赛中，6位裁判给每位运动员打分，然后去掉一个最高分和一个最低分，其余分数的平均分为该运动员的成绩，已知6位裁判给某位运动员的打分是：9.2,9.5,9.4,9.6,9.8,9.5,则这位运动员的得分及6位裁判评分的众数和中位数分别是 （ ）
(A). 9.5,9.4,9.6； (B). 9.4,9.5,9.6 ； (C). 9.5,9.5,9.5； (D).
9.6,9.5,9.4
7. 下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是（ ）
B
D
8. 已知非负实数x 、y 同时满足2x +y -4≤0,x +y -1≥0,则z =x 2+(y+2)2的最小值是( )
（A ）. 5 （B .）5 （C .）3
22
（D .） 92
9. 如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），则此
几
何
体
的
表
面
积
是
( )
（A.） (96162+cm 2 （B ）. (80162+cm 2 （C ）. 96 cm 2 （D.） 112 cm 2
10．在R 上定义运算*：x *y =x (1-y )，若不等式(x -a ) * (x +a )<1,对任意 实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）
（A ）. 31(,)22- （B ）. 13
(,)22
（C ）. 31(,)22-- （D ）. )2
3
,21(-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
11. 下列命题既是全称命题，又是真命题的是________________（用序号填写）.
（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又
能被5整除；
(3)对于任意的无理数x ，2x 是无理数；（4）存在一整数x ，使得0log 2>x ． 12．在矩形ABCD 中，若AB ,AD b a ==，则矩形ABCD 的外接圆半径
222
a b r +=，
将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在长方体''''ABCD A B C D -中，若,,'AB a AD b AA c ===，则长方体''''ABCD A B C D -的外接球半径
R =____________．
13．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么二进制数2007(1111)个
转换成十进制形式是____________.
▲选做题：在下面两道题中选做一题，注意：两道题都选的只计算前一题的得分。

14、已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A,B 两点，割线PCD 经过圆心，若
PA=3,AB=4,PO=5，则⊙O 的半径为_______________
15、点N M ,分别是曲线2sin =θρ和θρcos 2=上的动点，
则MN 的最小值是_____________。

三、解答题:本大题共有6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤
16．(本题满分12分)
在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且222b c a bc +=+． （1）求角A 的大小；
（2）若2sin B sinC sin A ⋅=，判断△ABC 的形状．
17．(本小题满分12分)
已知：四棱锥P-ABCD,ABCD PA 平面⊥,底面ABCD 是直角梯形，︒=∠90A ，且AB ∥CD,CD AB 2
1
=
, 点F 为线段PC 的中点， (1)求证： BF ∥平面PAD ； (2) 求证：CD BF ⊥。

18．（本小题满分14分）
设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购
票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。

一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。

设每天的购票人数为x ，盈利额为y 。

（Ⅰ）求y 与x 之间的函数关系； （Ⅱ）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）；
（Ⅲ）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？ 注：可选用数据：
2.24===.
19、（本小题满分14分）
已知函数21
()(3)2
f x x x a =-+
（0a >，x ∈R ）． （Ⅰ）求函数()y f x =的极值；
（Ⅱ）若函数()y f x =有三个不同的零点，求实数a 的取值范围．
20.（本小题满分14分）
已知向量(,3),(1,0),(3)(3)a x y b a b a b ==+⊥-且. （Ⅰ）求点(,)Q x y 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M 、N ，又点(0,1)A -，当
AM AN =时，求实数m 的取值范围。

21. (本题满分14分)
已知正项数列{}n a 的前n 项和22n n
n a a s +=，11(*)2n
a n n
b n a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝
⎭N ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数)(x f 在区间D 上是凹函数，且()f x '存在，则当
1212(,)x x x x D >∈
时，总有
12112
()()
()f x f x f x x x -'<-．
请根据上述定理，且已知函数1(*)n y x n +=∈N 是),0(+∞上的凹函数，判断
n b 与1+n b 的大小；
（Ⅲ）求证：
3
2
n b ≤．
珠海市斗门第一中学2007年高考模拟试题
文 科 数 学
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：每小题5分共50分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
----------------------------班级________姓名_________试室号_________座位号
----------------------------------------------------------
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题每小题5分共20分
11.___________________________ 12. _______________________________
13.___________________________ 14. ______________ 15._________________
三、解答题:本大题共有6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16、解：
17、解：
18、解：座位号:
19、解：
20、解：
----------------------------班级________姓名_________试室号_________座位号
----------------------------------------------------------
21、解：
珠海市斗门第一中学2007年高考模拟试题
数学文科答案
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：每小题5分共50分
题号12345678910答案B D C A B C A A B D
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题每小题5分共20分
11. （1） 12. 13. 解析：本题事实上是是信息给予题，“如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=⨯+⨯+⨯+⨯。

”这句话给我们给出了解题思路。

将
2007(1111)
个
换成十进制形式是
012220061212121212⨯+⨯+⨯+⨯+
+⨯=2007
2
1-。

14. 2 15. 1
三、解答题:本大题共有6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16．解．（1）由已知得．2221
222
b c a bc cos A bc bc +-===， ……………………………
(3分)
又
A ∠是△ABC 的内角，所以
3A π
∠=． ……………………………………… (6分)
（
2
）
（
方
法
一
）
由
正
弦
定
理
得．2bc a =， ……………………………………………… (7分)
又 222b c a bc +=+，∴
222b c bc +=， ……………………… …………… (9分)
∴
()
2
0b c -=，即
b c =． ……………………………………………………………… (10分)
所
以
△ABC
是
等
边
三
角
形． ………………………………………………………………… (12分) （
方
法
二
）
()()1
2sin B sinC cos B C cos B C =-+--⎡⎤⎣⎦， ………………………………… (7分)
又 ()12
cos B C cos A +=-=-，
∴
()311422cos B C ⎡⎤
=----⎢⎥⎣⎦
， ……………………………………………………… (8分)
()1
cos B C -=，又
()B C ππ-∈-，， ……………………………………………………… (9分)
∴
0B C -=，即
B C =， ……………………………………………………………… (10分)
所以△ABC 是等边三角
形． ……………………………………………………………… (12分)
17. (1)证明：取PD 的中点E,连结EF 、AE ，
因为点F 为PC 的中点，所以EF ∥CD ，且1
2EF CD =，
而AB ∥CD,CD AB 2
1
=
，所以EF ∥AB 且EF=AB 所以四边形EFBA 是平行四边形，所以BF ∥AE 因为,BF PAD AE PAD ⊄⊂平面平面
所以BF ∥平面PAD （6分） （2）由题意知AD CD ⊥，
又PA ABCD
PA CD CD ABCD ⊥⎧⇒⊥⎨
⊂⎩面面，PA AD A =，
所以
CD PAD CD AE AE PAD ⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
面面
由（1）知BF ∥AE
所以 CD BF ⊥ （12分）
18. 解：（Ⅰ）根据题意，当购票人数不多于100时，可设y 与x 之间的函数关系为
30500y x k x
=--.
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，
∴
30255000
⨯--=，解得50.k =
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅———4分
∴
30500(,100),30700(,100).
x x N x y x x N x *
*
⎧-∈≤⎪=⎨-∈>⎪⎩
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 （
Ⅱ
）
框
图
如
下
：
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
（Ⅲ）设 每张门票价格提高为m 元，根据题意，得
205000
m ⨯-≥
------------------------------------------------------11分
∴
2536.2
m ≥+≈。

-----------------------------------------------------------------------------------13分
从
而
，
每
张
门
票
最
少
要
37
元。

-------------------------------------------------------------------------14分
19．当()3(2)f x x x a '=-． ……2分
令
()0
f x '=，得0x =，或2x a =．且1
(0)2
f =
，
31
(2)42
f a a =-+
． ……6分 （Ⅰ）当0a >时，20a >．
当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：
()f x '
＋
－
＋
()f x
12
3142
a -+
∴ 当0a >时，在0x =处，函数()f x 有极大值1
(0)2
f =
；在2x a =处，函数()
f x 有极
小
值
31
(2)42
f a a =-+
． ……10分 （Ⅱ）要使函数()0f x =有三个不同的零点， 必须31
(2)402
f a a =-+<． ……12分 解得12a >
．∴当1,2a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，函数()y f x =有三个不同的零点． ……14分 20．（I ）由题意得：
（II ）由22
13
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222
(31)63(1)0k x mkx m +++-=,………………7分 由于直线与椭圆有两个不同的交点，0∴∆>，即2231m k <+
①………8分
（1）当0k ≠时，设弦MN 的中点为(,),p p M N P x y x x 、分别为点M 、N 的横坐标，则
2221331
231313p M N p
p p AP p y x x mk m m k x y kx m k k k x mk ++++==-=+===-
++从而………9分
又22311
,,2313m k AM AN AP MN m k mk k
++=∴⊥-
=-=+则即 ②，…………10分.
将②代入①得22m m >，解得02m <<, 由②得2211
0,32
m k m -=
>>解得 , 故所求的m 取值范围是1
(,2)2
………………………………11分
（2）当0k =时，22,,31,11AM AN AP MN m k m =∴⊥<+-<<解得………12分
…………………………………14分
21. （Ⅰ）1=n 时，211
11102
a a a s a +==⇒=或11a =． 由于{}n a 是正项数列，所以11a =． 当2n ≥时，
2211
122
n n n n n n n a a a a a s s ---++=-=-，
整理，得()()111n n n n n n a a a a a a ---+=+-．
精品文档
实用文档 由于{}n a 是正项数列，∴11n n a a --=． ∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列． 从而n a n =，当1n =时也满足． ∴n a n =（*n ∈N ）． ……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知112n
n b n ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭．
对于),0(+∞上的凹函数1+=n x y ，有()1n y n x '=+． 根据定理，得11
12
112
(1)n n
n
x x n x x x ++-<+-．
……6分
整理，得()1
12121n n x n x nx x ++-<⎡⎤⎣⎦． 令121
1
1,122(1)x x n n =+=++，得21(1)1n x nx +-=．
……8分 ∴112n n x x +<，即()1
1111221n n n n +⎡⎤⎛⎫+<+
⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦
．
∴
1+<n n b b ．
……10分 （Ⅲ）由（Ⅱ），得1213
2n n b b b b ->>>>=．
……14分。